2023年新教材高考数学二轮复习高考解答题专项五第2课时最值与范围问题含解析新人教B版

高考解答题专项五　圆锥曲线中的综合问题

第2课时　最值与范围问题

1.已知椭圆M:=1(a>b>0)的离心率为,焦距为2.斜率为1的直线l与椭圆M有两个不同的交点A,B.

(1)求椭圆M的方程;

(2)求|AB|的最大值.

2.焦点在x轴上的双曲线C的一条渐近线方程是x-2y=0,且双曲线C过点(2,1).

(1)求双曲线C的方程;

(2)设双曲线C的左、右顶点分别是A1,A2,点P为双曲线C上任意一点,直线PA1,PA2分别与直线l:x=1交于M,N两点,求|MN|的最小值.

3.(2021全国乙,文20)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.

(1)求抛物线C的方程;

(2)已知点O为坐标原点,点P在抛物线C上,点Q满足=9,求直线OQ斜率的最大值.

4.已知椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆E的离心率为,且通径长为1.

(1)求椭圆E的方程;

(2)直线l与椭圆E交于M,N两点(点M,点N在x轴的同侧),当F1M∥F2N时,求四边形F1F2NM面积的最大值.

5.(2021北京,20)已知椭圆E:=1(a>b>0)过点A(0,-2),以四个顶点围成的四边形面积为4.

(1)求椭圆E的标准方程;

(2)过点P(0,-3)的直线l斜率为k,交椭圆E于不同的两点B,C,直线AB交直线y=-3于点M,直线AC交直线y=-3于点N,若|PM|+|PN|≤15,求k的取值范围.

6.已知抛物线C:y2=2px(p>0),点A在抛物线C上,点B在x轴的正半轴上,等边三角形OAB的边长为.

(1)求抛物线的方程;

(2)若直线l:x=ty+2(t∈[1,3])与抛物线C相交于D,E两点,直线DE不过点M(0,1),△DEM的面积为S,求的取值范围.

高考解答题专项五　圆锥曲线中的综合问题

第2课时　最值与范围问题

1.解(1)由题意得解得a=,b=1,

所以椭圆M的方程为+y2=1.

(2)设直线l的方程为y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2).

联立得4x2+6mx+3m2-3=0.

因为Δ=36m2-16(3m2-3)>0,所以m2<4,

所以x1+x2=-,x1x2=,

所以|AB|=

=(m2<4),

所以当m=0时,|AB|最大,最大值为.

2.解(1)设双曲线C的方程为=1(a>0,b>0).

由题可知解得

所以双曲线C的方程为-y2=1.

(2)由(1)知A1(-2,0),A2(2,0).

由题可知,|MN|取最小值时点P在双曲线C的右支上.

设P(x,y),直线PA1,PA2的斜率分别为k1,k2(k1,k2>0).

因为双曲线方程可化为,所以k1k2=,

所以PA1的方程为y=k1(x+2),PA2的方程为y=k2(x-2).

令x=1,得M(1,3k1),N(1,-k2),

所以|MN|=|3k1-(-k2)|=3k1+k2≥2,

当且仅当3k1=k2,即k1=,k2=时,等号成立,

所以|MN|的最小值为.

3.解(1)在抛物线C中,焦点F到准线的距离为p,故p=2,抛物线C的方程为y2=4x.

(2)设点P(x1,y1),Q(x2,y2).

因为F(1,0),所以=(x2-x1,y2-y1),=(1-x2,-y2).

因为=9,

所以x2-x1=9(1-x2),y2-y1=-9y2,

得x1=10x2-9,y1=10y2.

又因为点P在抛物线C上,所以=4x1,所以(10y2)2=4(10x2-9),则点Q的轨迹方程为y2=x-.

易知直线OQ的斜率存在.

设直线OQ的方程为y=kx,当直线OQ和曲线y2=x-相切时,斜率取得最大值、最小值.

由得k2x2=x-,

即k2x2-x+=0. (*)

当直线OQ和曲线y2=x-相切时,方程(*)的判别式Δ=0,即-4k2·=0,解得k=±,所以直线OQ斜率的最大值为.

4.解(1)由题可知解得

所以椭圆的方程为+y2=1.

(2)由(1)可知F1(-,0),F2(,0).

延长MF1交E于点M0(图略).

设M(x1,y1),M0(x2,y2),直线MF1的方程为x=my-.

联立得(m2+4)y2-2my-1=0.

因为m2+4>0,Δ=12m2+4(m2+4)>0,

所以y1+y2=,y1y2=-.

设F1M与F2N的距离为d,则四边形F1F2NM的面积S=(|F1M|+|F2N|)d=(|F1M|+|F1M0|)d=|MM0|d=.

又因为|F1F2||y1-y2|=·2|y1-y2|

=

==2,

当且仅当,即m=±时,等号成立,

所以四边形F1F2NM面积的最大值为2.

5.解(1)因为椭圆过点A(0,-2),所以b=2.

又因为椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为4,

所以×2a×2b=4,所以a=,

所以椭圆E的标准方程为=1.

(2)如图,

设B(x1,y1),C(x2,y2).

因为直线BC的斜率存在,所以x1x2≠0,

所以直线AB:y=x-2.

令y=-3,则xM=-,同理xN=-.

由题可知直线BC:y=kx-3.联立得(4+5k2)x2-30kx+25=0.

因为4+5k2>0,Δ=900k2-100(4+5k2)>0,所以k<-1或k>1,

所以x1+x2=,x1x2=,所以x1x2>0,

所以xMxN>0.

又|PM|+|PN|=|xM+xN|=

==

==5|k|,

所以5|k|≤15,即|k|≤3.

综上,k的取值范围为[-3,-1)∪(1,3].

6.解(1)∵△OAB是边长为的等边三角形,点A在抛物线C上,点B在x轴的正半轴上,

∴A,∴p,∴p=2,

∴抛物线方程为y2=4x.

(2)联立得y2-4ty-8=0,易知Δ>0.

设D(x1,y1),E(x2,y2),

则y1+y2=4t,y1y2=-8,∴|DE|=·|y1-y2|==4.

∵点M到直线l:x-ty-2=0的距离d=,∴△DEM的面积S=|DE|d=2=2·|t+2|.又t∈[1,3],

∴=4(t2+2)(t+2)=4(t3+2t2+2t+4).

令f(t)=t3+2t2+2t+4,则f'(t)=3t2+4t+2>0,

∴f(t)在[1,3]上单调递增,∴f(t)∈[9,55],

∴的取值范围为[36,220].