2023年高考数学一轮复习课时规范练56极坐标方程与参数方程含解析北师大版文

这是一份2023年高考数学一轮复习课时规范练56极坐标方程与参数方程含解析北师大版文，共6页。试卷主要包含了故|AB|=410等内容，欢迎下载使用。
课时规范练56　极坐标方程与参数方程基础巩固组1.(2020全国Ⅲ,理22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数且t≠1),C与坐标轴交于A,B两点.(1)求|AB|;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求直线AB的极坐标方程.解:(1)因为t≠1,由2-t-t2=0得t=-2,所以C与y轴的交点为(0,12);由2-3t+t2=0得t=2,所以C与x轴的交点为(-4,0).故|AB|=4.(2)由(1)可知,直线AB的直角坐标方程为=1,将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入,得直线AB的极坐标方程3ρcosθ-ρsinθ+12=0.2.(2021四川绵阳一诊)在极坐标系中,O为极点,如图所示,已知M4,以OM为直径作圆C.(1)求圆C的极坐标方程;(2)若P为圆C左上半圆弧OM的三等分点,求点P的极坐标.解:(1)设点A(ρ,θ)为圆上任一点,则|OA|=ρ,∠AOM=θ-,在Rt△AOM中,ρ=4cosθ-.所以圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ-,-≤θ≤.(2)圆C左上半圆弧OM的三等分点对应的极角有θ1=,θ2=.代入圆C的极坐标方程中,得圆C左上半圆弧OM的三等分点分别为P16,,P22.3.(2020全国Ⅰ,理22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为4ρcos θ-16ρsin θ+3=0.(1)当k=1时,C1是什么曲线?(2)当k=4时,求C1与C2的公共点的直角坐标.解:(1)当k=1时,C1:消去参数t得x2+y2=1,故曲线C1是圆心为坐标原点,半径为1的圆.(2)当k=4时,C1:消去参数t得C1的普通方程为=1.C2的直角坐标方程为4x-16y+3=0.由解得故C1与C2的公共点的直角坐标为.4.(2021陕西宝鸡一模)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C1的极坐标方程为ρsinθ+=2,0≤θ≤,曲线C2的参数方程为(t为参数).(1)将曲线C1的极坐标方程化为直角坐标方程,C2的参数方程化为普通方程.(2)设C1,C2的交点为P,求圆心在极轴上,且经过极点和P的圆的极坐标方程.解:(1)由ρsinθ+=2,得ρsinθ×+ρcosθ×=2,所以曲线C1的直角坐标方程为x+y-4=0(0≤x≤4).消去曲线C2的参数方程中的参数t,得C2的普通方程为(x+1)2-(y-1)2=8.(2)由解得故P(2,2).设所求的圆心坐标(x0,0),所以+(0-2)2,解得x0=2.由于圆经过极点,所以圆的直径2r=4,所求圆的极坐标方程为ρ=4cosθ.5.(2021内蒙古包头一模)在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C1的参数方程为(α为参数),直线C2的极坐标方程为θ=-(ρ∈R).(1)将曲线C1的参数方程化为普通方程,直线C2的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)求与直线C2平行且与曲线C1相切的直线l的直角坐标方程.解:(1)已知曲线C1的参数方程为(α为参数),根据cos2α=1-2sin2α转换为普通方程为y=-2x2+1.直线C2的极坐标方程为θ=-(ρ∈R),转换为直角坐标方程为x+y=0.(2)设直线l的方程为y=-x+b,由于直线l与曲线C相切,故整理得2x2-x+b-1=0,由Δ=-4×2×(b-1)=0,解得b=,故直线l的方程为y=-x+.综合提升组6.(2021广西南宁一模)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为θ=(ρ∈R).(1)求曲线C的极坐标方程,若原点O在曲线C的内部,则求实数a的取值范围;(2)当a=1时,直线l与曲线C交于M,N两点,又P为此时曲线C上一动点,求△PMN面积的最大值.解:(1)将曲线C的参数方程化为普通方程为(x-a)2+y2=2,表示以(a,0)为圆心,半径为的圆.由得曲线C的极坐标方程为ρ2-(2acosθ)ρ+a2-2=0.又原点O在曲线C的内部,得(0-a)2+02<2,解得-<a<,故a的取值范围是(-).(2)直线l的极坐标方程转化为普通方程为y=x,由a=1,得圆的方程为(x-1)2+y2=2,所以圆心(1,0)到直线y=x的距离d=,所以|MN|=2,圆上的点到直线l上的最大距离为.故△PMN面积的最大值为S△PMN=×=.7.在平面直角坐标系xOy中,☉O的参数方程为(θ为参数),过点(0,-)且倾斜角为α的直线l与☉O交于A,B两点.(1)求α的取值范围;(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.解:(1)☉O的直角坐标方程为x2+y2=1.当α=时,l与☉O交于两点.当α≠时,记tanα=k,则l的方程为y=kx-,l与☉O交于两点当且仅当<1,解得k<-1或k>1,即α∈或α∈.综上,α的取值范围是.(2)l的参数方程为t为参数,<α<.设A,B,P对应的参数分别为tA,tB,tP,则tP=,且tA,tB满足t2-2tsinα+1=0.于是tA+tB=2sinα,tP=sinα.又点P的坐标(x,y)满足所以点P的轨迹的参数方程是α为参数,<α<.8.(2021甘肃兰州一模)在平面直角坐标系xOy中,双曲线C1的参数方程为(t为参数).以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2-8ρcos θ+16-r2=0(r>0).(1)若r=3,设双曲线C1的一条渐近线与C2相交于A,B两点,求|AB|.(2)若r=1,分别在C1与C2上任取点P和Q,求|PQ|的最小值.解:(1)若r=3,曲线C2的极坐标方程为ρ2-8ρcosθ+7=0,将x=ρcosθ,x2+y2=ρ2代入上式转换为直角坐标方程为(x-4)2+y2=9.双曲线C1的参数方程为(t为参数),转换为普通方程为y2-x2=4.其中一条渐近线为x-y=0,圆心(4,0)到该渐近线的距离d==2,则=9-8=1,解得|AB|=2.(2)若r=1时,曲线C2的极坐标方程为ρ2-8ρcosθ+15=0,转换为直角坐标方程为(x-4)2+y2=1,圆心坐标为(4,0),半径为1,设曲线C1上的点P(x0,y0),则有=4,|PC2|=,当x0=2时,|PC2|min=2,所以|PQ|min=|PC2|min-r=2-1.创新应用组9.(2021安徽蚌埠三模)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2asin θ(a>0),曲线C与l有且只有一个公共点.(1)求实数a的值;(2)若A,B为曲线C上的两点,且∠AOB=,求|OA|·|OB|的最大值.解:(1)直线l的参数方程为(t为参数),转换为普通方程为x+y-3=0.曲线C的极坐标方程为ρ=2asinθ(a>0),转换为直角坐标方程为x2+(y-a)2=a2(a>0),因为曲线C与直线l有且只有一个公共点,所以圆心(0,a)到直线x+y-3=0的距离d==a.解得a=1.(2)设A(ρ1,θ),Bρ2,θ+,所以|OA||OB|=|ρ1||ρ2|=2sinθ·2sinθ+=1+2sin2θ-≤3,当θ=时,|OA|·|OB|的最大值为3.10.在平面直角坐标系xOy中,已知倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(θ为参数),点P的坐标为(-2,0).(1)当cosα=时,设直线l与曲线C交于A,B两点,求|PA|·|PB|的值;(2)若点Q在曲线C上运动,点M在线段PQ上运动,且=2,求动点M的轨迹的参数方程,并把参数方程化为普通方程.解:(1)曲线C的普通方程为x2+y2=1.当cosα=时,直线l的参数方程为(t为参数),代入曲线C的普通方程,得t2-t+3=0.由于Δ=-12=>0,故可设点A,B对应的参数分别为t1,t2,则t1t2=3,所以|PA|·|PB|=3.(2)设Q(cosθ,sinθ),M(x,y),则由=2,得(x+2,y)=2(cosθ-x,sinθ-y),即即动点M的轨迹的参数方程为(θ为参数),由参数方程消去θ得+y2=.此即为点M的轨迹的普通方程.