初中数学第15章 轴对称图形和等腰三角形综合与测试单元测试测试题

这是一份初中数学第15章 轴对称图形和等腰三角形综合与测试单元测试测试题，共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

沪科版初中数学八年级上册第十五章《轴对称图形与等腰三角形》单元测试卷
考试范围：第十五章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1. 如图是用七巧板拼接成的一个轴对称图形(忽略拼接线)小亮改变①的位置，将①分别摆放在图中左，下，右的位置(摆放时无缝隙不重叠)，还能拼接成不同轴对称图形的个数为(    )


A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2. 将一张长方形纸片(如图1)进行折叠操作．第一次折叠后(如图2)，使得∠DAE1=4∠E1AF1，再沿着AE1将纸片剪开，取△DAE1部分继续折叠；第二次折叠后(如图3)，使得∠DAE2=4∠E2AF2，再沿着AE2将纸片剪开，取△DAE2部分继续折叠；……按此操作，若将纸片沿着AEn剪开，此时∠DAEn小于20°，则n的最小值是(    )

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3. 将面积为80cm2的△ABC按图所示方式折叠，使点A落在BC边上的点P处，折痕为BD，若△DBC的面积为50cm2，则BP与PC的长度比为(    )


A. 3:2 B. 5:3 C. 8:5 D. 13:8
4. 如图，点A在双曲线y=kxx>0上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B.分别以点O和点A为圆心，大于12OA的长为半径作弧，两弧相交于D,E两点，作直线DE交x轴于点C，交y轴于点F0,2，连接AC若AC=1，则k的值为(    )
A. 2
B. 3225
C. 435
D. 25+25
5. 三角形内有一点到三角形三顶点的距离相等，则这点一定是三角形的(    )
A. 三条中线的交点 B. 三边垂直平分线的交点
C. 三条高的交点 D. 三条角平分线的交点
6. 如图，已知AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线MD交AC于D，AB于M，以下结论：①△BCD是等腰三角形；②射线BD是△AＢC的角平分线；③△BCD的周长C△BCD=AC+BC；④△ADM≌△BCD.正确的有(    )


A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ③④
7. 下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等；
③等腰三角形的最短边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形.其中正确的有(    )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8. 如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，AF是△ADC的中线，C，D，E三点在一条直线上，连接BD，BE，以下五个结论：①BD=CE：②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④2AF=BE；⑤BE⊥AF中，正确的个数是(    )


A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
9. 如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D.设BD=x，tan∠ACB=y，则(    )
A. x−y2=3
B. 2x−y2=9
C. 3x−y2=15
D. 4x−y2=21
10. 如图，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，OA ①∠AMB=36°，②AC=BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD.其中正确的结论个数有个．(    )

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
11. 如图，等边△ABC和等边△CDE，其中B、C、E三点共线，连接AE、BD、CF、GH，下列说法中：①FC平分∠BFE；②GH//BE；③S△ACH=S△BCG；④S△AHD=S△CHE.正确的有(    )

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
12. 如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列四个结论：①∠AOB=90°+12∠C；②当∠C=60°时，AF+BE=AB；③若OD=a，AB+BC+CA=2b，则S△ABC=ab.其中正确的是(    )
A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①③
第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，将边BC沿CN折叠，使点B落在AB上的点B′处，再将边AC沿CM折叠，使点A落在CB′的延长线上的点A′处，两条折痕与斜边AB分别交于点N、M，则线段A′M的长为______．

14. 如图a是长方形纸带，∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是____________°．

 

15. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为____________．

16. 如图，点M，N到直线l的距离为MA，ND，垂足分别为A，D，B为AD的中点，作MN的垂直平分线交直线l于点C，连接MB，MC，NC，AM=CD，现给出下列结论：
①∠CNM=∠CMN；
②△ACM≌△DNC；
③MB平分∠AMN；
④若CN=13，CD=5，则BC=4．
其中正确的是______．



三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）
17. 实践操作：
第一步：如图1，将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A′处，得到折痕DE，然后把纸片展平．
第二步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的点C′处，点B落在点B′处，得到折痕EF，B′C′交AB于点M，C′F交DE于点N，再把纸片展平．
问题解决：
(1)如图1，填空：四边形AEA′D的形状是______；
(2)如图2，线段MC′与ME是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由；
(3)如图2，若AC′=2cm，DC′=4cm，求DN：EN的值．


18. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C(2,m)为直线y=x+2上一点，直线y=−12x+b过点C．
(1)求m和b的值；
(2)直线y=−12x+b与x轴交于点D，动点P在线段DA上从点D开始以每秒1个单位的速度向A点运动．设点P的运动时间为t秒．
①若△ACP的面积为10，求t的值；
②是否存在t的值，使△ACP为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

19. 如图表示一个正比例函数y1=k1x与一个一次函数y2=k2x+b的图象，它们交于点A(4,3)，一次函数的图象与y轴交于点B，且OA=OB．
(1)求这两个函数的解析式．
(2)求两函数与y轴围成的三角形的面积；
(3)在直线x=−3上找一点P，使得△PAB的周长最小，试求点P的坐标．

20. 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.已知AD=2cm，BC=5cm．
(1)求证：FC=AD；
(2)求AB的长．
21. 等边△ABC中，D是BC上任一点，E是△ABC外一点，DE=AD，∠ADE=60°，连接CE．

(1)当点D是线段BC的中点时，如图1，判断线段BD与CE的数量关系，并说明理由；
(2)当点D是线段BC上任意一点时，如图2，找出三条线段AB，CE，CD存在的数量关系，并说明理由；
(3)当点D在BC的延长线上时，如图3，若△ABC边长为6，设CD=x，则线段CE=__________________(用含x的代数式表示)．
22. 如图，点D在线段AB上，AB=BC=CD，AE//CD.BE与CD相交于点F，∠ABE=∠BCD．
(1)求证：BE=CD；
(2)若∠BCD=20°，求∠ADE的度数．

23. 已知，如图，AD=BC，AC=BD，AC与BD相交于点E．
求证：△EAB是等腰三角形．

24. 如图，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E，F，AE=AF．
求证：(1)PE=PF；
(2)点P在∠BAC的角平分线上．

25. 观察、猜想、探究：
在△ABC中，∠ACB=2∠B．

(1)如图①，当∠C=90∘，AD为∠BAC的角平分线时，求证：AB=AC+CD；
(2)如图②，当∠C≠90∘，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；
(3)如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．
答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：观察图象可知，能拼接成不同轴对称图形的个数为3个．

故选：B．
能拼接为等腰梯形，等腰直角三角形，长方形，由此即可判断．
本题考查利用轴对称设计图案，解题的关键是理解轴对称图形的性质．

2.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查了图形折叠的规律问题，由题意找出规律，列出不等式解出即可．
【解答】
解：由题意得：第一次折叠后∠DAE1=90°1−15，
第一次折叠后∠DAE2=90°1−152，
第n次折叠后∠DAEn=90°1−15n，
所以∠DAEn=90°1−15n≤20°，
则n的最小值为4，
故选C．  
3.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查了折叠的性质：折叠前后的两个三角形是全等三角形，它们的面积相等．由题意分别计算出△DBP与△DCP的面积，从而BP：PC=S△DBP：S△DCP，问题可解．
【解答】
解：由题意可得：S△ABD=S△ABC−S△DBC=80−50=30(cm2).
由折叠性质可知，S△DBP=S△ABD=30(cm2)，
∴S△DCP=S△DBC−S△DBP=50−30=20(cm2).
∴BP：PC=S△DBP：S△DCP=30：20=3：2．
故选A．  
4.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查作图−复杂作图，反比例函数图象上的点的坐标特征，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.设OA交CF于K.利用面积法求出OA的长，再利用相似三角形的性质求出AB、OB即可解决问题．
【解答】
解：如图，设OA交CF于K．
，
由作图可知，CF垂直平分线段OA，
∴OC=CA=1，OK=AK，
∵F(0,2)，
∴OF=2，
在Rt△OFC中，CF=OF2+OC2=5，
∴AK=OK=1×25=255，
∴OA=455，
由△FOC∽△OBA，可得OFOB=OCAB=CFOA，
∴2OB=1AB=5455，
∴OB=85，AB=45，
∴A(85,45)，
∴k=3225．
故选B．  
5.【答案】B 
【解析】
【分析】
此题主要考查了线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得答案．
【解答】
解：三角形内有一点到三角形三顶点的距离相等，则这点一定是三角形的三边垂直平分线的交点，
故选：B．  
6.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查了线段垂直平分线性质及等腰三角形性质的综合应用，是基础题，要熟练掌握．
①由AB=AC，∠A=36°知∠ABC=∠C=72°，MN是AB的中垂线知AD=BD，∠ABD=∠A=36°，所以∠DBC=36°①正确．
②三角形的角平分线是线段，②错误．
③由①知，DA=BD，△BCD的周长=BC+CD+BD=AC+BC=AB+BC，③正确．
④由①知∠AMD=90°，而△BCD为锐角三角形，所以④不正确．
【解答】
解：由AB=AC，∠A=36°知∠ABC=∠C=72°，
∵MN是AB的中垂线，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=36°，
∴∠DBC=36°，
∴①正确，
又∵∠ABC=72°，
∴∠ABD=36°，
∴线段BD是△ABC的角平分线而不是射线BD，
∴②错误，
由AD=BD，AB=AC知，
△BCD的周长=BC+CD+BD=AC+BC=AB+BC，
∴③正确，
∵AM⊥MD，而△BCD为锐角三角形，
∴④错误，
∴正确的为①③．
故选B．  
7.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查等腰三角形和等边三角形的性质.分析根据性质一一判定即可．
【解答】
解：①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；是错误的．
②等腰三角形两腰上的高相等；是正确的．
③等腰三角形的最短边是底边；是错误的。
④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；是正确．
⑤等腰三角形都是锐角三角形是错误的．
故正确的有2个．
故选B  
8.【答案】D 
【解析】解：①∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，
即∠BAD=∠CAE．
在△ABD和△ACE中，
AD=AE∠BAD=∠CAEAB=AC,
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE.故①正确；
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD=∠ACE．
∵∠CAB=90°，
∴∠ABD+∠DBC+∠ACB=90°，
∴∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，
∴∠BDC=180°−90°=90°．
∴BD⊥CE；故②正确；
③∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°，
∴∠ABD+∠DBC=45°．
∴∠ACE+∠DBC=45°，故③正确，
④延长AF到G，使得FG=AF，连接CG，DG．
则△AFD≌△GFC．
∴∠FAD=∠FGC
∴AD//CG，AD=CG，
∴∠DAC+∠ACG=180°，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠EAB+∠DAC=180°，
∴∠EAB=∠ACG，
∵EA=AD=CG，AB=AC，
∴△EAB≌△GCA(SAS)，
∴AG=BE，
∴2AF=BE，故④正确，
⑤延长FA交BE于H．
∵△EAB≌△GCA(SAS)，
∴∠ABE=∠CAG，
∵∠CAG+∠BAH=90°，
∴∠BAH+∠ABE=90°，
∴∠AHB=90°，
∴AF⊥BE，故⑤正确．
故选：D．
①由条件证明△ABD≌△ACE，就可以得到结论；
②由△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD=∠ACE，就可以得出∠BDC=90°而得出结论；
③由条件知∠ABC=∠ABD+∠DBC=45°，由∠DBC+∠ACE=90°，就可以得出结论．
④延长AF到G，使得FG=AF，连接CG.想办法证明△EAB≌△GCA，即可解决问题；
⑤延长FA交BE于H.只要证明∠AHB=90°即可；
本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于压轴题．

9.【答案】B 
【解析】解：
过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，
∵BE的垂直平分线交BC于D，BD=x，
∴BD=DE=x，
∵AB=AC，BC=12，tan∠ACB=y，
∴EMMC=AQCQ=y，BQ=CQ=6，
∴AQ=6y，
∵AQ⊥BC，EM⊥BC，
∴AQ//EM，
∵E为AC中点，
∴CM=QM=12CQ=3，
∴EM=3y，
∴DM=12−3−x=9−x，
在Rt△EDM中，由勾股定理得：x2=(3y)2+(9−x)2，
即2x−y2=9，
故选：B．
过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，根据线段垂直平分线求出DE=BD=x，根据等腰三角形求出BQ=CQ=6，求出CM=QM=3，解直角三角形求出EM=3y，AQ=6y，在Rt△DEM中，根据勾股定理求出即可．
本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键．

10.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．
由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OCA=∠ODB，AC=BD，②正确；
由全等三角形的性质得出∠OCA=∠ODB，由三角形的外角性质得：∠CMD+∠OCA=∠COD+∠ODB，得出∠CMD=∠COD=36°，∠AMB=∠CMD=36°，①正确；
作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示：则∠OGA=∠OHB=90°，由AAS证明△OGA≌△OHB(AAS)，得出OG=OH，由角平分线的判定方法得出MO平分∠AMD，④正确；
假设OM平分∠AOD，则∠DOM=∠AOM，由全等三角形的判定定理可得△AMO≌△DMO，得AO=OD，而OC=OD，所以OA=OC，而OA 【解答】
解：∵∠AOB=∠COD=36°，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，
即∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，OA=OB∠AOC=∠BODOC=OD
∴△AOC≌△BOD(SAS)，
∴∠OCA=∠ODB，AC=BD，故②正确；
∵∠OCA=∠ODB，
由三角形的外角性质得：
∠CMD+∠OCA=∠COD+∠ODB，
得出∠CMD=∠COD=36°，∠AMB=∠CMD=36°，故①正确；
作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示，

则∠OGA=∠OHB=90°，
在△OGA和△OHB中，
∵∠OGA=∠OHB=90°∠OAG=∠OBHOA=OB，
∴△OGA≌△OHB(AAS)，
∴OG=OH，
∴MO平分∠AMD，故④正确；
假设OM平分∠AOD，则∠DOM=∠AOM，
在△AMO与△DMO中，∠AOM=∠DOMOM=OM∠AMO=∠DMO,
∴△AMO≌△DMO(ASA)，
∴AO=OD，
∵OC=OD，
∴OA=OC，
而OA 正确的个数有3个；
故选：B．  
11.【答案】D 
【解析】解：作CM⊥BD于M，CN⊥AE于N．

∵△ABC，△DCE都是等边三角形，
∴BC=AC，DC=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=∠ACE，
∴△BCD≌△ACE(SAS)，
∴∠CBD=∠CAE，
∵CM⊥BD于M，CN⊥AE于N．
∴∠BMC=∠ANC=90°，
∵AC=BC，
∴△BCM≌△ACN，
∴CM=CN，
∴FC平分∠BFE，故①正确；
∵∠CBG=∠CAH，∠BCG=∠ACH=60°，BC=CA，
∴△BCG≌△ACH(ASA)，
∴S△ACH=S△BCG，故③正确;
∵△BCG≌△ACH，
∴CG=CH，
∵∠GCH=180°−60°−60°=60°，
∴△CGH是等边三角形，
∴∠HGC=∠GCB=60°，
∴GH//BE，故②正确；
∵∠DEC=∠ACB=60°，
∴AC//DE，
∴S△EDA=S△DEC，
∴S△AHD=S△CHE，故④正确，
故选：D．
作CM⊥BD于M，CN⊥AE于N.由△BCD≌△ACE，△BCG≌△ACH，角平分线的判定定理以及AC//DE即可一一判断即可．
本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面积、平行线的判定、角平分线的判定定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找全等三角形是解决问题的关键．

12.【答案】C 
【解析】解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴∠OBA=12∠CBA，∠OAB=12∠CAB，
∴∠AOB=180°−∠OBA−∠OAB=180°−12∠CBA−12∠CAB=180°−12(180°−∠C)=90°+12∠C，①正确；
∵∠C=60°，
∴∠BAC+∠ABC=120°，
∵AE，BF分别是∠BAC与ABC的平分线，
∴∠OAB+∠OBA=12(∠BAC+∠ABC)=60°，
∴∠AOB=120°，
∴∠AOF=60°，
∴∠BOE=60°，
如图，在AB上取一点H，使BH=BE，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠HBO=∠EBO，
在△HBO和△EBO中，BH=BE∠HBO=∠EBOBO=BO，
∴△HBO≌△EBO(SAS)，
∴∠BOH=∠BOE=60°，
∴∠AOH=180°−60°−60°=60°，

∴∠AOH=∠AOF，
在△HBO和△EBO中，∠HAO=∠FAOAO=AO∠AOH=∠AOF，
∴△HBO≌△EBO(ASA)，
∴AF=AH，
∴AB=BH+AH=BE+AF，故②正确；
作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，

∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴点O在∠C的平分线上，
∴OH=OM=OD=a，
∵AB+AC+BC=2b
∴S△ABC=12×AB×OM+12×AC×OH+12×BC×OD=12(AB+AC+BC)⋅a=ab，④正确．
故选：C．
由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解∠AOB与∠C的关系，进而判定①；在AB上取一点H，使BH=BE，证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH=∠BOE=60°，再证得△HBO≌△EBO，得到AF=AH，进而判定②正确；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，根据三角形的面积可证得③正确．
本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的性质和判定，正确作出辅助线证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH=∠BOE=60°，是解决问题的关键．

13.【答案】85 
【解析】解：由两次翻折知：
CB=CB′=6，AC=A′C=8，∠A′=∠A，∠B=∠BB′C，
∴A′B′=2，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠A′+∠BB′C=90°，
∴∠A′+∠A′B′M=90°，
∴A′M⊥AB，
∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
由勾股定理得：AB=10，
∴cosA′=cosA=A′MA′B′=ACAB，
∴A′M2=810，
∴A′M=85．
故答案为：85．
由翻折知：A′B′=2，由角的关系推导出A′M⊥AB，再通过∠A=∠A′，则cosA′=cosA，求得A′M的长．
本题主要考查了翻折的性质、三角函数等知识，推导出A′M⊥AB是解题的关键．

14.【答案】105 
【解析】
【分析】
此题主要是根据折叠能够发现相等的角，同时运用了平行线的性质和平角定义．根据两条直线平行，内错角相等，则∠BFE=∠DEF=25°，根据平角定义，则∠EFC=155°(图a)，进一步求得∠BFC=155°−25°=130°(图b)，进而求得∠CFE=130°−25°=105°(图c)．
【解答】
解：∵AD//BC，∠DEF=25°，
∴∠BFE=∠DEF=25°，
∴∠EFC=155°(图a)，
∴∠BFC=155°−25°=130°(图b)，
∴∠CFE=130°−25°=105°(图c)．
故答案为105．  
15.【答案】2cm 
【解析】
【分析】
连接AN、AM，根据线段的垂直平分线的性质证明MB=MA，得到∠NMA=60°，同理NA=NC，∠NMA=60°，得到MN=13BC，得到答案．
此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
【解答】
解：连接AN、AM，
∵AB=AC，∠A=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵EM是AB的垂直平分线，
∴MB=MA，
∴∠MAB=∠B=30°，
∴∠NMA=60°，同理NA=NC，∠NMA=60°，
∴△MAN是等边三角形，
∴BM=MN=NC=13BC=2cm，
故答案为2cm．  
16.【答案】①② 
【解析】解：①∵C是MN的垂直平分线上的点，
∴CM=CN，
∴∠CNM=∠CMN；故①正确；
②在Rt△ACM和Rt△DNC中
CM=CNAM=CD，
∴Rt△ACM≌Rt△DNC(HL)；故②正确；
③如图，连接MD，

∵B为AD的中点，∠MAD=90°，
∴MA≠MD≠MB，
∴MB不平分∠AMN；故③错误；
④∵CN=13，CD=5，
∴ND=CN2−CD2=12，
∴AC=ND=12，
∴AD=AC+CD=12+5=17，
∴AB=12AD=172，
∴BC=AC−AB=12−172=72≠4.故④错误．
综上所述：正确的是①②．
故答案为：①②．
①根据线段垂直平分线的性质可得CM=CN，进而可以解决问题；
②结合①利用HL即可证明△ACM≌△DNC；
③连接MD，根据MA≠MD≠MB，即可得MB不平分∠AMN；
④根据勾股定理可得ND=12，结合②可得AC=ND=12，即可可以解决问题．
本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法．

17.【答案】正方形 
【解析】解：(1)∵ABCD是矩形，
∴∠A=∠ADC=90°，
∵将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A′处，得到折痕DE，
∴AD=AD′，AE=A′E，∠ADE=∠A′DE=45°，
∴∵AB//CD，
∴∠AED=∠A′DE=∠ADE，
∴AD=AD′，
∴AD=AE=A′E=A′D，
∴四边形AEA′D是菱形，
∵∠A=90°，
∴四边形AEA′D是正方形．
故答案为：正方形；
(2)MC′=ME．
证明：如图1，连接C′E，由(1)知，AD=AE，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠EAC′=∠B=90°，
由折叠知，B′C′=BC，∠B=∠B′，
∴AE=B′C′，∠EAC′=∠B′，
又EC′=C′E，
∴Rt△EC′A≌Rt△CEB′(HL)，
∴∠C′EA=∠EC′B′，
∴MC′=ME；
(3)∵Rt△EC′A≌Rt△CEB′，
∴AC′=B′E，
由折叠知，B′E=BD，
∴AC′=BE，
∵AC′=2cm，DC′=4cm，
∴AB=CD=2+4+2=8(cm)，
设DF=xcm，则FC′=FC=(8−x)cm，
∵DC′2+DF2=FC′2，
∴42+x2=(8−x)2，
解得，x=3，
即DF=3cm，
如图2，延长BA、FC′交于点G，则∠AC′G=∠DC′F，

∴tan∠AC′G=tan∠DC′F=AGAC′=DFDC′=34，
∴AG=32cm，
∴EG=32+6=152cm，
∵DF//EG，
∴△DNF∽△ENG，
∴DNEN=DFEG=3152=25．
(1)由折叠性质得AD=AD′，AE=A′E，∠ADE=∠A′DE，再根据平行线的性质和等腰三角形的判定得到四边形AEA′D是菱形，进而结合内角为直角条件得四边形AEA′D为正方形；
(2)连接C′E，证明Rt△EC′A≌Rt△CEB′，得∠C′EA=∠EC′B′，便可得结论；
(3)设DF=xcm，则FC′=FC=(8−x)cm，由勾股定理求出x的值，延长BA、FC′交于点G，求得AG，再证明△DNF∽△ENG，便可求得结果．
本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质与判定，等腰三角形的判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，第(2)题关键在于证明三角形全等，第(3)题关键证明相似三角形．

18.【答案】解：(1)把点C(2,m)代入直线y=x+2中得：m=2+2=4，
∴点C(2,4)，
∵直线y=−12x+b过点C，
4=−12×2+b，b=5；
(2)①由题意得：PD=t，
y=x+2中，当y=0时，x+2=0，x=−2，
∴A(−2,0)，
y=−12x+5中，当y=0时，−12x+5=0，
x=10，
∴D(10,0)，
∴AD=10+2=12，
∵△ACP的面积为10，
∴12(12−t)×4=10，t=7，
则t的值7秒；
②设点P(10−t,0)，点A、C的坐标为：(−2,0)、(2,4)，
当AC=PC时，则点C在AP的中垂线上，即2−(−2)=10−t−2，
解得：t=4；
当AP=CP时，则点P在点C的正下方，故2=10−t，
解得：t=8；
当AC=AP时，
同理可得：t=12−42
故：当t=4秒或(12−42)秒或8秒时，△ACP为等腰三角形． 
【解析】(1)把点C(2,m)代入直线y=x+2中得：m=2+2=4，则点C(2,4)，直线y=−12x+b过点C，4=−12×2+b，b=5；
(2)①由题意得：PD=t，A(−2,0)，y=−12x+5中，当y=0时，−12x+5=0，D(10,0)，AD=10+2=12，12(12−t)×4=10，即可求解；
②分AC=PC、AP=CP、AC=AP三种情况，分别求解即可．
本题考查的是一次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、面积的计算等，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏．

19.【答案】解：(1)∵点A坐标为(4,3)，
∴OA=32+42=5，
∵OA=OB，
∴B点坐标为(0,−5)，
把A(4,3)代入y1=k1x，求得k1=34，
∴y1=34x；
把A(4,3)，B(0,−5)代入y2=k2x+b，求得k2=2，b=−5，
∴y2=2x−5．
(2)S△AOB=12OB⋅xA
=12×5×4
=10．
(3)因为△PAB周长为PA+PB+AB，
所以求△PAB周长最小，也就是求PA+PB的最小值．
作出点A对于直线x=−3的对称点A′，连接A′B，交直线x=−3于点P，如右图：
此时△PAB周长最小．
设直线A′B的解析式为y=kx+b，
因为经过A′(−10,3)，B(0,−5)，
所以代入y=kx+b求得k=−45，b=−5，
所以y=−45x−5．
当x=−3时，y=−45×(−3)−5=−135，
所以点P坐标为(−3,−135). 
【解析】(1)利用给出的点A的坐标，可代入求得正比例函数的解析式，利用OA=OB，可求B点坐标，从而利用代定系数法求得一次函数解析式；
(2)利用坐标，即可知三角形的底与高，直接求面积即可；
(3)利用将军饮马问题来解决．
本题考查的是一次函数的应用，

20.【答案】证明：(1)∵AD//BC(已知)，
∴∠ADC=∠ECF(两直线平行，内错角相等)，
∵E是CD的中点(已知)，
∴DE=EC(中点的定义)．
∵在△ADE与△FCE中，
∠ADC=∠ECFDE=EC∠AED=∠CEF ，
∴△ADE≌△FCE(ASA)，
∴FC=AD；
(2)∵△ADE≌△FCE，
∴AE=EF，AD=CF，
∴BE是线段AF的垂直平分线，
∴AB=BF=BC+CF，
∵AD=CF，AD=2cm，BC=5cm．
∴AB=BC+AD=2+5=7(cm)． 
【解析】本题主要考查了全等三角形的判定及线段垂直平分线的性质．
(1)根据AD//BC可知∠ADC=∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答． 
(2)根据线段垂直平分线的性质判断出AB=BF即可．


21.【答案】解：(1)BD=CE，
如图，连接AE，

∵DE=AD，∠ADE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∵BD=CD，
∴∠CAD=30°，
∴AC垂直平分DE，
∴CD=CE，
∴BD=CE；
(2)AB=CD+CE，
理由：如图2，连接AE，

由(1)得△ADE是等边三角形，
∴AD=AE，∠DAE=60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE,
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE，
∵BC=BD+CD，
∴BC=CE+CD，
∴AB=CD+CE；
(3)6+x． 
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的性质，连接AE构造全等三角形是解题的关键．
(1)如图，连接AE，DE=AD，∠ADE=60°，推出△ADE是等边三角形，由△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质得到AB=AC证得AC垂直平分DE，根据线段垂直平分线的性质的即可得到结论；
(2)如图2，连接AE，由(1)得△ADE是等边三角形，得到AD=AE，∠DAE=60°，根据等边三角形的性质得到AB=AC，∠BAC=60°，证得∠BAD=∠CAE，推出△ABD≌△ACE，由全等三角形的性质得到BD=CE，等量代换即可得到结论；
(3)如图3，连接AE，方法同(2)，可得答案为6+x．
【解答】
(1)(2)见答案；
(3)如图3，连接AE，

由(1)得△ADE是等边三角形，
∴AD=AE，∠DAE=60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD于△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE,
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴CE=BD，
∵BD=BC+CD=6+x，
∴CE=6+x．
故答案为6+x．  
22.【答案】解；：(1)∵点D在AB上，BC=CD，
∴∠DBC=∠BDC，
∵AE//CD，
∴∠BAE=∠BDC，
∴∠BAE=∠DBC，
又∵AB=BC，∠ABE=∠BCD，
∴△ABE≌△BCD(ASA)，
∴BE=CD；

(2)如图，连接EC，
由(1)可得BE=CD，
∵AB=BC=CD，
∴AB=BC=CD=BE，
∵∠BCD=20°，∠ABE=∠BCD，
∴∠DBC=∠BDC=80°，
∴∠EBC=∠DBC−∠ABE=60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴BC=EC，∠BCE=60°，
∴CD=CE，∠DCE=∠BCE−∠BCD=40°，
∴∠CDE=∠DEC=70°，
∴∠ADE=180°−∠BDC−∠CDE=30°． 
【解析】(1)根据∠BAE=∠DBC，AB=BC，∠ABE=∠BCD，即可得到△ABE≌△BCD，进而得到BE=CD；
(2)连接EC，判定△BCE是等边三角形，即可得到BC=EC，∠BCE=60°，进而得到∠CDE=∠DEC=70°，再根据∠ADE=180°−∠BDC−∠CDE进行计算即可．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．

23.【答案】证明：在△ADB和△BCA中，
AD=BCAC=BDAB=BA，
∴△ADB≌△BCA(SSS)，
∴∠DBA=∠CAB，
∴AE=BE，
∴△EAB是等腰三角形． 
【解析】先用SSS证△ADB≌△BCA，得到∠DBA=∠CAB，利用等角对等边知AE=BE，从而证得△EAB是等腰三角形．
本题考查了三角形全等判定及性质和等腰三角形的性质；三角形的全等的证明是正确解答本题的关键．

24.【答案】证明：(1)如图，连接AP并延长，
∵PE⊥AB，PF⊥AC
∴∠AEP=∠AFP=90°
又AE=AF，AP=AP，
∵在Rt△AFP和Rt△AEP中
AP=APAE=AF，
∴Rt△AEP≌Rt△AFP(HL)，
∴PE=PF．

(2)∵Rt△AEP≌Rt△AFP，
∴∠EAP=∠FAP，
∴AP是∠BAC的角平分线，
故点P在∠BAC的角平分线上． 
【解析】(1)连接AP，根据HL证明△APF≌△APE，可得到PE=PF；
(2)利用(1)中的全等，可得出∠FAP=∠EAP，那么点P在∠BAC的平分线上．
本题考查了三角形全等的判定和性质，以及角平分线的有关知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

25.【答案】
解：(1)过D作DE⊥AB，交AB于点E，如图1所示，
∵AD为∠BAC的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DE=DC，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
AD=ADDE=DC,
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，
∴AC=AE，∠ACB=∠AED，
∵∠ACB=2∠B，
∴∠AED=2∠B，
又∵∠AED=∠B+∠EDB，
∴∠B=∠EDB，
∴BE=DE=DC，
则AB=BE+AE=CD+AC；
(2)AB=CD+AC，理由为：
在AB上截取AG=AC，如图2所示，
∵AD为∠BAC的平分线，
∴∠GAD=∠CAD，
∵在△ADG和△ADC中，
AG=AC∠GAD=∠CADAD=AD，
∴△ADG≌△ADC(SAS)，
∴CD=DG，∠AGD=∠ACB，
∵∠ACB=2∠B，
∴∠AGD=2∠B，
又∵∠AGD=∠B+∠GDB，
∴∠B=∠GDB，
∴BE=DG=DC，
则AB=BG+AG=CD+AC；
(3)AB=CD−AC，理由为：
在AF上截取AG=AC，如图3所示，
∵AD为∠FAC的平分线，
∴∠GAD=∠CAD，
∵在△ADG和△ACD中，
AG=AC∠GAD=∠CADAD=AD，
∴△ADG≌△ACD(SAS)，
∴CD=GD，∠AGD=∠ACD，即∠ACB=∠FGD，
∵∠ACB=2∠B，
∴∠FGD=2∠B，
又∵∠FGD=∠B+∠GDB，
∴∠B=∠GDB，
∴BG=DG=DC，
则AB=BG−AG=CD−AC． 
【解析】此题考查了角平分线性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线性质是解本题的关键．
(1)过D作DE⊥AB，交AB于点E，理由角平分线性质得到ED=CD，利用HL得到直角三角形AED与直角三角形ACD全等，由全等三角形的对应边相等，对应角相等，得到AE=AC，∠AED=∠ACB，由∠ACB=2∠B，利用等量代换及外角性质得到一对角相等，利用等角对等边得到BE=DE，由AB=AE+EB，等量代换即可得证；
(2)AB=CD+AC，理由为：在AB上截取AG=AC，如图2所示，由角平分线定义得到一对角相等，再由AD=AD，利用SAS得到三角形AGD与三角形ACD全等，接下来同(1)即可得证；
(3)AB=CD−AC，理由为：在AF上截取AG=AC，如图3所示，同(2)即可得证．