2023年新教材高考数学一轮复习单元质检卷四三角函数含解析新人教B版

单元质检卷四　三角函数

(时间:120分钟　满分:150分)

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.若θ=cos 2 021π,则角θ的终边在(　　)

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有一点A(3cos α,2),则sin α的值等于(　　)

A. B. C.- D.-

3.(2021湖南师大附中高三月考)已知=2,则tan 2α=(　　)

A.- B.- C. D.

4.(2021山西太原高三月考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsin(π-C)-ccos(π+B)=0,则tan B=(　　)

A. B. C.- D.-

5.(2021安徽合肥高三期末)已知函数f(x)=tanωx+(ω>0)的图像上相邻两个对称中心的距离为,若将f(x)的图像向右平移个单位得到函数g(x)的图像,则函数g(x)的单调递增区间为(　　)

A.(k∈Z)

B.(k∈Z)

C.kπ-,kπ+(k∈Z)

D.kπ-,kπ+(k∈Z)

6.

如图,一个大风车的半径为8 m,12 min旋转一周,它的最低点P0离地面2 m,风车翼片的一个端点P从P0开始按逆时针方向旋转,则点P离地面的距离h(单位:m)与时间t(单位:min)之间的函数关系式是(　　)

A.h(t)=-8sint+10

B.h(t)=-cost+10

C.h(t)=-8sint+8

D.h(t)=-8cost+10

7.(2021天津和平高三期中)已知函数f(x)=asin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)ω>0,|φ|<的最小正周期为π,其最小值为-2,且满足f(x)=-f-x,则φ=(　　)

A.± B.± C. D.-或-

8.已知锐角三角形ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,若cos 2C=1-,则角B等于(　　)

A. B. C. D.

二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9.(2021江苏连云港高三月考)设α是三角形的一个内角,则下列哪些值可能为负值(　　)

A.sin(π-α) B.cos(-α) 

C.tan(π+α) D.tan

10.(2021浙江杭州高三月考)若将函数f(x)=cos2x+的图像向左平移个单位,得到函数g(x)的图像,则下列说法正确的是(　　)

A.g(x)的最小正周期为π

B.g(x)在区间0,上单调递减

C.x=不是函数g(x)图像的对称轴

D.g(x)在-上的最小值为-

11.(2021福建厦门高三月考)已知tan(α+β)=tan α+tan β,其中α≠(k∈Z)且β≠(m∈Z),则下列结论一定正确的是(　　)

A.sin(α+β)=0

B.cos(α+β)=1

C.sin2+sin2=1

D.sin2α+cos2β=1

12.(2021河北沧州高三二模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin 2C=tan A(2sin2C+cos C-2),则下列结论中错误的是(　　)

A.△ABC可能是直角三角形

B.角B可能是钝角

C.必有A=2B

D.可能有a=2b

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.(2021山东德州高三月考)若函数f(x)=sin(2ωx-θ)(ω>0,-π<θ<0)是周期为的偶函数,则f=　　　　　. 

14.(2021北京海淀高三月考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若sin C=2sin A,b2-a2=ac,则sin B等于　　　　　. 

15.已知sin(α-β)=,sin(α+β)=,则=　　　　　. 

16.如图所示,在平面四边形ABCD中,AB⊥BD,AB=BD,BC=CD,AD=2,在△ABC中,角A,B,C的对应边分别为a,b,c,若c2=2abcos∠BCA,则△ACD的面积为　　　　　　. 

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)(2021福建泉州高三月考)已知f(θ)=.

(1)化简f(θ);

(2)若tan θ=,求fθ-的值.

18.(12分)(2021安徽六安高三期中)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+BA>0,ω>0,|φ|<的部分图像如图所示.

(1)求f(x)的解析式及对称中心坐标;

(2)设α∈(0,π),且f=-2,求α的值.

19.(12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=,b=2.

(1)若A=,求cos 2B;

(2)当A取得最大值时,求△ABC的面积.

20.(12分)(2021河北石家庄高三二模)已知函数f(x)=cosx+cosx+.

(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间;

(2)将函数f(x)的图像向右平移个单位,再将横坐标扩大为原来的2倍得到g(x)的图像,求函数g(x)在[0,π]上的值域.

21.(12分)

(2021福建宁德高三二模)如图,准备在河岸一侧建造一个观景台P,已知射线AB,AC为两边夹角为120°的公路(长度均超过千米),在两条公路AB,AC上分别设立游客上下点M,N,从观景台P到M,N建造两条观光线路PM,PN,测得AM=千米,AN=千米.

(1)求线段MN的长度;

(2)若∠MPN=60°,求两条观光线路PM与PN之和的最大值.

22.(12分)

如图,平面四边形ABCD,点B,C,D均在半径为的圆上,且∠BCD=.

(1)求BD的长度;

(2)若AD=3,∠ADB=2∠ABD,求△ABD的面积.

单元质检卷四　三角函数

1.D　解析:因为θ=cos2021π=-1∈-,0,所以角θ的终边在第四象限,故选D.

2.B　解析:由三角函数定义得tanα=,即,所以sinα=,故选B.

3.A　解析:因为tanα+=2,所以tanα=3,从而可得tan2α==-,故选A.

4.D　解析:由已知得bsinC+ccosB=0,即sinBsinC+sinCcosB=0,因为sinC≠0,所以sinB+cosB=0,故tanB=-,故选D.

5.A　解析:依题意得,所以T=,所以,解得ω=2,所以f(x)=tan2x+,把f(x)的图像向右平移个单位,得到函数g(x)=tan2x-+=tan2x的图像,令kπ-<2x<kπ+,k∈Z,解得<x<,k∈Z,所以函数g(x)的单调递增区间为(k∈Z),故选A.

6.D　解析:设h=Asin(ωt+φ)+BA>0,ω>0,|φ|≤,由题意可得hmax=18,hmin=2,T=12,∴A==8,B==10,ω=,则h=8sin+φ+10.当t=0时,8sinφ+10=2,得sinφ=-1,则φ=-,所以h=8sint-+10=-8cost+10.故选D.

7.A　解析:由最小正周期为π,可得ω=2.∵最小值为-2,∴=2,a=±.

∵f(x)=-f-x,∴函数图像关于点,0对称.

①若a=,则f(x)=sin(2x+φ)+cos(2x+φ)=2sin2x+φ+.

∵2×+φ+=kπ(k∈Z),∴φ=kπ-(k∈Z).令k=1,得φ=.

②若a=-,则f(x)=-sin(2x+φ)+cos(2x+φ)=-2sin2x+φ-,

∵2×+φ-=kπ(k∈Z),则φ=kπ-(k∈Z).令k=0,得φ=-.

综上可得,φ=±,故选A.

8.A　解析:由cos2C=1-,结合正弦定理可得1-2sin2C=1-,整理得sin2B-2sin2Csin2B=sin2B-sin2C.又C为锐角,故sinC≠0.于是sin2B=,从而sinB=.又因为三角形ABC是锐角三角形,所以B=.

9.BC　解析:由已知可得0<α<π,则0<,sin(π-α)=sinα>0,故A不正确;tan=tan=>0,故D不正确;当<α<π时,cos(-α)=cosα<0,tan(π+α)=tanα<0,故B,C正确.故选BC.

10.ACD　解析:由题意可得g(x)=cos2x++=cos2x+,∴函数g(x)的最小正周期为π,故A正确;当x∈0,时,2x+∈,故g(x)在区间0,上不单调,故B错误;∵g=0,故x=不是函数g(x)图像的对称轴,故C正确;当x∈-时,2x+∈0,,∴当2x+,即x=时,g(x)取得最小值-,故D正确,故选ACD.

11.AD　解析:因为tan(α+β)=,且tan(α+β)=tanα+tanβ,所以1-tanα·tanβ=1,即tanα·tanβ=0,所以α=k1π(k1∈Z)或β=m1π(m1∈Z),sin(α+β)=sin(k1π+m1π)=0(k1,m1∈Z),故A正确;

cos(α+β)=cos(k1π+m1π)=±1(k1,m1∈Z),故B错误;

sin2+sin2=sin2+sin2,令k1=m1=1,则sin2+sin2=2,故C错误;

由A知sin(α+β)=0,则α+β=nπ(n∈Z),故sin2α+cos2β=sin2α+cos2(nπ-α)=sin2α+cos2α=1(n∈Z),故D正确,故选AD.

12.BC　解析:依题意得2sinCcosC=(2-2cos2C+cosC-2),即2sinCcosC=·cosC(1-2cosC),整理得cosC·[2(sinAcosC+cosAsinC)-sinA]=0,即cosC·(2sinB-sinA)=0,所以cosC=0或sinA=2sinB.当cosC=0时,△ABC是直角三角形,故A选项正确;而当sinA=2sinB时,由正弦定理可得a=2b,故C选项错误,D选项正确;无论cosC=0或sinA=2sinB,均可得角B为锐角,故B选项错误.

13.-　解析:依题意可得,θ=-,即ω=2,θ=-,于是f(x)=cos4x,因此f=cos4×=-.

14.　解析:∵sinC=2sinA,∴c=2a.又b2-a2=ac,∴b2=2a2,即b=a.由余弦定理可得,cosB=.又0<B<π,∴sinB=.

15.9　解析:由题得sinαcosβ-cosαsinβ=,sinαcosβ+cosαsinβ=,两式相加得sinαcosβ=,两式相减得cosαsinβ=,因此=9.

16.　解析:∵AB=BD,AB⊥BD,∴在等腰直角三角形ABD中,AD=AB=c.在△ABC中,由余弦定理得a2+b2-2abcos∠BCA=c2,又已知c2=2abcos∠BCA,∴a2+b2=2c2.又a=BC=CD,b=AC,AD=c,∴AC2+CD2=AD2,∴AC⊥CD.作CF⊥BD分别交BD,AD于点F,E,∵BC=CD,E,F分别为线段AD,BD的中点,∴∠CED=45°,CE=ED=1,∴S△ACD=2S△ECD=2××EC×ED×sin45°=.

17.解(1)f(θ)=

=.

(2)因为tanθ=,

所以tanθ-==3,

所以fθ-=.

18.解(1)由函数图像可知A+B=1,B-A=-3,

则A=2,B=-1.又,即T=π,

所以ω==2,从而函数f(x)=2sin(2x+φ)-1.

把,1代入f(x)解析式得+φ=+2kπ,φ=+2kπ(k∈Z).

又|φ|<,故φ=,所以函数解析式为f(x)=2sin2x+-1.

由2x+=kπ(k∈Z)得x=-(k∈Z),

所以对称中心坐标为,-1(k∈Z).

(2)因为f=2sinα+-1=-2,

所以sinα+=-.又α∈(0,π),则α+∈,

所以α+,即α=.

19.解(1)由正弦定理得,,解得sinB=,

∴cos2B=1-2sin2B=1-.

(2)由余弦定理得cosA=,

∵,当且仅当c=1时,等号成立,

∴cosA≥,则0<A≤,即A的最大值为,

此时S△ABC=bcsinA=×2×1×.

20.解(1)f(x)=cosx+·cosx+=(-sinx)·-cosx+=sinxcosx-sinx

=sinxcosx-sin2x=sin2x-sin2x+cos2x-sin2x+-,

所以函数f(x)的最小正周期为=π.

由-+2kπ≤2x++2kπ(k∈Z),得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),

故函数的单调递增区间为-+kπ,+kπ(k∈Z).

(2)函数f(x)的图像向右平移个单位,得到y=sin2x-+-sin2x--,

再将横坐标扩大为原来的2倍得到g(x)=sinx--.

因为x∈[0,π],则x-∈-,

则sinx-∈-,1,故g(x)∈-.

故函数g(x)在[0,π]上的值域为-.

21.解(1)在△AMN中,由余弦定理得MN2=AM2+AN2-2AM·ANcos120°=3+3-2××-=9,

所以MN=3,故线段MN的长度为3千米.

(2)设∠PMN=α,因为∠MPN=60°,所以∠PNM=120°-α.

在△PMN中,由正弦定理得=2,

所以PM=2sin(120°-α),PN=2sinα.

因此PM+PN=2sin(120°-α)+2sinα=2cosα+sinα+2sinα=3sinα+3cosα=6sin(α+30°).

由于0°<α<120°,所以30°<α+30°<150°.

所以当α+30°=90°,即α=60°时,PM+PN取到最大值6.

即两条观光线路距离之和的最大值为6千米.

22.解(1)由题意可知,△BCD的外接圆半径为,由正弦定理=2R=×2,解得BD=5.

(2)(方法1)在△ABD中,设∠ABD=α,α为锐角,则∠ADB=2α,

因为,

所以,

所以AB=6cosα.

因为AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cosα,即9=36cos2α+25-60cos2α,

所以cosα=.

则AB=6cosα=2,sinα=,

所以S△ABD=AB·BD·sinα=5.

(方法2)在△ABD中,因为∠ADB=2∠ABD,

所以sin∠ADB=sin2∠ABD

=2sin∠ABDcos∠ABD,

所以AB=2AD·cos∠ABD=2AD·,

因为BD=5,AD=3,所以AB=2,

所以cos∠ABD=,则sin∠ABD=,所以S△ABD=AB·BD·sin∠ABD=5.