2023年高考数学一轮复习课时规范练46双曲线含解析北师大版文

课时规范练46　双曲线

基础巩固组

1.(2021北京丰台一模)已知双曲线-y2=1(a>0)的离心率是,则a=(　　)

A B.2 C.2 D.4

答案:B

解析:由e2=1+=1+,得a=2,故选B.

2.(2021全国甲,文5)点(3,0)到双曲线=1的一条渐近线的距离为(　　)

A. B. C. D.

答案:A

解析:由题意,双曲线的一条渐近线方程为y=x,

即3x-4y=0,点(3,0)到该渐近线的距离为.故选A.

3.(2021北京,5)双曲线C:=1过点(),且离心率为2,则该双曲线的标准方程为(　　)

A.x2-=1 B-y2=1

C.x2-=1 D-y2=1

答案:A

解析:∵e2=1+=4,则b2=3a2,则双曲线的方程为=1,由双曲线过点(),得=1,解得a2=1,则所求双曲线的方程为x2-=1.故选A.

4.(2021山东济南一模)已知双曲线=1(m>0)的渐近线方程为x±y=0,则m=(　　)

A B-1 C D.2

答案:A

解析:由双曲线=1(m>0)的渐近线方程为x±y=0,得,解得m=

5.(2020北京模拟预测)设F1,F2为双曲线C:=1(a>0,b>0)的两个焦点,若双曲线C的两个顶点恰好将线段F1F2三等分,则双曲线C的渐近线方程为(　　)

A.y=±2x B.y=±x

C.y=±3x D.y=±x

答案:A

解析:因为双曲线C的两个顶点恰好将线段F1F2三等分,所以2a=2c,则c=3a,所以e==3,所以=2,所以双曲线的渐近线的方程为y=±2x,故选A.

6.(2021北京高三期中)如图是等轴双曲线形拱桥,现拱顶离水面5 m,水面宽AB=30 m.若水面下降5 m,则水面宽是(　　)(结果精确到0.1 m)(参考数值:1.41,2.24,2.65)

A.43.8 m B.44.8 m C.52.3 m D.53.0 m

答案:B

解析:建立如图所示的坐标系,设双曲线的方程为=1(a>0),则其顶点为(0,-a),由题意得A(-15,-a-5),代入双曲线方程得(a+5)2-152=a2,解得a=20,水面下降5米后,水面为A'B',设A'(x0,-a-10),即A'(x0,-30),代入双曲线方程得=1,又x0<0,解得x0=-10,所以河面宽度为2|x0|=2044.8(m).故选B.

7.(2021山东滨州二模)已知F1,F2分别是双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点P是双曲线C上在第一象限内的一点,若sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2,则双曲线C的离心率的取值范围为(　　)

A.(1,2) B.(1,3) C.(3,+∞) D.(2,3)

答案:A

解析:在△PF1F2中,因为sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2,由正弦定理得|PF1|=3|PF2|,又点P是双曲线C上在第一象限内的一点,所以|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF1|=3a,|PF2|=a,在△PF1F2中,由|PF1|+|PF2|>|F1F2|,得3a+a>2c,即2a>c,所以e=<2,又e>1,所以1<e<2.故选A.

8.(2021全国乙,文14)双曲线=1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为　　　　　. 

答案:

解析:由双曲线方程可得c==3,即双曲线的右焦点为F(3,0).则点F到直线x+2y-8=0的距离d=.

9.(2021山东潍坊一模,改编)已知双曲线=1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,一条渐近线方程为y=x,P为C上一点,则以下说法正确的是(　　)

A.C的实轴长为4 B.C的离心率为

C.|PF1|-|PF2|=8 D.C的焦距为10

答案:D

解析:由题意,,又b=3,所以a=4,则c=5,所以2a=8,2c=10,选项A,B错,D正确,当点P为双曲线左支上的点时,选项C错,故选D.

10.已知F是双曲线C:=1的右焦点,若P是C的左支上一点,A(0,6).则△APF周长的最小值为　　　　. 

答案:34

解析:设双曲线的左焦点为F',由双曲线C:=1,得a=2,b=,c=3,

∴F(3,0),F'(-3,0),

|AF|=|AF'|==15,

∴△APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+|PF|+15,由双曲线的定义知|PF|=4+|PF'|,即△APF的周长为|PA|+|PF'|+19≥|AF'|+19=34,当A,P,F'三点共线时取等号.

综合提升组

11.(2021山东聊城三模)已知A,B,C是双曲线:=1(a>0,b>0)上的三点,直线AB经过原点O,AC经过右焦点F,若BF⊥AC,且,则该双曲线的离心率为(　　)

A B C D

答案:D

解析:设双曲线的左焦点为E,连接AE,CE,BE,如图所示,

由题意知|BF|=|AE|,|BE|=|AF|,BF⊥AC,∴四边形AEBF为矩形,

令|BF|=|AE|=m,|BE|=|AF|=n,∵|CE|-|CF|=|AE|-|AF|=2a,,∴|CF|=n,

|AC|=|CF|+|AF|=n,

|CE|=2a+|CF|=2a+n,

∴在Rt△EAC中,m2+n2=2a+n2,将2a=m-n代入消去a,可得m=6n,∴n=a,m=a,

∴在Rt△EAF中,m2+n2=(2c)2,即a2+a2=(2c)2,可得e=故选D.

12.(2021全国高三专题练习)设F1,F2分别是双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F2作双曲线的一条渐近线的垂线,垂足为H,若|HF1|=3|HF2|,则双曲线的离心率为(　　)

A B C D

答案:D

解析:由题设知双曲线C的一条渐近线方程为y=x,即bx-ay=0,

由题意,|HF2|==b,

∴|OH|=a,由cyH=ab,得yH=,

∴H,

∴|HF1|==3|HF2|=3b,

两边平方化简并结合c2=a2+b2,得a4-a2b2=2b4,

∴22+2-1=0,解得,

∴e2=1+,e=,故选D.

13.(2021四川诊断)已知F(c,0)(其中c>0)是双曲线=1(a>0,b>0)的焦点,圆x2+y2-2cx+b2=0与双曲线的一条渐近线l交于A,B两点,已知l的倾斜角为30°,则tan∠AFB=(　　)

A.- B.- C.-2 D.-2

答案:C

解析:由题意可设双曲线的一条渐近线方程为bx-ay=0,圆x2+y2-2cx+b2=0化为(x-c)2+y2=a2,圆心(c,0),半径为a,l与圆(x-c)2+y2=a2(其中c2=a2+b2)相交于A,B两点,由l的倾斜角为30°,可得=tan30°=,过F作FD⊥AB,点D为垂足,F(c,0)到直线l的距离为|FD|==b,∴|BD|=,则tan∠DFB=,得tan∠AFB=tan2∠DFB==-2.故选C.

14.(2021安徽安庆二模)已知F1,F2分别为双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为G.连接F1G,设直线F1G,F2G的斜率分别为k1,k2,若k1k2=-,则双曲线C的离心率为　　　　. 

答案:

解析:已知焦点F1,F2的坐标分别为(-c,0),(c,0),其中c=

根据对称性,不妨设点G在渐近线y=x上,则直线F2G的方程为y=-(x-c),与y=x联立,得G,所以k1=,由k1k2=-,得-=-,化简得c2=2a2,故e=

15.(2020全国Ⅰ,理15)已知F为双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点,A为C的右顶点,B为C上的点,且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3,则C的离心率为　　　　　. 

答案:2

解析:由题意可得A(a,0),F(c,0),其中c=

由BF垂直于x轴可得点B的横坐标为c,代入双曲线方程可得点B的坐标为B

∵AB的斜率为3,∴B

∵kAB==e+1=3,∴e=2.

创新应用组

16.(2021浙江,9)已知a,b∈R,ab>0,函数f(x)=ax2+b(x∈R).若f(s-t),f(s),f(s+t)成等比数列,则平面上点(s,t)的轨迹是(　　)

A.直线和圆 B.直线和椭圆

C.直线和双曲线 D.直线和抛物线

答案:C

解析:由题意得f(s-t)f(s+t)=[f(s)]2,即[a(s-t)2+b][a(s+t)2+b]=(as2+b)2,整理得-2a2s2t2+a2t4+2abt2=0,所以-2as2+at2+2b=0或t=0,其中=1为双曲线,t=0为直线.故选C.

17.(2021山东潍坊二模,改编)已知双曲线C:x2-=1,其左、右焦点分别为F1,F2,过点F2作一直线与双曲线C的右支交于点P,Q,且=0,则下列结论错误的是(　　)

A.△PF1Q的周长为4

B.△PF1F2的面积为3

C.|PF1|=+1

D.△PF1Q的内切圆半径为-1

答案:A

解析:如图,由双曲线x2-=1,得a2=1,b2=3,所以c==2,则|F1F2|=4,

由双曲线定义可得|PF1|-|PF2|=|QF1|-|QF2|=2,

=0,

∴∠F1PQ=90°,

则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=16,

∴|PF1|+|PF2|==2

从而Rt△F1PQ的内切圆半径:

r=(|PF1|+|PQ|-|F1Q|)=(|PF1|+|PF2|)-(|QF1|-|QF2|)=22=-1.

故△PF1Q的内切圆半径为-1,故D正确;

联立

解得|PF1|=+1,|PF2|=-1,故C正确;

|PF1|·|PF2|=+1)·(-1)=3,故B正确;

由|PF1|-|PF2|=|QF1|-|QF2|=2,|PF1|2+|PQ|2=|QF1|2,且|PF1|=+1,|PF2|=-1,解得|QF2|=9+3,|QF1|=11+3

∴△PF1Q的周长为20+8,故A错误.

18.(2021山东德州二模)已知F1,F2是双曲线y2-=1的两个焦点,P是双曲线上任意一点,过F2作∠F1PF2平分线的垂线,垂足为N,则点N到直线x+y-2=0的距离的取值范围是　　　　　. 

答案:[1,3]

解析:设P为双曲线的下支上一点,延长F2N与PF1交于M,连接ON,

由MF2⊥PN,且N为中点,由等腰三角形的三线合一性质,得|PM|=|PF2|,

所以|MF1|=|PF1|-|PM|=|PF1|-|PF2|=2a=2,

所以|ON|=|MF1|=1,则N的轨迹方程为圆x2+y2=1,

由O到直线x+y-2=0的距离d==2,可得N到直线x+y-2=0的距离的取值范围是[2-1,2+1],即[1,3].