北师大版九年级上册1 反比例函数练习题

第3讲 反比例函数及图象性质

       【学习目标】

1．使学生理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，能判断一个给定函数是否为反比例函数；

2．能描点画出反比例函数的图象，会用待定系数法求反比例函数的解析式；

3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数的性质，能利用这些性质分析和解决一些简单的实际问题.

        【基础知识】

考点一、反比例函数的概念

一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数.

考点诠释：在中，自变量的取值范围是， ()可以写成()的形式，也可以写成的形式.

考点二、反比例函数解析式的确定 

反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式.

考点三、反比例函数的图象和性质

1.反比例函数的图象

反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与轴、轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交．

考点诠释：

观察反比例函数的图象可得：和的值都不能为0，并且图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．

①的图象是轴对称图形，对称轴为两条直线；

②的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）；

③(k≠0)在同一坐标系中的图象关于轴对称，也关于轴对称.

    注：正比例函数与反比例函数，

当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称.

2.反比例函数的性质

（1）图象位置与反比例函数性质

 　　当时，同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小；当时，异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大.

（2）若点()在反比例函数的图象上，则点（）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称.

（3）正比例函数与反比例函数的性质比较

（4）反比例函数y＝中的意义

①过双曲线(≠0) 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为.

②过双曲线(≠0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.

考点四、应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点

　　1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题.

2．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围.

   【考点剖析】

考点一：确定反比例函数的解析式

例1．已知函数是反比例函数，则的值为　　　　.

举一反三：

【变式】反比例函数图象经过点（2，3），则的值是（   ）.

A.   B.    C. 0  D. 1

考点二：反比例函数的图象及性质

例2．已知，反比例函数的图象在每个分支中随的增大而减小，试求的取值范围．

举一反三：

【变式】已知反比例函数，其图象位于第一、第三象限内，则的值可为________（写出满足条件的一个的值即可）．

例3、在函数（，为常数）的图象上有三点(－3，)、(－2，)、(4，)，则函数值的大小关系是（   ）

A．    B．    C．    D．

举一反三：

【变式1】在同一坐标系中，函数y=和y=kx+3（k≠0）的图象大致是（　　）.

A.                        B.

C.                        D.

【变式2】已知,且则函数与在同一坐标系中的图象不可能是(   ) .

例4、如图，已知点P（6，3），过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，反比例函数y=的图象交PM于点A，交PN于点B．若四边形OAPB的面积为12，则k=　 　．

举一反三：

【变式】如图，过反比例函数的图象上任意两点A、B，分别作轴的垂线，垂足为，连接OA，OB，与OB的交点为P，记△AOP与梯形的面积分别为，试比较的大小.

考点三：反比例函数与一次函数综合

例5．已知反比例函数和一次函数的图象的一个交点坐标是(－3，4)，且一次函数的图象与轴的交点到原点的距离为5，分别确定反比例函数和一次函数的表达式．

举一反三：

【变式】如图所示，A、B两点在函数的图象上．

（1）求的值及直线AB的解析式；

（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数．

考点四：反比例函数应用

例4．一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度v（千米/小时）与所用时间t（小时）的函数关系如图所示，其中60≤v≤120．

（1）直接写出v与t的函数关系式；

（2）若一辆货车同时从乙地出发前往甲地，客车比货车平均每小时多行驶20千米，3小时后两车相遇．

①求两车的平均速度；

②甲、乙两地间有两个加油站A、B，它们相距200千米，当客车进入B加油站时，货车恰好进入A加油站（两车加油的时间忽略不计），求甲地与B加油站的距离．

        【真题演练】

一.选择题

1.若一个正比例函数的图象与一个反比例函数图象的一个交点坐标是（2，3），则另一个交点的坐标是（　　）

A．（2，3）     B．（3，2）       C．（﹣2，3）      D．（﹣2，﹣3）

2. 函数与在同一坐标系内的图象可以是（    ）

3. 反比例函数是y=的图象在（　　）

A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限

4. 数是反比例函数，则的值是（   ）

A．±1    B．1    C．    D．－1

5. 如图所示，直线与双曲线相交于点A，点A的纵坐标为3，的值为（   ）．

A．1      B．2      C．3       D．4

6. 点(－1，)，(2，)，(3，)在反比例函数的图象上．下列结论中正确的是（  ）．

A．    B．    C．    D．

7. 已知、、是反比例函数图象上的三点，且，则、、的大小关系是（　　）

A．    B．     C．    D．

8. 如图所示，点P在反比例函数的图象上，且横坐标为2．若将点P先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后所得的像为点，则在第一象限内，经过点的反比例函数图象的解析式是（  ）．

A．    B．    C．    D．

二.填空题

9. 若反比例函数的图象过点（3，﹣2），则其函数表达式为　       　．

10.若函数y=的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围___________.

11.反比例函数的图象叫做__________.当时，图象分居第__________象限，在每个象限内随的增大而_______；当时，图象分居第________象限，在每个象限内随的增大而__________.

12. 若点A(，－2)在反比例函数的图象上，则当函数值≥－2时，自变量的取值范围是___________.

13.若变量与成反比例，且时，，则与之间的函数关系式是________，在每个象限内函数值随的增大而_________.

14.已知函数，当时，，则函数的解析式是__________.

15．如图，面积为3的矩形OABC的一个顶点B在反比例函数的图象上，另三点在坐标轴上，则.

16.在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量的某种气体，当改变容积V时，气体的密度ρ也随之改变．在一定范围内，密度ρ是容积V的反比例函数．当容积为5时，密度是1.4，则ρ与V的函数关系式为_______________．

三.解答题

17. 一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t()与行驶速度v()满足函数关系：，其图象为如图所示的一段曲线且端点为A(40，1)和B(，0.5)．

（1）求和的值；

（2）若行驶速度不得超过60，则汽车通过该路段最少需要多少时间？

18. 在压力不变的情况下，某物体承受的压强P（Pa）是它的受力面积S（）的反比例函数，其图象如图所示．

(1) 求P与S之间的函数关系式；

(2) 求当S＝0.5 时物体承受的压强P．

19.如图，直线y=x与双曲线y=（x＞0）交于点A，将直线y=x向下平移个6单位后，与双曲线y=（x＞0）交于点B，与x轴交于点C.

（1）求C点的坐标.

（2）若=2，则k的值为？

20.如图所示，一次函数与反比例函数的图象交于点A(4，)和B(－8，－2)，与轴交于点C．

(1) ________，________；

(2)根据函数图象可知，当时，的取值范围是________；

(3)过点A作AD⊥轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点．设直线OP与线段AD交于点E，当时，求点P的坐标．

       【过关检测】

一.选择题

1. 已知函数的反比例函数，且图象在第二、四象限内，则的值是（  ）．

A．2    B．－2    C．±2    D．

2. 如图是三个反比例函数、、在轴上方的图象，由此观察得到的大小关系（      ）.

A．      B．

  C．      D．

3. 如图，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB＝AC＝2，直角顶点A在直上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于轴、轴，若双曲线 (≠0)与有交点，则的取值范围是（     ）

A． B．  C． D．

4.如图，A、B是双曲线y=上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C．若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（　　）

A．    B．    C．3    D．4

5. 函数y=的图象可能是（　　）

A． B． C． D．

6. 如图所示，在同一直角坐标系中，函数和函数(是常数且≠0)的图象只可能是(   )．

7. 如图所示，反比例函数的图象与直线的交点为A，B，过点A作轴的平行线与过点B作轴的平行线相交于点C，则△ABC的面积为（   ）．

A．8       B．6       C．4        D．2

8. 如图，反比例函数的图象经过点A(－1,－2).则当＞1时，函数值的取值范围是（      ）

A. ＞1       B.0＜＜1       C. ＞2       D.0＜＜2      

二.填空题

9.直线与双曲线交于A（），B（）两点，则 ＝___________．

10.已知与成正比例(比例系数为)，与成反比例(比例系数为)，若函数的图象经过点(1，2)，(2，)，则的值为________.

11. 在函数（为常数）的图象上有三个点（－2，），(－1，)，（，），函数值，，的大小为_________.

12.已知点A(，5)，B(2，)关于轴对称，若反比例函数的图象经过点C(，)，则这个反比例函数的表达式为____________.

13.已知（），（），（）是反比例函数的图象上的三个点，并且，则的大小关系是         .

14．设有反比例函数，(，)，(，)为其图象上两点，若，，则的取值范围是_______．

15．如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C、D在x轴上，且BC∥AD，四边形ABCD的面积为3，则这个反比例函数的解析式为　　．