2023年高考数学一轮复习课时规范练47抛物线含解析北师大版文

课时规范练47　抛物线

基础巩固组

1.(2020北京,7)设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为l.P是抛物线上异于O的一点,过P作PQ⊥l于Q,则线段FQ的垂直平分线(　　)

A.经过点O B.经过点P

C.平行于直线OP D.垂直于直线OP

答案:B

解析:因为线段FQ的垂直平分线上的点到F,Q的距离相等,又点P在抛物线上,根据抛物线定义可知,|PQ|=|PF|,所以线段FQ的垂直平分线经过点P.故选B.

2.(2020全国Ⅰ,理4)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=(　　)

A.2 B.3 C.6 D.9

答案:C

解析:设点A的坐标为(x,y).由点A到y轴的距离为9可得x=9,由点A到抛物线C的焦点的距离为12,可得x+=12,解得p=6.

3.(2021新高考Ⅱ,3)抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为,则p=(　　)

A.1 B.2 C.2 D.4

答案:B

解析:抛物线的焦点坐标为,0,其到直线x-y+1=0的距离d=,解得p=2(p=-6舍去),故选B.

4.(2021陕西西安中学二模)已知过抛物线y2=4x焦点F的直线l交抛物线于A,B两点(点A在第一象限),若=3,则直线l的斜率为(　　)

A.2 B C D

答案:D

解析:如图所示,抛物线的准线l:x=-1,设点A,B在l上的射影分别是点C,D,连接AC,BD,过点B作BE⊥AC于点E.

=3,∴设|AF|=3m,|BF|=m,则|AC|=3m,|BD|=m.

∴在Rt△ABE中,cos∠BAE=,得∠BAE=60°.

∴直线AB的倾斜角∠AFx=60°,AB的斜率k=tan60°=,故选D.

5.(2021山东济南二模)已知抛物线x2=2py(p>0),过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点(点A在第一象限).若直线AB的斜率为,点A的纵坐标为,则p的值为(　　)

A B C.1 D.2

答案:C

解析:由题意得,抛物线x2=2py(p>0)焦点在y轴上,准线方程为y=-,设A(xA,yA),则|AF|=yA+,设直线AB的倾斜角为α,则tanα=,因为α∈[0,π),所以α=,所以|AF|==3-p,所以3-p=,解得p=1,故选C.

6.已知抛物线E:y2=2px(p>0)的准线为l,圆C:+y2=4,l与圆C交于A,B两点,圆C与E交于M,N两点.若A,B,M,N为同一个矩形的四个顶点,则E的方程为(　　)

A.y2=x B.y2=x C.y2=2x D.y2=2x

答案:C

解析:如图,圆C:+y2=4的圆心C是抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点.

∵圆C:+y2=4的半径为2,∴|NC|=2,根据抛物线定义可得|NA|=|NC|=2.

∵A,B,M,N为同一个矩形的四个顶点,∴点A,N关于直线x=对称,即xN+xA=2=p,

∴xN=p,∴|NA|=p-=2,即2p=2,则E的方程为y2=2x.故选C.

7.(2020河南安阳三模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,l与x轴的交点为P,点A在抛物线C上,过点A作AA'⊥l,垂足为A'.若四边形AA'PF的面积为14,且cos∠FAA'=,则抛物线C的方程为(　　)

A.y2=x B.y2=2x C.y2=4x D.y2=8x

答案:C

解析:过点F作FF'⊥AA',垂足为F'.设|AF'|=3x,因为cos∠FAA'=,所以|AF|=5x,|FF'|=4x.由抛物线的定义可知|AF|=|AA'|=5x,则|A'F'|=2x=p,故x=四边形AA'PF的面积S==14,解得p=2,故抛物线C的方程为y2=4x.

8.(2021广东梅州一模)O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为C上一点,若|PF|=4,则△POF的面积为(　　)

A.2 B.2 C.2 D.4

答案:C

解析:∵抛物线C的方程为y2=4x,

∴2p=4,可得,得焦点F(,0),设P(m,n),根据抛物线的定义,得|PF|=m+=4,即m+=4,解得m=3,∵点P在抛物线C上,得n2=43=24,∴n=±2

∵|OF|=,∴△POF的面积为S=|OF|×|n|=2,故选C.

9.已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,过A,B分别作y轴的垂线,垂足分别为C,D,则|AC|+|BD|的最小值为　　　　　. 

答案:2

解析:由题意知F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即|AC|+|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值.依抛物线定义知当|AB|为通径,即|AB|=2p=4时,为最小值,所以|AC|+|BD|的最小值为2.

10.(2020江西萍乡一模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线l:x=-1,点M在抛物线C上,点M在准线l上的射影为A,且直线AF的斜率为-,则△AMF的面积为　　　　　. 

答案:4

解析:设准线l与x轴交于点N,则|FN|=2.

∵直线AF的斜率为-,

∴∠AFN=60°,

∴∠MAF=60°,|AF|=4.

由抛物线的定义可得|MA|=|MF|,∴△AMF是边长为4的等边三角形.

∴S△AMF=42=4

11.已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,若|AF|+|BF|=5,则线段AB的中点到y轴的距离为　　　　. 

答案:

解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则由抛物线的定义及|AF|+|BF|=5,可得x1++x2+=5,解得x1+x2=,所以线段AB的中点到y轴的距离为

综合提升组

12.如图,过抛物线y2=8x的焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,与抛物线的准线交于点C,若B是AC的中点,则|AB|=(　　)

A.8 B.9 C.10 D.12

答案:B

解析:如图,

设点A,B在准线上的射影分别为点D,E,且设AB=BC=m,直线l的倾斜角为α.

则|BE|=m|cosα|,

所以|AD|=|AF|=|AB|-|BF|=|AB|-|BE|=m(1-|cosα|),所以|cosα|=,

解得|cosα|=

(方法1)由抛物线焦点弦长公式|AB|=可得|AB|==9,故选B.

(方法2)由|cosα|=得tanα=±2,得直线方程,与抛物线联立进而可解得xA+xB=5,于是|AB|=xA+xB+4=9,故选B.

13.(2021东北三省四市联考二)从抛物线的焦点发出的光线经过抛物线反射后,反射光线平行于抛物线的对称轴;反之,平行于抛物线对称轴的光线经抛物线反射后,反射光线经过抛物线的焦点.设抛物线C:y2=x,一束平行于抛物线对称轴的光线经过A(5,2),被抛物线反射后,又射到抛物线C上的Q点,则Q点的坐标为(　　)

A.,- B.,-

C.,- D.,-

答案:D

解析:设光线被抛物线反射的反射点为B,则AB∥x轴,把y=2代入y2=x,得x=4,∴B(4,2),设抛物线y2=x的焦点为F,则F,0,∴直线BF的方程为y=x-,即y=x-,

又y2=x,解得x=4,y=2或x=,y=-,

∴Q,-.故选D.

14.(2021河南洛阳期末)过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,且|AF|=2|BF|,则|AB|=(　　)

A.3 B.9 C D

答案:D

解析:(方法1)抛物线的焦点坐标为F(1,0),设点A(x1,y1),B(x2,y2),易知直线l的斜率存在,设其方程为y=k(x-1).由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,

显然Δ=16k2+16>0恒成立,则x1x2=1,①

因为|AF|=2|BF|,由抛物线的定义得x1+1=2(x2+1),即x1=2x2+1,②

由①②解得x1=2,x2=,所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=2++2=故选D.

(方法2)因|AF|=2|BF|,由结论|AF|=,|BF|=,得=2,

所以2-2cosθ=1+cosθ,即cosθ=,所以sin2θ=,|AB|=

15.(2020河北衡水中学三模)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点M(1,1)的直线与C交于A,B两点,若M恰好为AB的中点,则|AF|+|BF|=　　　　　,直线AB的斜率为　　　　　. 

答案:4　2

解析:过点A,B,M分别作准线x=-1的垂线,垂足分别为A1,B1,M1,则|MM1|=2.

根据梯形中位线定理,得|AA1|+|BB1|=4.

根据抛物线的定义,得|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|=4.

设A(x1,y1),B(x2,y2),

由=4x1,=4x2,得(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2),

则直线AB的斜率为k==2.

创新应用组

16.(2020江西九江二模)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,直线l与抛物线C交于A,B两点,连接AF并延长,交抛物线C于点D,若AB中点的纵坐标为|AB|-1,则当∠AFB最大时,|AD|=(　　)

A.4 B.8 

C.16 D

答案:C

解析:设点A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),由抛物线的定义得|AF|+|BF|=y1+y2+2,

因为=|AB|-1,

所以|AF|+|BF|=2|AB|,

所以cos∠AFB=,

当且仅当|AF|=|BF|时,等号成立.所以当∠AFB最大时,△AFB为等边三角形,AB∥x轴.

不妨设此时直线AD的方程为y=x+1,

由消去y,得x2-4x-4=0,

所以x1+x3=4,

所以y1+y3=(x1+x3)+2=14.

所以|AD|=16.

故选C.

17.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与抛物线C交于A,B两点,直线l2与抛物线C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为(　　)

A.16 B.14 C.12 D.10

答案:A

解析:由题意,可知直线l1,l2的斜率都存在且不为0,点F(1,0).设点A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4),直线l1的方程为y=k(x-1)(k≠0).

由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,Δ>0显然成立,

则x1+x2=

因为l1⊥l2,

所以直线l2的方程为y=-(x-1).

同理,x3+x4=2+4k2.

由抛物线的定义可知|AB|+|DE|=x1+x2+2+x3+x4+2=+2+4k2+4=4k2++8≥2+8=16,当且仅当4k2=,即k=±1时,等号成立.

故|AB|+|DE|的最小值为16.