2023年高考数学一轮复习课时规范练6函数的单调性与最值含解析北师大版文

课时规范练6　函数的单调性与最值

基础巩固组

1.(2021上海南汇中学高三月考)下列函数中,在其定义域上是减函数的是(　　)

A.y=- B.y=x2+2x

C.y=- D.y=

答案:D

解析:选项A,函数在(-∞,0),(0,+∞)上是增加的;

选项B,y=x2+2x对称轴为x=-1,图像开口向上,所以在(-1,+∞)上是增加的;

选项C,因为y=在定义域上为减函数,所以y=-在定义域上是增加的;

选项D,当x≤0时,y=-x+2是减少的,当x>0时,y=-x-2是减少的,且2>-2,

所以y=在定义域上为减函数(本选项也可以画图像判断).

2.(2021云南大理模拟)下列函数中,值域为[0,+∞)的函数是(　　)

A.y=3x+1 B.y=-2x2

C.y= D.y=

答案:C

解析:对于A,根据一次函数的性质,可得函数y=3x+1的值域为R,不符合题意;

对于B,根据二次函数的性质,可得函数y=-2x2的值域为(-∞,0],不符合题意;

对于C,根据幂函数的性质,可得函数y=的值域为[0,+∞),符合题意;

对于D,由函数y=,可得其定义域为{x|x≠1},

由(x-1)2>0,可得函数的值域为(0,+∞),不符合题意.

3.(2021重庆高三二模)已知函数f(x)=在R上是递增的,则实数a的取值范围是(　　)

A.(0,1) B.(1,2] 

C.[2,4) D.(1,4)

答案:C

解析:因为函数f(x)=在R上是递增的,

所以解得2≤a<4.

4.已知函数f(x)=,a=f(20.5),b=f(0.30.2),c=f(log0.32),则a,b,c的大小关系为(　　)

A.c<b<a B.a<b<c

C.b<c<a D.c<a<b

答案:B

解析:函数f(x)=,a=f(20.5),b=f(0.30.2),c=f(log0.32).

根据指数函数和对数函数的单调性可得20.5>20=1,0<0.30.2<0.30=1,log0.32<log0.31=0,

因为函数f(x)=在R上是递减的,且log0.32<0.30.2<20.5,所以f(log0.32)>f(0.30.2)>f(20.5),即a<b<c.

5.(2021广西桂林中学高三月考)若函数f(x)=在区间[2,4]上的最小值为5,则k的值为(　　)

A.10 B.10或20

C.20 D.无法确定

答案:C

解析:当k=0时,不符合题意;

当k>0时,f(x)=在区间[2,4]上是减少的,∴f(x)min=f(4)==5,∴k=20,符合题意;

当k<0时,f(x)=在区间[2,4]上是增加的,f(x)min=f(2)==5,∴k=10.又k<0,∴k=10舍去.

∴k的值为20.

6.(2021广西北海模拟)若定义运算a*b=则函数g(x)=(-x2-2x+4)*(-x+2)的值域为(　　)

A.(-∞,4] B.(-∞,2]

C.[1,+∞) D.(-∞,4)

答案:A

解析:由a*b=得g(x)=(-x2-2x+4)*(-x+2)=

当x∈[-2,1],g(x)=-x+2∈[1,4],当x∈(1,+∞)∪(-∞,-2),g(x)=-(x+1)2+5<4,画出图像如图,数形结合可得g(x)≤4.

7.(2021河北正定模拟)若函数f(x)=4+log2x在区间[1,a]上的最大值为6,则a=　　　　　. 

答案:4

解析:函数f(x)=4+log2x在区间[1,a]上是递增的,于是得f(x)max=f(a)=4+log2a=6,解得a=4.

8.(2021西藏拉萨模拟)函数y=f(x)为定义在(-2,2)上的递增的函数,且f(2m)>f(-m+1),则实数m的取值范围是　　　　　. 

答案:

解析:由题意得解得<m<1.所以实数m的取值范围是

9.(2021湖南衡阳一中高三月考)已知函数f(x)=若f(a2-2)>f(a),则实数a的取值范围是　　　　　. 

答案:(-1,2)

解析:函数f(x)=2-x-1在(-∞,0]上是递减的,f(x)=-x2-2x在(0,+∞)上是递减的,

而2-0-1=-02-2×0,∴函数f(x)=在R上是递减的.

∵f(a2-2)>f(a),∴a2-2<a,解得a的取值范围是(-1,2).

10.(2021四川雅安期末)已知定义域为实数集R的函数f(x)=

(1)判断函数f(x)在R上的单调性,并用定义证明;

(2)若对任意的t∈R,不等式f(2t-3t2)-f(k-t2)>0恒成立,求实数k的取值范围.

解:(1)f(x)==-,f(x)在R上为减函数.

证明:设任意x1,x2∈R,且x1<x2,

所以f(x1)-f(x2)=

易知2x+1>0恒成立,由于x1<x2,y=2x在R上是递增的,所以>0,所以f(x1)>f(x2),

所以f(x)在R上是递减的.

(2)f(2t-3t2)>f(k-t2)恒成立,因为f(x)在R上为减函数,所以2t-3t2<k-t2对于一切t∈R恒成立,即对于一切t∈R有2t2-2t+k>0恒成立,由Δ=(-2)2-4×2×k<0,解得k>故实数k的取值范围是

综合提升组

11.已知函数f(x)=x+,g(x)=2x+a,若任意x1,存在x2∈[1,2],使得f(x1)≤g(x2),则实数a的取值范围是(　　)

A  B[3,+∞)

C D

答案:D

解析:∵任意x1,存在x2∈[1,2],使得f(x1)≤g(x2),∴f(x)max≤g(x)max.

∵f(x)=x+上是递减的,

∴f(x)max=f;

∵g(x)=2x+a在[1,2]上是递增的,∴g(x)max=g(2)=4+a,4+a,解得a

12.(2021四川达州诊断测试)已知函数f(x)=lo(x2-ax+3a)在[1,+∞)上是递减的,则实数a的取值范围是(　　)

A.(-∞,2] B.[2,+∞)

C D

答案:C

解析:令t=x2-ax+3a,易知y=lot在其定义域上是递减的,要使f(x)在[1,+∞)上是递减的,则t=x2-ax+3a在[1,+∞)上是递增的,且t=x2-ax+3a>0,即所以

即-<a≤2.因此,实数a的取值范围是

13.(2021辽宁朝阳一模)写出一个值域为(-∞,1),在区间(-∞,+∞)上是递增的函数f(x)=　　　　　. 

答案:1-(答案不唯一)

解析:f(x)=1-,理由如下:∵y=为R上的减函数,且>0,

∴f(x)=1-为R上的增函数,且f(x)=1-<1,∴f(x)=1-的值域为(-∞,1).

创新应用组

14.已知函数f(x)=函数g(x)=ksin-2k+2(k>0),若存在x1∈[0,1]及x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,则实数k的取值范围是　　　　　. 

答案:

解析:由题意,易得函数f(x)在[0,1]上的值域为[0,1],g(x)在[0,1]上的值域为2-2k,2-,并且两个值域有公共部分.先求没有公共部分的情况,即2-2k>1或2-k<0,解得k<或k>,所以要使两个值域有公共部分,实数k的取值范围是.