2020-2021学年第15章 轴对称图形和等腰三角形综合与测试单元测试同步训练题

沪科版初中数学八年级上册第十五章《轴对称图形与等腰三角形》单元测试卷

考试范围：第十五章；考试时间：120分钟；总分：120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，在的正方形网格中有四个格点，，，，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是(    )

A. 点 B. 点 C. 点 D. 点

2. 把一张长方形纸片按如图、图的方式从右向左连续对折两次后得到图，再在图中挖去一个如图所示的三角形小孔，则重新展开后得到的图形是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 下列图形中，是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，在四边形中，垂直平分，垂足为，下列结论不一定成立的是(    )

A.
B. 平分
C.
D.

5. 如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，的周长等于，则的长度为(    )

A.
B.
C.
D.

6. 如图，在中，和的垂直平分线、交于点、，若，，，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，作边的垂直平分线，交于点，交于点，连接，若，，则的周长是(    )

A.
B.
C.
D.

8. 如图，这是一个平分角的仪器，，，将点放在一个角的顶点，使、分别与这个角的两边重合，可证≌，从而得到就是这个角的平分线．其中证明≌的数学依据是(    )

A.
B.
C.
D.

9. 在中，，，点在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

10. 如图，是一钢架，，为使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管，，，，添加的钢管长度都与的长度相等，则最多能添加的钢管根数为(    )

A.  B.  C.  D. 无数

11. 若等腰三角形一腰上的高与腰长之比为：，则该等腰三角形顶角的度数为(    )

A. 或 B.  C.  D.

12. 如图，中，，，是边上的高，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 如图，在中，的平分线交于点，过点作交于点若，，求______．

14. 如图，将一张长方形纸条沿折叠后，与交于点，若，则的度数是______度．

15. 如图，在等边中，为边上一点，为边延长线上的点，连接交边于点，，若，的面积为，则的面积为______．

16. 已知等腰三角形的周长为，则底边长关于腰长的函数解析式为______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为的小正方形，的顶点都在格点上，点的坐标为．
    请在网格内画出与关于轴成轴对称的；
    请分别写出三个顶点的坐标．

18. 如图，方格纸上每个小方格的边长都是，观察图形，解答下列问题：
    由如何变换得来？
    作轴对称变换能否得到？若能，请画出对称轴；若不能，请简要说明理由．
    怎样把变换成？请写出变换过程．
     

19. 如图，在中，，，是边的垂直平分线，是边的垂直平分线，连接，，若，求的长．

20. 如图，中，，．
    用直尺和圆规作边上的垂直平分线，交于点，交于点保留作图痕迹，不要求写作法和证明
    在的条件下，连接，求证：．

21. 如图，在中，，，边的垂直平分线与相交于点，，求的长．

22. 如图，在中，，，点是边上的动点点不与点，重合，连接，作，，相交于点．
    当时，求证：≌；
    当是等腰三角形时，求的度数．

23. 如图，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，且点，在所在直线的同一侧，连接，，与相交于点，与相交于点．
    与全等吗？请说明理由；
    求的度数．

24. 已知，如图所示，在中，，
    作的角平分线交于点；要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．
    若，，求的面积．

25. 把两个同样大小的含角的三角尺按照如图所示方式叠合放置，得到如图的和，设是与的交点，则这时的长度就等于点到的距离，你知道这是为什么吗？请说明理由．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查的是关于轴、轴对称的点的坐标和坐标确定位置，掌握平面直角坐标系内点的坐标的确定方法和对称的性质是解题的关键．以每个点为原点，确定其余三个点的坐标，找出满足条件的点，得到答案．
【解答】
解：当以点为原点时，

，，
则点和点关于轴对称，
符合条件，
故选：．  

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了剪纸问题，培养学生的动手能力及空间想象能力．对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．
解答该类剪纸问题，通过自己动手操作即可得出答案．
【解答】
解：重新展开后得到的图形是，
故选C．  

3.【答案】 

【解析】解：不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B.不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C.是轴对称图形，故本选项符合题意；
D.不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查的是线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定和性质．
先根据线段垂直平分线的性质证明，，再根据证明≌，继而根据可证明≌，由此可对各选项作出判断．
【解答】
解：垂直平分，
，，
又，
  ，
，，
进而得  ．
选项A、、均正确．
故选C．  

5.【答案】 

【解析】解：是的垂直平分线，
，
的周长等于，
，
，
，
故选：．
根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
 

6.【答案】 

【解析】解：连接、，
和的垂直平分线、交于点、，
，，
，
，
，，
，
，
，
故选：．
连接、，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据勾股定理的逆定理得到，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质、勾股定理的逆定理，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
 

7.【答案】 

【解析】解：垂直平分线段，
，
，，
的周长，
故选：．
利用线段垂直平分线的性质可得，再利用三角形的周长公式计算可得到的周长．
本题考查线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端的距离相等．
 

8.【答案】 

【解析】解：在和中，
，
≌．
故选：．
利用证明≌，可得答案．
本题主要考查了全等三角形的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即、、、，直角三角形可用定理，但、，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．
 

9.【答案】 

【解析】解：在中，，，
，
点在边上，为直角三角形，
如图，当时，则，
，
如图，当时，则
．
综上所述，的度数是或．
故选：．
根据题意可以求得和的度数，然后根据分类讨论的数学思想：当时；当时；即可求得的度数．
本题考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用等腰三角形的性质和分类讨论的数学思想解答．
 

10.【答案】 

【解析】解：添加的钢管长度都与相等，，
，从图中我们会发现有好几个等腰三角形，即第一个等腰三角形的底角是，第二个是，第三个是，四个是，五个是就不存在了．
所以一共有个．
故选：．
根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出图中存在的规律，根据规律及三角形的内角和定理不难求解．
此题考查了三角形的内角和是度的性质和等腰三角形的性质及三角形外角的性质；发现并利用规律是正确解答本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：当该三角形为锐角三角形时，如图，

，
，即的顶角为；
当该三角形为钝角三角形时，如图，

在中，，
，
，即的顶角为；
综上可知该三角形的顶角为或，
故选：．
当三角形为锐角三角形时，可求得其顶角为；当三角形为钝角三角形时，可求得顶角的邻补角为，可分别求得其顶角．
本题主要考查含角的直角三角形的性质，掌握直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
是边上的高，
．
故选：．
据等腰三角形两底角相等可得，然后利用三角形的内角和等于求出，然后根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．
本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
的平分线交于点，
，
，
，
故答案为：．
先根据角平分线性质，得，由平行线性质得到：，即可求解．
本题主要考查三角形的内角和定理，平行线的性质，熟练掌握判定和性质是关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据翻折的性质，得：，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
利用翻折的性质，得，然后根据平行线的性质求出，据此求解即可．
本题考查了翻折变换折叠问题、平行线的性质，正确观察图形，熟练掌握翻折变换性质是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：过点作，交于点，

，，
，，
≌，
，，
为等边三角形，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
的面积为，
的面积为．
故答案为：．
过点作，交于点，利用全等三角形的判定与性质可得，，然后由等边三角形的判定与性质及三角形的面积公式可得答案．
此题考查的是等边三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决此题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：依题意，得，
则，
故答案为：．
根据底边长两腰长周长，建立等量关系，变形即可列出函数关系式．
此题主要考查了等腰三角形的性质，根据三角形周长公式得出关系式是解决本题的关键．
 

17.【答案】解：如图．

点的坐标为，
，，
，，． 

【解析】根据轴对称的性质作图即可．
由，，的位置可直接得出答案．
本题考查作图轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
 

18.【答案】解：由图可知，是由向右平移个单位得到的．
能，对称轴如图所示．

将沿对称轴折叠得到，再绕点顺时针旋转，然后向右平移个单位，再向上平移个单位得到． 

【解析】根据平移的性质可得出答案．
根据轴对称的性质可得出答案．
根据平移和轴对称的性质可得出答案．
本题考查平移、旋转、轴对称，熟练掌握平移、旋转、轴对称的性质是解答本题的关键．
 

19.【答案】解：在中，，，
．
是边的垂直平分线，
，，．
，
．
在中，，，
，．
是边的垂直平分线，
，
，
，
，
． 

【解析】利用三角形内角和定理求出由线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质得出，，解，求出，再求出，，根据含度角的直角三角形的性质求出．
本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，含度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识，熟记定理是解题的关键．
 

20.【答案】解：如图，为所作；

垂直平分，
，
，
在中，，，
，
，
即平分，
又，，
． 

【解析】利用基本作图作的垂直平分线；
利用线段垂直平分线的性质得到，则，所以，接着判断平分，然后根据角平分线的性质可判断．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线．
 

21.【答案】解：，，
，
垂直平分线段，
，
，
，
，，
，
，
． 

【解析】根据线段垂直平分线的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，再根据含角的直角三角形的性质可得的长，进一步即可求出的长．
本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键．
 

22.【答案】证明：，
，
，
，
在和中，
，
≌；
解：当时，，
，
，
当时，，
，
当时，则，
此时点与重合，不符合题意，故舍去，
综上：的度数为或． 

【解析】利用三角形外角的性质说明，再利用说明≌；
分，，三种情形，分别利用三角形内角和定理和等腰三角形的性质可得答案．
本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定，三角形内角和等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．
 

23.【答案】解：≌，理由如下：
和是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
≌；
≌，
，
，
． 

【解析】利用等边三角形的性质得出条件，根据即可证明≌；
利用≌，得到，根据对顶角相等得到，根据三角形内角和定理求解即可．
此题考查了三角形全等的判定和性质及等边三角形的性质，根据证明≌是正确解答本题的关键．
 

24.【答案】解：作图如下：

过点作于点，
，平分，
，
．
的面积为． 

【解析】根据角平分线的作图步骤画出图形即可．
根据角平分线的性质和三角形的面积公式求解即可．
本题考查尺规作图、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键．
 

25.【答案】解：过点作于，如图，
，，
，
平分，
，，
，
即的长度就等于点到的距离． 

【解析】过点作于，如图，先计算出，则可判断平分，然后根据角平分线的性质得到，于是可判断的长度就等于点到的距离．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．