2023年高考数学一轮复习课时规范练44直线与圆圆与圆的位置关系含解析北师大版文

课时规范练44　直线与圆、圆与圆的位置关系

基础巩固组

1.(2021北京丰台一模)若直线y=kx+1是圆x2+y2-2x=0的一条对称轴,则k的值为(　　)

A.- B.-1 C.1 D.2

答案:B

解析:圆心(1,0)在直线y=kx+1上,即k+1=0,解得k=-1.故选B.

2.直线x-2y-3=0与圆C:(x-2)2+(y+3)2=9交于E,F两点,则△ECF的面积为(　　)

A B.2 C D

答案:B

解析:由题意,圆心为C(2,-3),半径为r=3,则△ECF的高h=d=,底边长为l=2=2=4,所以S△ECF=4=2,故选B.

3.(2021山东泰安一模)已知直线x+y+2=0与圆x2+y2+2x-2y+a=0有公共点,则实数a的取值范围为(　　)

A.(-∞,0] B.[0,+∞)

C.[0,2) D.(-∞,2)

答案:A

解析:由题意,得圆心(-1,1)到直线的距离小于或等于圆的半径,即,解得a≤0,故选A.

4.(2020全国Ⅰ,文6)已知圆x2+y2-6x=0,过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

答案:B

解析:圆的方程可化为(x-3)2+y2=9.因为=2<3,所以点(1,2)在圆内.如图所示,设圆心O1(3,0),A(1,2),当弦BC与O1A垂直时弦最短,因为|O1A|=2,|O1B|=3,所以|AB|==1,所以|BC|=2|AB|=2.

5.若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m的值是(　　)

A.21 B.19 C.9 D.-11

答案:C

解析:圆C1的圆心C1(0,0),半径r1=1,圆C2的方程可化为(x-3)2+(y-4)2=25-m,所以圆心C2(3,4),半径r2=,从而|C1C2|==5.由两圆外切得|C1C2|=r1+r2,即1+=5,解得m=9,故选C.

6.(2021河南郑州二模)若直线x+ay-a-1=0与圆C:(x-2)2+y2=4交于A,B两点,当|AB|最小时,劣弧的长为(　　)

A B.π C.2π D.3π

答案:B

解析:直线x+ay-a-1=0可化为(x-1)+a(y-1)=0,所以直线恒过定点M(1,1),圆的圆心为C(2,0),半径r=2,当MC⊥直线AB时,|AB|取得最小值,且最小值为2=2=2,此时弦AB对的圆心角为,所以劣弧的长为2=π,故选B.

7.(2021陕西宝鸡一模)从直线l:3x+4y=15上的动点P作圆x2+y2=1的两条切线,切点分别为C,D,则四边形OCPD(O为坐标原点)面积的最小值是(　　)

A B.2 C.2 D.2

答案:B

解析:因为△OPD是直角三角形,所以△OPD的面积S△OPD=|PD|·|OD|=|OD|=|OP|的最小值为圆心到直线3x+4y=15的距离,即|OP|min==3,故S△OPD的最小值为,又四边形OCPD的面积等于2S△OPD,所以四边形OCPD的面积的最小值为2故选B.

8.(2021黑龙江哈尔滨三中一模)直线l:x-y=0与圆C:(x-1)2+y2=1交于A,B两点,则|AB|=　　　. 

答案:

解析:圆C的圆心坐标为C(1,0),半径r=1,圆心到直线x-y=0的距离d=,

∴|AB|=2=2

9.(2020天津,12)已知直线x-y+8=0和圆x2+y2=r2(r>0)相交于A,B两点.若|AB|=6,则r的值为　　　　　. 

答案:5

解析:圆x2+y2=r2的圆心为(0,0).圆心到直线的距离d==4,所以2+d2=r2,即32+42=r2,解得r=5.

10.(2021山东烟台二模)已知两条直线l1:y=2x+m,l2:y=2x+n与圆C:(x-1)2+(y-1)2=4分别交于A,B,C,D四点,四边形ABCD是正方形,则|m-n|的值为　　　　　. 

答案:2

解析:∵l1∥l2,

∴正方形ABCD的边长等于直线l1,l2的距离d,则d=

∵圆的半径是2,由正方形的性质知d=2,=2,即有|m-n|=2

综合提升组

11.(2021辽宁百校联盟3月质检)已知直线l:x-2y+6=0与圆C:x2+y2-4y=0相交于A,B两点,则=(　　)

A B.- C D.-

答案:D

解析:圆x2+y2-4y=0的圆心为C(0,2),半径为r=2,

联立

解得

不妨设A(-2,2),B,

则=(-2,0),=,

所以=-2+0=-

故选D.

12.已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法错误的是(　　)

A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切

B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离

C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离

D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切

答案:C

解析:圆心C(0,0)到直线l的距离d=,若点A(a,b)在圆C上,则a2+b2=r2,

所以d==|r|,则直线l与圆C相切,故A正确;

若点A(a,b)在圆C内,则a2+b2<r2,所以d=>|r|,则直线l与圆C相离,故B正确;

若点A(a,b)在圆C外,则a2+b2>r2,所以d=<|r|,则直线l与圆C相交,故C错误;

若点A(a,b)在直线l上,则a2+b2-r2=0,即a2+b2=r2,所以d==|r|,直线l与圆C相切,故D正确.故选C.

13.已知直线l:x-y+6=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,则|CD|=　　　　. 

答案:4

解析:由题意得直线l的倾斜角为,坐标原点O到直线l的距离为=3.

设直线l与x轴交于点E,结合题意知B(0,2),E(-6,0),则|BE|==4.

因为|AB|=2=2,所以A为EB的中点.

由题意知AC∥BD,所以C为DE的中点,即|CE|=|CD|==4.

14.(2021山东模拟)若M,N分别为圆C1:(x+6)2+(y-5)2=4与圆C2:(x-2)2+(y-1)2=1上的动点,P为直线x+y+5=0上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为　　　　. 

答案:9

解析:由题意,点C1(-6,5),半径为2,点C2(2,1),半径为1,

设点C1关于直线x+y+5=0对称的点为C3(x0,y0),

则

解得即C3(-10,1),

连接C2C3,因为点C1,C3关于直线x+y+5=0对称,

所以|PC1|=|PC3|,则|PM|+|PN|≥(|PC1|-|MC1|)+(|PC2|-|NC2|)=(|PC3|-2)+(|PC2|-1)=|PC3|+|PC2|-3≥|C2C3|-3,又|C2C3|-3=-3=12-3=9,故答案为9.

创新应用组

15.(2021新高考Ⅰ,11改编)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则下列说法错误的是(　　)

A.点P到直线AB的距离小于10

B.点P到直线AB的距离大于2

C.当∠PBA最小时,|PB|=3

D.当∠PBA最大时,|PB|=3

答案:B

解析:如图,记圆心为M,半径为r,则M(5,5),r=4.

由条件得,直线AB的方程为=1,整理得x+2y-4=0,过点M作MN垂直于直线AB,垂足为N,直线MN与圆M分别交于点P1,P2,圆心M(5,5)到直线AB的距离|MN|=,于是点P到直线AB的距离最小值为|P2N|=|MN|-r=-4,最大值为|P1N|=|MN|+r=+4.

又-4<2,+4<10,故A正确,B错误;

过点B分别作圆的两条切线BP3,BP4,切点分别为点P3,P4,则当点P在P3处时∠PBA最大,在P4处时∠PBA最小.

又|BP3|=|BP4|==3,故C,D正确.故选B.

16.(2021陕西宝鸡二模)已知圆M:(x-1)2+y2=1,圆N:(x+1)2+y2=1,直线l1,l2分别过圆心M,N,且l1与圆M相交于A,B两点,l2与圆N相交于C,D两点,点P是椭圆=1上任意一点,则的最小值为(　　)

A.7 B.9 C.6 D.8

答案:C

解析:由圆的方程可得M(-1,0),N(1,0),由题意椭圆的左、右焦点恰好为点N,M,可得|PM|+|PN|=2a=4,|PN|∈[a-c,a+c],所以|PN|∈[1,3],=-=-,|MA|=|ND|=1,=()()+()()=-2=(2a-|PN|)2+|PN|2-2=2|PN|2-8|PN|+14=2(|PN|-2)2+6,设y=2(|PN|-2)2+6,|PN|∈[1,3],所以当|PN|=2时,ymin=6,故选C.