2023年高考数学一轮复习课时规范练48直线与圆锥曲线的位置关系含解析北师大版文

这是一份2023年高考数学一轮复习课时规范练48直线与圆锥曲线的位置关系含解析北师大版文，共8页。试卷主要包含了已知抛物线C，已知椭圆C等内容，欢迎下载使用。
课时规范练48　直线与圆锥曲线的位置关系基础巩固组1.(2021浙江高三期末)若直线mx+ny=9和圆x2+y2=9没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆=1的交点有(　　)A.1个 B.至多一个 C.2个 D.0个答案:C解析:因为直线mx+ny=9和圆x2+y2=9没有交点,所以>3,即m2+n2<9,所以<1,即点(m,n)在椭圆=1内,所以直线与椭圆有2个交点.故选C.2.椭圆C的焦点F(±2,0),长轴长6,直线y=x+2交椭圆C于A,B两点,则线段AB的中点坐标为(　　)A.(2,) B.C.-2, D.-答案:D解析:因为a=3,c=2,所以b==1,设线段AB的中点坐标为M(x0,y0),则y0=x0+2,由结论kAB=-=-=1,得x0=-,y0=x0+2=,故选D.3.(2021陕西高三月考)已知M,N是椭圆=1上关于原点对称的两点,P是该椭圆上不同于M,N的一点,若直线PM的斜率k1的取值范围为-,-1,则直线PN的斜率k2的取值范围为(　　)A.,1 B. C.1, D.答案:B解析:设点M(x0,y0),N(-x0,-y0),P(x1,y1),则k1k2=,∵点M(x0,y0),P(x1,y1)在椭圆上,∴=1,=1,=91-,=91-.∴k1k2==-,∴k2=-.又k1∈-,-1,∴k2∈,故选B.4.抛物线C:y2=4x的焦点为F,斜率为1的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P,若=3,则|AF|+|BF|=(　　)A.4 B.8 C.12 D.9答案:C解析:由题意,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线方程为x=y+b,联立得y2-4y-4b=0,Δ=16+16b>0,即b>-1,y1+y2=4,y1y2=-4b,由=3,得y1=-3y2,即=-3,由=-3-,整理得3(y1+y2)2+4y1y2=0,所以48-16b=0,则b=3,所以y2-4y-12=0,解得y1=6,y2=-2,从而得A(9,6),B(1,-2),得|AF|+|BF|=x1+1+x2+1=12.5.(2021广西南宁一模)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为圆x2+(y-1)2=2的圆心,又经过抛物线C的焦点且倾斜角为60°的直线交抛物线C于A,B两点,则|AB|=(　　)A.12 B.14 C.16 D.18答案:C解析:因为圆心坐标为(0,1),所以=1,即p=2,所以抛物线C为x2=4y,由题意得直线AB的方程为y=x+1,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立整理,得x2-4x-4=0,所以x1+x2=4,y1+y2=(x1+x2)+2=14,由抛物线的性质可得|AB|=y1+y2+p=14+2=16.6.(2021湖北黄冈模拟)过椭圆C:=1(a>b>0)右焦点F的直线l:x-y-=0交C于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为-,则椭圆C的方程为(　　)A=1 B=1C=1 D=1答案:A解析:由直线x-y-=0,令y=0,可得x=,所以右焦点F(,0),由结论kABkOP=-,得1×-=-,所以a2=2b2,又c2=3,所以a2=6,b2=3,所以椭圆的方程为=1,故选A.7.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线y=2x-4与C交于A,B两点,则cos∠AFB=　　　　. 答案:-解析:(方法1)由得x2-5x+4=0,解得x1=1,x2=4,则由抛物线的定义得|AF|=2,|BF|=5,|AB|=|4-1|=3,cos∠AFB==-(方法2)由得x2-5x+4=0,解得x1=1,x2=4,则A(1,-2),B(4,4),所以=(0,-2),=(3,4),cos∠AFB==-8.过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C:=1(a>b>0)相交于点A,B,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率为　　　　. 答案:解析:(方法1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则有=1,=1,两式相减可得=0,又x1+x2=2,y1+y2=2,=-,即+-=0,整理得a2=2b2,c2=a2-b2=b2,∴e=(方法2)由结论kAB=-=-=-,得a2=2b2,c2=a2-b2=b2,∴e=9.(2021山西吕梁一模)已知椭圆C:=1(a>b>0)过点A1,,B(0,-1).(1)求椭圆C的方程;(2)经过D(2,1),且斜率为k的直线l交椭圆C于P,Q两点(均异于点B),求直线BP与BQ的斜率之和.解:(1)因为椭圆C:=1(a>b>0)过点A1,,B(0,-1),所以=1,=1,则a2=3,b2=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)由题设知直线l的方程为y=k(x-2)+1,由题意B(0,-1)不在直线l上,则k≠1.直线l与椭圆联立整理得(1+3k2)x2+(6k-12k2)x+12k2-12k=0,由Δ>0,得0<k<4,且k≠1.设P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x2≠0,则x1+x2=,x1x2=,kBP+kBQ==2k+2(1-k)=2k+2(1-k)=2k+2(1-k)=1.故直线BP与BQ的斜率之和为1.综合提升组10.(2021江西上饶一模)过抛物线y2=4x的焦点F作斜率为k的直线交抛物线于A,B两点,若=3,则k的值为(　　)A.3 B.±3 C.± D.±答案:C解析:由抛物线的方程可得F(1,0),设直线AB的方程为y=k(x-1),代入抛物线方程消去y,可得k2x2-2(2+k2)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),显然Δ>0恒成立,则x1+x2=,x1x2=1,所以y1+y2=k(x1+x2-2)=所以=(1-x1,-y1),=(x2-1,y2),由=3,可得则x2=+1,y2=,代入抛物线方程可得2=4+1,解得k=±,故选C.11.(2021河北高三模拟)已知直线y=kx-1与椭圆=1交于点A,B,与y轴交于点P,若=3,则实数k的值为(　　)A B.- C.± D.±答案:C解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意可得P(0,-1),联立整理得(3+4k2)x2-8kx-8=0,Δ>0显然成立,x1+x2=,①x1x2=,②因为=3,则(-x1,-1-y1)=3(x2,y2+1),可得x1=-3x2,将其代入①可得-2x2=,可得x2=,则x1=,又x1x2=,则有,解得k2=,即k=±,故选C.12.(2021山西太原一模)已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,0的直线与该抛物线相交于A,B两点,若△AOF的面积与△BOF(O为坐标原点)的面积之比是2,则|AB|=(　　)A B C D答案:A解析:由题意知,所以p=1,抛物线方程为y2=2x,设直线AB的方程为x=my+,设A(x1,y1),B(x2,y2),点A在x轴上方,则m>0,联立整理得y2-2my-1=0,y1+y2=2m,y1y2=-1,由题意=2,可得y1=-2y2,解得m=,则y1+y2=,x1+x2=m(y1+y2)+1=,由抛物线的定义可知|AB|=x1+x2+p=13.(2021四川高考诊断)已知直线经过抛物线y2=4x的焦点F,并交抛物线于A,B两点,在抛物线的准线上的一点C满足=2,则|AF|=　　　　. 答案:4解析:由题意得F(1,0),准线方程为x=-1,设C(-1,y0),B(x1,y1),且B在x轴下方,=2,∴(x1+1,y1-y0)=2(1-x1,-y1),则x1+1=2(1-x1),得x1==4,即B,-,∴kBF=直线AB的方程为y=(x-1),联立整理可得3x2-10x+3=0,解得x=3或x=(舍去),∴可得点A的横坐标为3,∴|AF|=3+1=4.14.(2021全国高三专题练习)已知椭圆E:=1(a>b>0)的离心率为,F1,F2分别为椭圆E的左、右焦点,M为E上任意一点,的最大值为1,椭圆右顶点为A.(1)求椭圆E的方程;(2)若过点A的直线l交椭圆于另一点B,过B作x轴的垂线交椭圆于点C(点C异于点B),连接AC交y轴于点P.如果时,求直线l的方程.解:(1)当M为椭圆的短轴端点时,取得最大值,即S=2c×b=1,又,a2=b2+c2,解得a=,b=1,c=1,所以椭圆方程为+y2=1.(2)A(,0),根据题意,直线l斜率存在且不为0,设直线l:y=k(x-),B(x0,y0),联立得(1+2k2)x2-4k2x+4k2-2=0,+x0=x0=,即B,由题意得C,又直线AC:y=-k(x-),故P(0,k),=(,-k)·k=,即8k4+18k2-5=0,解得k2=-(舍),k2=,故k=±,直线l的方程为y=或y=-,即x-2y-=0或x+2y-=0.创新应用组15.(2021黑龙江哈尔滨三中一模)已知椭圆E与双曲线C:-y2=1有相同的焦点F1,F2,点P是两曲线的一个交点,且=0,过椭圆E的右焦点F2作倾斜角为的直线交椭圆E于A,B两点,且=,则λ可以取(　　)A.4 B.5 C.7 D.8答案:D解析:由题得椭圆的焦点为F1(-,0),F2(,0),不妨设P在第一象限,设椭圆方程为=1(a>b>0),因为=0,所以PF1⊥PF2.|PF1|2+|PF2|2=(2)2=12,又|PF1|+|PF2|=2a,|PF1|-|PF2|=2,解得a=2,所以椭圆的方程为+y2=1.由题得直线AB的方程为y=(x-),即y=x-1,联立直线AB和椭圆方程得y=或y=-1,所以A,B(0,-1),或A(0,-1),B.当A,B(0,-1)时,=-,-,=-,-,因为=,所以λ=8.当A(0,-1),B时,同理可得λ=所以λ可以取8.故选D.16.(2021东北三省四市教研联合体一模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线为l,过抛物线上一点B向x轴作垂线,垂足恰好为抛物线C的焦点F,且|BF|=4.(1)求抛物线C的方程;(2)设l与x轴的交点为A,过x轴上的一个定点(1,0)的直线m与抛物线C交于D,E两点.记直线AD,AE的斜率分别为k1,k2,若k1+k2=,求直线m的方程.解:(1)由题意,设B,4,代入y2=2px(p>0),得p2=16,即p=4,所以抛物线C的方程为y2=8x.(2)当直线m的斜率不存在时,k1+k2=0,与题意不符,所以直线m的斜率一定存在.设直线m的方程为y=k(x-1),代入y2=8x中,k2x2-(2k2+8)x+k2=0,Δ>0显然恒成立.设D(x1,y1),E(x2,y2),则Δ>0恒成立.k1+k2=.所以k=.所以直线m的方程为4x-3y-4=0.