沪科版八年级上册第15章 轴对称图形和等腰三角形综合与测试单元测试同步训练题
展开沪科版初中数学八年级上册第十五章《轴对称图形与等腰三角形》单元测试卷
考试范围：第十五章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
- 如图，把纸片沿折叠，使点落在内部点处，若，则等于( )
A. B. C. D.
- 下列四个图案都由左、右两部分组成，其中能从左边图形经过一次平移或一次旋转或一次轴对称而形成右边图形的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
- 北京年冬奥会的举办，再次点亮了北京这座千年古都．在下列北京建筑的简笔画图案中，是轴对称图形的是( )
A. 国家体育场
B. 国家游泳中心
C. 天安门
D. 国家大剧院
- 如图，分别以线段的两端点，为圆心，大于长为半径画弧，在线段的两侧分别交于点，，作直线交于点在直线上任取一点不与重合，连接，，则下列结论不一定成立的是( )
A. B. C. D.
- 在如图所示的尺规作图中，与相等的线段是( )
A. 线段
B. 线段
C. 线段
D. 线段
- 如图，在中，是的垂直平分线，且分别交、于、两点，，，则的度数为( )
A. B. C. D.
- 如图，中，平分，交于点，是边上的一点，连接，使，且，则( )
A. B. C. D.
- 已知射线平分，点、、分别在射线、、上，且，于点，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
- 如图，在矩形中，，为矩形内一点且为等边三角形，连接并延长交于点若，则的度数为( )
A. B. C. D.
- 如图：中，，的平分线与边的垂直平分线相交于点，交的延长线于点，于点现有下列结论：；；平分；其中正确的有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
- 如图，点在的平分线上，于点，，点在边上，且则线段的长度为( )
A. B. C. D.
- 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积为( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
- 如图，在中，，，点，分别在，边上，将沿折叠，点恰好落在边的点上，若平分，，则______．
- 如图，在中，，，边的垂直平分线分别交、于点、，则的周长为______．
- 定义：在一个三角形中，如果一个内角度数是另一内角度数，我们称这样的三角形为“半角三角形”若等腰为“半角三角形”，则的顶角度数为______．
- 如图，在中，，，按以下步骤作图：以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线，交于点，若点到的距离为，则的长为______．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）
- 图，图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形顶点叫做格点，线段、的端点都在格点上．
在图中找到一个格点，画出和，使和都是等腰三角形．
在图中找出一个格点，画出和，使和全等．
- 如图，在中，，以为底作等腰三角形，且，直线，垂足为．
在直线上确定一点，使得是以为底的等腰三角形尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；
在的情况下，连接，与交于点，求证：平分．
- 如图，在长方形中，，，垂直平分分别交，于，，求证：请你将下面的推理过程中的横线空白处补充完整
解：______，
______
垂直平分已知，
线段垂直平分线的定义．
在和中，( )
≌______
______
又垂直平分已知，
______线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
______
- 如图，在每个小正方形边长为的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上．
的面积为______；
将经过平移后得到，图中标出了点的对应点，补全；
若连接，，则这两条线段之间的关系是______；
在图中画出的高，中线；
能使的格点点除外，共有______个．
- 如图，在四边形中，，是的中点，求证：C.
- 如图，在中，，为边的中点，过点作，，垂足分别为，．
求证：≌
若，，求的周长．
- 教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第页的部分内容．
定理证明：请根据教材中的分析，结合图，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程．
定理应用：
如图，的周长是，、分别平分和，于点，若，则的面积为______ ．
- 数学老师在给同学们讲完下面例题后，告诉同学们，知道平行线、角平分线和等腰三角形中的任意两个条件，可证明第三个条件成立．
如图，已知，平分，可证：．
受此启发，丽丽想到了另一种用尺规作角平分线的方法．
请你帮她完善下面作图步骤：
已知：如图，．
求作：的平分线．
作法：在上任取一点；
在内作，使；
在上截取______；
作射线，射线即为所求．
补全作图．保留作图痕迹
为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．下面给出了不完整的“已知”，请结合的图形将已知补充完整，并写出证明过程．
已知：如图，是边上任意一点，，是上的点，且____________，作射线．
求证：平分．
- 如图，平分，，，点、为垂足，．
求证：；
若，，求四边形的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：在中，
，
，
由折叠的性质得：，，
，
，
故选：．
先根据三角形内角和定理得出，再由图形翻折变换的性质即可得出结论．
本题考查的是三角形内角和定理，翻折的性质，熟知三角形内角和是是解答此题的关键．
2.【答案】
【解析】解：第一个图，左边的图，可以通过一次旋转绕点顺时针旋转得到右边的图．
第二个图，左边的图，可以通过一次轴对称对称轴是直线得到右边的图．
第三个图，左边的图，可以通过一次平移平移的距离是的长得到右边的图．
第四个图，不可能通过一次平移或旋一次旋转或一次轴对称变换得到．
故选：．
根据旋转变换，平移变换，轴对称变换的定义一一判断即可．
本题考查利用平移设计图案，轴对称变换，旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
3.【答案】
【解析】解：选项A，，不是轴对称图形，选项C是轴对称图形，
故选：．
根据轴对称图形的定义判断即可．
本题考查利用轴对称设计图案，解题的关键是理解轴对称图形的定义，属于中考常考题型．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查尺规作图、线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的作法，利用线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等解决问题．
依据尺规作图，即可得到垂直平分，进而得出结论．
【解答】
解：由作图可知，垂直平分，
，故A选项正确；
，故B选项正确；
，而不是，故C选项错误；
，故D选项正确；
故选：．
5.【答案】
【解析】解：由作图可知，垂直平分线段，
，
故选：．
利用线段的垂直平分线的性质判断即可．
本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质，属于中考常考题型．
6.【答案】
【解析】解：是的垂直平分线，
，
，
，，
，
，
故选：．
根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理求出的度数，计算出结果．
本题考查的是线段垂直平分线的性质的知识，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
根据，而，根据已知条件求出即可．
本题考查三角形内角和定理、三角形的外角的性质、等腰三角形的性质角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
8.【答案】
【解析】解：连接，
射线平分，，
，，
，
在与中，
，
≌，
，
．
故选：．
根据等腰三角形的性质和证明≌，再根据全等三角形的性质和三角形外角的性质进行解答即可．
本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，求出是解答此题的关键．
9.【答案】
【解析】解：因为四边形为矩形，且为等边三角形，
所以，
又，
所以，
因为，
所以．
故选：．
根据为等边三角形得到，再根据得到，然后根据得．
本题考查了平行线．等边三角形等，熟练掌握平行线和等边三角形的有关性质是解题的关键．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质以及含角的直角三角形的性质，能根据题目所给信息综合运用所学知识分析和解决问题是解题的关键．
根据角平分线带的性质可判断选项，利用含角的直角三角形的性质可判断选项，先假设平分，进行推理可判断选项，根据全等三角形的判定和性质可判断选项．
【解答】
解：如图所示：连接、，
平分，，，
，
正确
，平分，
．
，
．
，，
，
同理：，
，
正确
由题意可知：．
假设平分，则则，
又，
．
．
是否等于不知道，
不能判定平分，
故错误．
是的垂直平分线，
．
在和中
．
．
又，，
，
故正确．
故选C．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，含角的直角三角形的性质等知识点，能求出是解此题的关键．
过作于，根据角平分线性质求出，求出，根据平行线的性质求出，根据含角的直角三角形的性质求出即可．
【解答】
解：过作于，
点在的平分线上，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
故选：．
12.【答案】
【解析】解：过点作于点．
平分，，，
，
，
故选：．
过点作于点利用角平分线的性质定理证明，再利用三角形面积公式求解．
本题考查作图基本作图，三角形的面积，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．
13.【答案】
【解析】解：由折叠的性质可得，，
平分，
，
是等边三角形，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
是直角三角形，
，
，
．
故答案为：．
根据平角的定义、折叠的性质以及角平分线的定义可得，得出是等边三角形，再根据，进而得出，再根据所对的直角边等于斜边的一半可得答案．
本题考查了翻折的性质以及含角的直角三角形，得出是等边三角形是解答本题的关键．
14.【答案】
【解析】解：是线段的垂直平分线，
，
的周长，
故答案为：．
先由线段的垂直平分线的性质得到，再由三角形的周长公式计算即可．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．
15.【答案】或
【解析】解：顶角度数是底角度数，
顶角：；
底角度数是顶角度数，
顶角：．
故的顶角度数为或．
故答案为：或．
分两种情况讨论：顶角度数是底角度数；底角度数是顶角度数；进行计算即可求解．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，新定义，注意分类思想的应用．
16.【答案】
【解析】解：由作法得平分的平分线，
作于，如图，
，，
，
，，
，
，
．
故答案为：．
利用基本作图得到平分的平分线，作于，如图，根据角平分线的性质得到，再证明，从而得到，然后计算即可．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质和等腰直角三角形的性质．
17.【答案】解：如图，点、即为所求；
如图，点即为所求．
【解析】根据等腰三角形的判定即可得；
根据全等三角形的判定与性质即可得．
本题主要考查作图应用设计作图，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定及等腰三角形的判定．
18.【答案】解：如图，点为所作；
证明：设的垂直平分线交于，连接、，如图，
点为斜边的中点，
，
为等腰三角形，
，
垂直平分，
，
，
，，
，
四边形为平行四边形，
点为的中点．
【解析】作的垂直平分线交直线于点即可解决问题；
的垂直平分线交于，连接、，根据斜边上的中线性质得，而，则可判断垂直平分，可证明四边形为平行四边形，然后根据平行四边形的性质得到结论．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质．
19.【答案】已知 两直线平行，内错角相等 全等三角形对应边相等 等量代换
【解析】解：已知，
两直线平行，内错角相等．
垂直平分已知，
线段垂直平分线的定义．
在和中，
，( )
≌．
全等三角形对应边相等．
又垂直平分已知，
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
等量代换．
故答案为：已知；两直线平行，内错角相等；；全等三角形对应边相等；；等量代换．
根据题意即可补充完整证明过程．
本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．
20.【答案】 ，
【解析】解：的面积为；
故答案为：；
如图，即为所求；
若连接，，则这两条线段之间的关系是，；
故答案为：，；
如图，线段，线段即为所求；
如图点，，，即为所求，共有个．
故答案为：．
利用三角形的面积公式求解；
利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
平移平移变换的性质判断即可．
根据三角形的高，中线的定义画出图形即可；
利用等高模型作出满足条件的点即可．
本题考查作图平移变换，三角形的高，中线，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
21.【答案】证明：，
．
，
，．
．
是的中点，
．
在和中，
，，，
．
C.
【解析】见答案
22.【答案】解：证明：，
．
，，
．
是的中点，
．
在与中，
，
≌；
，，
是等边三角形有一内角为度的等腰三角形的等边三角形，
，；
又已知，
，
在直角中，角所对的直角边是斜边的一半，
，
的周长．
【解析】本题考查了等边三角形的判定、全等三角形的判定与性质．解答题时，注意挖掘出隐含在题中的已知条件“等边的三个内角都是，三条边都相等”．
利用等腰三角形的两个底角相等、全等三角形的判定定理证得≌；
首先证得为等边三角形，然后由等边三角形的性质、直角中“角所对的直角边是斜边的一半”求得，则的周长．
23.【答案】
【解析】定理证明：是的角平分线，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
；
定理应用：过作与，于，
、分别平分和，
，，
，
，
的周长是，
，
的面积：，
故答案为：．
定理证明：利用判定≌可得；
定理应用：过作与，于，利用角平分线的性质可得，，然后再利用面积的计算方法可得答案．
此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．
24.【答案】
【解析】解：作法：在上任取一点；
在内作，使；
在上截取；
作射线，射线即为所求．
故答案为：；
解：如图，即为补全的图形；
已知：如图，是边上任意一点，，是上的点，且，作射线．
求证：平分．
故答案为：，．
证明：，
，
，
，
，
，
平分．
故答案为：．
利用等腰三角形的性质以及平行线的性质解决问题即可；
根据要求作出图形即可；
写出已知，求证．证明即可．
本题考查作图复杂作图，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，角平分线的判定等知识，今天的的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
25.【答案】证明：平分，，，
，
在和中，
，
≌，
；
解：在中，
，，
，
，，
≌，
，
≌，
，
四边形的面积．
【解析】利用角平分线的性质得到，然后证明≌，从而得到；
先利用勾股定理计算出，再证明≌得到，则四边形的面积，然后利用三角形面积公式计算．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了全等三角形的判定与性质．
苏科版八年级上册第二章 轴对称图形综合与测试单元测试复习练习题： 这是一份苏科版八年级上册第二章 轴对称图形综合与测试单元测试复习练习题，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
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