2023年高考数学一轮复习单元质检卷十二概率含解析新人教A版理

单元质检卷十二　概率

(时间:120分钟　满分:150分)

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.

1.(2021河北邯郸二模)某商场有三层楼,最初规划一层为生活用品区,二层为服装区,三层为餐饮区,招商工作结束后,共有100家商家入驻,各楼层的商铺种类如表所示,若从所有商铺中随机抽取一家,该商铺所在楼层与最初规划不一致的概率为(　　)

A.0.75 B.0.6

C.0.4 D.0.25

2.在区间[-1,4]内取一个数x,则的概率是(　　)

A. B. C. D.

3.(2021黑龙江齐齐哈尔一模)《周髀算经》中提出了“方属地,圆属天”,就是人们常说的“天圆地方”.我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想.现将铜钱抽象成如图所示的图形,其中圆的半径为r,正方形的边长为a(0<a<r),若在圆内随机取一点,则该点取自阴影部分的概率是(　　)

A.1- B.

C. D.1-

4.(2021河南新乡三模)为庆祝建党100周年,某校组织了一场以“不忘初心、牢记使命”为主题的演讲比赛,该校高一年级某班准备从7名男生,5名女生中任选2人参加该校组织的演讲比赛,则参赛的2人中至少有1名女生的概率是(　　)

A. B. C. D.

5.将3名教师和3名学生共6人平均分成3个小组,分别安排到三个社区参加社会实践活动,则每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率为(　　)

A. B. C. D.

6.(2021山东实验中学二模)市场调查发现,大约的人喜欢在网上购买儿童玩具,其余的人则喜欢在实体店购买儿童玩具.经工商局抽样调查发现,网上购买的儿童玩具合格率为,而实体店里的儿童玩具的合格率为.现工商局通过电话接到一个关于儿童玩具不合格的投诉,则这个儿童玩具是在网上购买的可能性是(　　)

A. B. C. D.

7.从集合{1,2,3,4}中随机抽取一个数a,从集合{4,6,8}中随机抽取一个数b,则向量m=(a,b)与向量n=(2,-1)垂直的概率为(　　)

A. B. C. D.

8.排球比赛的规则是5局3胜制(无平局),在某次排球比赛中,甲队在每局比赛中获胜的概率都相等,均为,前2局中乙队以2∶0领先,则最后乙队获胜的概率是(　　)

A. B. C. D.

9.(2021广东韶关一模)假设某射手每次射击命中率相同,且每次射击之间相互没有影响.若在两次射击中至多命中一次的概率是,则该射手每次射击的命中率为(　　)

A. B. C. D.

10.(2021甘肃一模)圆x2+y2=4上任意一点M到直线3x+4y-15=0的距离大于2的概率为(　　)

A. B. C. D.

11.(2021湖南岳阳一模)“华东五市游”作为中国一条精品旅游路线一直受到广大旅游爱好者的推崇.现有4名高三学生准备高考后到“华东五市”中的上海市、南京市、苏州市、杭州市四个地方旅游,假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游,则恰有一个地方未被选中的概率为(　　)

A. B. C. D.

12.(2021辽宁沈阳一模)已知随机变量ξ~N(1,σ2),且P(ξ≤0)=P(ξ≥a),则(0<x<a)的最小值为(　　)

A.9 B. C.4 D.6

二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为.假定两球是否落入盒子互不影响,则甲、乙两球都落入盒子的概率为　　　　　;甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为　　　　　. 

14.某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛,现采用抽签法决定演讲顺序,在“学生甲不是第一个出场,学生乙不是最后一个出场”的前提下,学生丙第一个出场的概率为　　　　. 

15.(2021天津一模)袋子中有5个大小、质地完全相同的小球,其中有3个红球,2个黄球,从袋中一次性随机取出3个小球后,再将小球放回,则“取出的3个小球中有2个红球,1个黄球”的概率为　　　　　　,记“取出的3个小球中有2个红球,1个黄球”发生的次数为X,若重复5次这样的实验,则X的数学期望为　　　　. 

16.(2021江苏淮安二模改编)为了解目前某市高一学生身体素质状况,对某校高一学生进行了体能抽测,得到学生的体育成绩ξ~N(70,100),其中60分及以上为及格,90分及以上为优秀.则下列说法正确的是　　　　. 

参考数据:随机变量ξ~N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.997 3.

①该校学生体育成绩的方差为10

②该校学生体育成绩的均值为70

③该校学生体育成绩的及格率不到85%

④该校学生体育成绩不及格的人数和优秀的人数相当

三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)(2021湖北武汉一模)有关研究表明,正确佩戴安全头盔,规范使用安全带能够将交通事故死亡风险大幅降低,对保护群众生命安全具有重要作用.2020年4月,“一盔一带”安全守护行动在全国各地开展.行动期间,公安交管部门将加强执法管理,依法查纠摩托车和电动自行车骑乘人员不佩戴安全头盔,汽车驾乘人员不使用安全带的行为,助推养成安全习惯.该行动开展一段时间后,某市针对电动自行车骑乘人员是否佩戴安全头盔问题进行调查,在随机调查的1 000名骑行人员中,记录其年龄和是否佩戴头盔情况,得到如图的统计图表:

(1)估算该市电动自行车骑乘人员的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).

(2)根据所给的数据,完成下面的列联表:

(3)根据(2)中的列联表,判断是否有99%的把握认为遵守佩戴安全头盔与年龄有关?

附:K2=.

18.(12分)(2021北京,18)为加快新冠肺炎检测效率,某检测机构采取“k合1检测法”,即将k个人的拭子样本合并检测,若为阴性,则可以确定所有样本都是阴性的;若为阳性,则还需要对本组的每个人再做检测.现有100人,已知其中2人感染病毒.

(1)①若采用“10合1检测法”,且两名患者在同一组,求总检测次数;

②已知10人分成一组,分10组,两名感染患者在同一组的概率为,定义随机变量X为总检测次数,求检测次数X的分布列和数学期望E(X);

(2)若采用“5合1检测法”,检测次数Y的数学期望为E(Y),试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果).

19.(12分)(2021四川成都双流中学三模)从某市的中学生中随机调查了部分男生,获得了他们的身高数据,整理得到如下频率分布直方图.

(1)求a的值并估计该市中学全体男生的平均身高(假设同一组中的数据用该组区间的中点值代替);

(2)从该市中学的男生中随机抽取一名学生,根据直方图中的信息,估计其身高在180 cm以上的概率.若从全市中学的男生(人数众多)中随机抽取3人,用X表示身高在180 cm以上的男生人数,求随机变量X的分布列和数学期望E(X).

20.(12分)(2021山西孝义模拟)张先生到一家公司参加面试,面试的规则是:面试官最多向他提出五个问题,只要正确回答出三个问题即终止提问.通过以往面试经验,张先生能够正确回答面试官提出的任何一个问题的概率为,假设回答各个问题正确与否互不干扰.

(1)求张先生通过面试的概率;

(2)记本次面试张先生回答问题的个数为X,求X的分布列及数学期望.

21.(12分)(2021江苏七市第三次调研)面对新一轮科技和产业革命带来的创新机遇,某企业对现有机床进行更新换代,购进一批新机床.设机床生产的零件的直径为X(单位:mm).

(1)现有旧机床生产的零件10个,其中直径大于124 mm的有3个.若从中随机抽取4个,记ξ表示取出的零件中直径大于124 mm的零件的个数,求ξ的概率分布列及数学期望E(ξ);

(2)若新机床生产的零件直径X~N(120,4),从生产的零件中随机取出10个,求至少有一个零件直径大于124 mm的概率.

参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.997 3,0.977 2510≈0.794 4,0.954 510≈0.627 7.

22.(12分)(2021陕西汉中月考)树木根部半径与树木的高度呈正相关,即树木根部越粗,树木的高度也就越高.某块山地上种植了A树木,某农科所为了研究A树木的根部半径与树木的高度之间的关系,从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取6棵A树木,调查得到A树木根部半径x(单位:米)与A树木高度y(单位:米)的相关数据如表所示:

(1)求y关于x的回归方程;

(2)对(1)中得到的回归方程进行残差分析,若某A树木的残差为零,则认为该树木“长势标准”,以此频率来估计概率,则在此片树木中随机抽取80棵,记这80棵树木中“长势标准”的树木数量为X,求随机变量X的数学期望与方差.

参考公式:回归直线方程为x+,其中.

答案：

1.D　解析:100家商铺中与最初规划一致的有25+27+23=75家,故不一致的有100-75=25家,

所以从所有商铺中随机抽取一家,该商铺所在楼层与最初规划不一致的概率为=0.25.

2.D　解析:因为,所以x2-x-2≤0,解得x∈[-1,2],所以所求概率P=故选D.

3.A　解析:圆形钱币的半径为r,面积为S圆=πr2.正方形边长为a,面积为S正方形=a2,在圆形内随机取一点,此点取自阴影部分的概率是P==1-

4.C　解析:由题意可知从12名学生中任选2人的情况有=66种,故所求概率P=1-

5.B　解析:基本事件总数n==90,每个小组恰好有1名教师和1名学生包含的基本事件个数m==36,所以每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率为P=

6.B　解析:儿童玩具不合格的投诉为网上购买的可能性为P=故选B.

7.B　解析:基本事件总数为4×3=12,当m⊥n时,b=2a,满足m⊥n的基本事件有(2,4),(3,6),(4,8),共3个,故所求概率为P=,故选B.

8.B　解析:最后乙队获胜事件含3种情况:第三局乙胜,其概率为;第三局甲胜,第四局乙胜,其概率为;第三局和第四局都是甲胜,第五局乙胜,其概率为故最后乙队获胜的概率P=

9.C　解析:设该射手每次射击的命中率为p,

∵在两次射击中至多命中一次的概率是,∴1-p2=,解得p=

∴该射手每次射击的命中率为故选C.

10.C　解析:圆x2+y2=4的圆心O(0,0)到直线3x+4y-15=0的距离为d=|OC|==3,

如图所示,上的点到直线3x+4y-15=0的距离小于或等于2,

所以OD=3-2=1,OA=2,所以∠AOD=,∠AOB=,

所以圆上任意一点M到直线3x+4y-15=0的距离大于2的概率为P=1-故选C.

11.B　解析:由题意,基本事件总数n=44=256,恰有一个地方未被选中即有两个同学选择了一个地方有种方法,把这两个同学看作一个元素,另两个同学各是一个元素,将这三个元素填空到四个城市有种方法,所求事件个数m==144,则恰有一个地方未被选中的概率为P=故选B.

12.B　解析:ξ~N(1,σ2),可得正态分布曲线的对称轴为x=1,

又P(ξ≤0)=P(ξ≥a),∴a=2.

令f(x)=(0<x<2),则f'(x)=-,

当x∈0,时,f'(x)<0,f(x)单调递减,

当x∈,2时,f'(x)>0,f(x)单调递增,

则f(x)的最小值为f=+3=故选B.

13　解析:甲、乙两球都落入盒子的概率为,设事件A=“甲、乙两球至少一个落入盒子”,则对立事件=“甲、乙两球都未落入盒子”,P()=,

则P(A)=1-P()=

14　解析:设事件A为“学生甲不是第一个出场,学生乙不是最后一个出场”,事件B为“学生丙第一个出场”,则P(A)=,P(AB)=,则P(B|A)=

15　3　解析:设事件A为“取出3个球中有2个红球,1个黄球”,则P(A)=

由题意可得,重复5次这样的实验,事件A发生的次数X服从二项分布,即X~B5,,

则E(X)=5=3.

16.②③　解析:由题意,因为ξ~N(70,100),所以均值为μ=70,方差为σ2=100,所以①错误,②正确;因为P(ξ≥60)=0.5+P(μ-σ<ξ≤μ+σ)≈0.5+0.34135=0.84135<85%,故③正确;因为P(ξ<60)=(1-P(μ-σ<ξ≤μ+σ))(1-0.6827)=0.15865,P(ξ≥90)=(1-P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ))(1-0.9545)=0.02275,所以④错误.

17.解: (1)该市电动自行车骑乘人员的平均年龄为25×0.25+35×0.35+45×0.2+55×0.15+65×0.05=39.

(2)2×2列联表如下:

(3)K2的观测值k=5.682<6.635,

所以没有99%的把握认为遵守佩戴安全头盔与年龄有关.

18.解: (1)①对每组进行检测,需要10次;再对结果为阳性组的每个人进行检测,需要10次;

所以总检测次数为20次.

②由题意,X可以取20,30,

P(X=20)=,P(X=30)=1-

则X的分布列为

所以E(X)=20+30

(2)由题意,Y可以取25,30,

两名感染者在同一组的概率为P1=,不在同一组的概率为P1=,

则E(Y)=25+30>E(X).

19.解: (1)根据题意得(0.005×2+a+0.02×2+0.04)×10=1,解得a=0.010,

设样本中男生身高的平均值为,

=145×0.05+155×0.1+165×0.2+175×0.4+185×0.2+195×0.05=172.5(cm),

所以估计该市中学全体男生的平均身高为172.5cm.

(2)从全市中学的男生中任意抽取一人,其身高在180cm以上的概率约为

由已知得X~B3,,

所以P(X=0)=,P(X=1)=,

P(X=2)=,P(X=3)=

随机变量X的分布列为

所以E(X)=3

20.解: (1)记张先生第i次答对面试官提出的问题为事件Ai(i=1,2,3,4,5),则P(Ai)=,张先生前三个问题均回答正确为事件B,前三个问题回答正确两个且第四个又回答正确为事件C,前四个问题回答正确两个且第五个又回答正确为事件D,张先生通过面试为事件M.则M=B∪C∪D,

根据题意,得P(B)=,P(C)=,P(D)=

因为事件B,C,D两两互斥,所以P(M)=P(B)+P(C)+P(D)=,即张先生能够通过面试的概率为

(2)根据题意,X=3,4,5.

X=3表示前面三个问题均回答错误(淘汰)或均回答正确(通过),

所以P(X=3)=

X=4表示前面三个问题中有两个回答错误且第四个问题又回答错误(淘汰),

或者前面三个问题中有两个回答正确且第四个问题回答正确(通过),

所以P(X=4)=

X=5表示前面四个问题中有两个回答错误、两个回答正确,

所以P(X=5)=

所以X的分布列为

故E(X)=3+4+5

21.解: (1)由题知,ξ的可能取值为0,1,2,3.

P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,

所以ξ的概率分布列为

所以ξ的数学期望E(ξ)=0+1+2+3=1.2.

(2)记“至少有一个零件直径大于124mm”为事件A,

因为X~N(120,4),所以μ=120,σ=2,所以P(X>124)==0.02275.

所以P(X≤124)≈1-0.02275=0.97725,

所以P(A)=1-0.9772510≈1-0.7944=0.2056.所以至少有一个零件直径大于124mm的概率为0.2056.

22.解: (1)由(0.1+0.2+0.3+0.4+0.5+0.6)=0.35,

(1.1+1.3+1.6+1.5+2.0+2.1)=1.6,

xiyi=0.1×1.1+0.2×1.3+0.3×1.6+0.4×1.5+0.5×2.0+0.6×2.1=3.71,

=0.12+0.22+0.32+0.42+0.52+0.62=0.91,

有=2,=1.6-2×0.35=0.9,

故y关于x的回归方程为=2x+0.9.

(2)当x=0.1时,=2×0.1+0.9=1.1,残差为1.1-1.1=0,

当x=0.2时,=2×0.2+0.9=1.3,残差为1.3-1.3=0,

当x=0.3时,=2×0.3+0.9=1.5,残差为1.6-1.5=0.1,

当x=0.4时,=2×0.4+0.9=1.7,残差为1.5-1.7=-0.2,

当x=0.5时,=2×0.5+0.9=1.9,残差为2.0-1.9=0.1,

当x=0.6时,=2×0.6+0.9=2.1,残差为2.1-2.1=0,

所以这6棵A树木中残差为零的有3棵,占比为,所以每棵树木“长势标准”的概率为

所以记这80棵树木中“长势标准”的树木数量为X,且X~B80,,

所以随机变量X的数学期望为E(X)=80=40,方差D(X)=801-=20.