2023年高考数学一轮复习课时规范练42点与直线两条直线的位置关系含解析北师大版文

课时规范练42　点与直线、两条直线的位置关系

基础巩固组

1.直线l在直线m:x+y+1=0的上方,且l∥m,它们的距离是,则直线l的方程是(　　)

A.x+y-1=0

B.x+y+3=0

C.x+y+1=0

D.x+y+3=0或x+y-1=0

答案:A

解析:因为l∥m,且直线l在m:x+y+1=0上方,所以可设直线l的方程是x+y+c=0(c<1),因为它们的距离是,则,∴c=-1,或c=3(舍去),所以直线l的方程是x+y-1=0,故选A.

2.(2021浙江台州二模)已知直线l1:x-2y-2=0,l2:x-2y-1=0,则直线l1,l2之间的距离为(　　)

A B C D

答案:A

解析:两直线之间的距离为d=,故选A.

3.(2021河北尚义一中期中)曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+8=0的最短距离是(　　)

A B.2 C.3 D.0

答案:B

解析:设曲线y=ln(2x-1)上的一点是P(m,n),且过P的切线与直线2x-y+8=0平行.由y'=,所以切线的斜率=2,解得m=1,n=ln(2-1)=0,即点P(1,0)到直线2x-y+8=0的距离最短,为d==2故选B.

4.(2021山东模拟)设直线l:3x+2y-6=0,P(m,n)为直线l上一动点,则(m-1)2+n2的最小值为(　　)

A B C D

答案:A

解析:(m-1)2+n2表示点P(m,n)到点A(1,0)距离的平方,该距离的最小值为点A(1,0)到直线l的距离,即,则(m-1)2+n2的最小值为故选A.

5.(2020重庆西南大学附中期末)已知直线ax+by+1=0与直线4x+3y+5=0平行,且ax+by+1=0在y轴上的截距为,则a+b的值为(　　)

A.-7 B.-1 C.1 D.7

答案:A

解析:因为直线ax+by+1=0与直线4x+3y+5=0平行,所以4b=3a.又直线ax+by+1=0在y轴上的截距为,所以b+1=0,解得b=-3.所以a=-4,所以a+b=-7.故选A.

6.(2020湖南郴州模拟)若两平行直线l1:x-2y+m=0(m>0)与l2:2x+ny-6=0之间的距离是,则m+n=(　　)

A.0 B.1 C.-2 D.-1

答案:C

解析:由题意,得,解得n=-4,即直线l2:x-2y-3=0,所以两平行直线之间的距离为d=(m>0),解得m=2,所以m+n=-2.

7.(2020湖北孝昌一中月考)过直线x+y-3=0和2x-y=0的交点,且与直线2x+y-5=0垂直的直线方程是(　　)

A.4x+2y-3=0 B.4x-2y+3=0

C.x+2y-3=0 D.x-2y+3=0

答案:D

解析:由题意,得解得所以两直线的交点坐标为(1,2).直线2x+y-5=0的斜率是-2,故其垂线的斜率是,所以所求直线方程是y-2=(x-1),即x-2y+3=0.

8.(2021贵州遵义师院附中期末)直线mx-y+2m+1=0经过一定点,则该定点的坐标是　　　　. 

答案:(-2,1)

解析:直线mx-y+2m+1=0可化为m(x+2)+(-y+1)=0,因为m∈R,所以解得即直线mx-y+2m+1=0过定点(-2,1).

9.直线l1,l2分别过点M(1,4),N(3,1),它们分别绕点M和N旋转,但必须保持平行,那么它们之间的距离d的最大值是　　　　　. 

答案:

解析:因为直线l1,l2分别过点M(1,4),N(3,1),它们分别绕点M和N旋转,且两直线保持平行,因此当两条平行直线l1,l2都与MN垂直时,它们之间的距离d取得最大值为|MN|=

10.设△ABC的一个顶点是A(-3,1),角B,C的平分线所在直线的方程分别为直线x=0,y=x,则直线BC的方程为　　　　　. 

答案:y=2x-5

解析:∵角B,C的平分线所在直线分别是直线x=0,y=x,

∴AB与BC关于直线x=0对称,AC与BC关于直线y=x对称.A(-3,1)关于直线x=0的对称点A'(3,1)在直线BC上,A关于直线y=x的对称点A″(1,-3)也在直线BC上.由两点式,得出所求直线BC的方程为y=2x-5.

11.若直线l与直线2x-y-2=0关于直线x+y-4=0对称,则l的方程是　　　　　. 

答案:x-2y+2=0

解析:由即两直线的交点坐标为(2,2),在直线2x-y-2=0上取一点A(1,0),设点A关于直线x+y-4=0的对称点的坐标为(a,b).

则

即

解得即对称点的坐标为(4,3),则l的方程为,整理得x-2y+2=0.

综合提升组

12.已知A,B两点分别在两条互相垂直的直线y=2x和x+ay=0上,且线段AB的中点为P0,,则直线AB的方程为(　　)

A.y=-x+5 B.y=x-5

C.y=x+5 D.y=-x-5

答案:C

解析:由直线y=2x和x+ay=0垂直可得a=2,则P(0,5),

设A(x1,2x1),Bx2,-,于是有解得

于是A(4,8),B(-4,2),∴AB所在的直线方程为,即y=x+5.故选C.

13.已知A(2,0),B(0,2),若点C在函数y=x2的图像上,则使得△ABC的面积为2的点C的个数为(　　)

A.4 B.3 C.2 D.1

答案:A

解析:设点C(t,t2).由已知得直线AB的方程为x+y-2=0,|AB|=2,则点C到直线AB的距离d=因为△ABC的面积为2,所以2=2,即|t2+t-2|=2,即t2+t-2=2或t2+t-2=-2.解方程可知t的值有4个,故满足题意的点C有4个.

14.(2021陕西宝鸡二模)四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,∠B=60°,AD=3,DC=5,则对角线BD的长为(　　)

A B C.7 D

答案:D

解析:(方法1)以A为坐标原点,AB,AD所在直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系如图所示,

延长BC交y轴于点M,由AD=3,可得D(0,3),

因为∠B=60°,从而∠DMC=30°,

又∠MCD=90°,所以∠MDC=60°,

所以MD=2DC=10,MA=MD+DA=13,故M(0,13),

所以AB=MAtan30°=,可得B,0,

所以BD=故选D.

(方法2)在四边形ABCD中,由题意得∠ADC=120°,

所以AC2=32+52-2×3×5cos120°=49,

即AC=7,△ADC的外接圆也是四边形ABCD的外接圆,所以BD=2R=

15.如图,已知△ABC为等腰直角三角形,其中∠BAC=90°,且AB=2,光线从AB边的中点P出发,经BC,CA反射后又回到点P(反射点分别为Q,R),则光线经过的路径总长PQ+QR+RP=　　　　　. 

答案:

解析:以A为坐标原点,AB,AC分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,因为△ABC为等腰直角三角形,其中∠BAC=90°,且AB=2,则lBC:x+y-2=0,点P(1,0),所以点P关于y轴的对称点为P1(-1,0),设点P关于直线lBC:x+y-2=0的对称点为P2(x0,y0),则=1且-2=0,解得P2(2,1),则PQ+QR+RP=P2Q+QR+RP1=P1P2=

16.(2021吉林高三月考)已知x∈R,y≠0,则x+2+(x-2y)2的最小值为　　　　　　. 

答案:4

解析:x+2+(x-2y)2看作两点A(x,x),B-,2y之间距离的平方,点A在直线y=x上,点B在曲线y=-,x≠0上,由y'=-'=,令=1,解得x=±,由对称性不妨取点B(-),所以|AB|=2,

所以|AB|2≥4,即x+2+(x-2y)2的最小值为4.

创新应用组

17.若点P在直线x-2y+1=0上,点Q在直线x-2y+3=0上,线段PQ的中点为M(x0,y0),且-1≤x0+y0≤2,则的取值范围是　　　　　　　. 

答案:-∞,-∪[2,+∞)

解析:设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1-2y1+1=0,x2-2y2+3=0,两式相加可得x1+x2-2(y1+y2)+4=0,

由于PQ的中点为M(x0,y0),所以x0-2y0+2=0,

且满足不等式-1≤x0+y0≤2,所以-1≤3y0-2≤2,即y0∈,

故M的轨迹是一条线段AB,由y0=,得x0=-,由y0=,得x0=,即A,B-,

表示点M与原点连线的斜率,

由图可知,≥kOA或≤kOB,

因为kOA=2,kOB=-,所以≥2或≤-.

所以的取值范围是-∞,-∪[2,+∞).

18.(2020安徽六安月考)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|+|PB|的取值范围是(　　)

A.[,2] B.[,2]

C.[,4] D.[2,4]

答案:B

解析:由题意可知,动直线x+my=0经过定点A(0,0),

动直线mx-y-m+3=0即m(x-1)-y+3=0,经过定点B(1,3),

因为动直线x+my=0和动直线mx-y-m+3=0的斜率之积为-1,始终垂直,P又是两条直线的交点,所以PA⊥PB,

所以|PA|2+|PB|2=|AB|2=10.

设∠ABP=θ,则|PA|=sinθ,|PB|=cosθ,由|PA|≥0且|PB|≥0,可得θ∈0,,

所以|PA|+|PB|=(sinθ+cosθ)=2sinθ+,

因为θ∈0,,所以θ+,所以sinθ+∈,1,所以2sinθ+∈[,2].