2023年高考数学一轮复习课时规范练18任意角蝗制及任意角的三角函数含解析新人教A版理

课时规范练18　任意角、弧度制及任意角的三角函数

基础巩固组

1.(2021云南大理高三检测)如果角α的终边过点(1,-),则sin α的值等于(　　)

A. B.- C.- D.-

2.(2021江苏无锡模拟)若角α的终边经过点P(3,a)(a≠0),则(　　)

A.sinα>0 B.sinα<0

C.cosα>0 D.cosα<0

3.(2021辽宁大连模拟)下列关系正确的是(　　)

A.cos 1<sin 1<tan 1 B.sin 1<cos 1<tan 1

C.cos 1<tan 1<sin 1 D.sin 1<tan 1<cos 1

4.(2021湖北武汉质检)已知角α为第二象限角,且cos=-cos,则角是(　　)

A.第一象限角 B.第二象限角

C.第三象限角 D.第四象限角

5.(2021江西赣州高三期末)我们学过用角度制与弧度制度量角,最近,有学者提出用“面度制”度量角,因为在半径不同的同心圆中,同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数,从而称这个常数为该角的面度数,这种用面度作为单位来度量角的单位制,叫做面度制.在面度制下,角θ的面度数为,则角θ的余弦值为(　　)

A.- B.-

C. D.

6.(2021安徽黄山二模)若一扇形的圆心角为144°,半径为10 cm,则扇形的面积为　　　　　cm2. 

7.(2021上海华东师大二附中三模)与2 021°终边相同的最小正角是　　　　　　. 

8.(2021广西南宁三中模拟)已知角α的终边过点P(8m,3),且cosα=-,则实数m的值为　　　　　. 

综合提升组

9.(2021广东梅州一模)《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题,计算术曰:以弦乘矢,矢又自乘,并之,二而一.其大意是弧田面积计算公式为:弧田面积=(弦×矢+矢×矢).弧田是由圆弧(弧田的弧)和以圆弧的端点为端点的线段(弧田的弦)围成的平面图形,公式中的“弦”指的是弧田的弦长,“矢”指的是弧田的弧所在圆的半径与圆心到弧田的弦的距离之差.现有一弧田,其弧田的弦AB等于6米,其弧田的弧所在圆为圆O,若用上述弧田面积计算公式算得该弧田面积为平方米,则sin∠AOB=　　　　　. 

10.(2021广东揭阳质检)长为1 m的圆柱形木材有一部分镶嵌在墙体中,截面如图所示(阴影为镶嵌在墙体内的部分).已知弦AB=2 dm,弓形高CD=(20-10)cm,估算该木材镶嵌在墙中的侧面积约为　　　　　cm2. 

11.(2021湖南永州三模)下图为某月牙潭的示意图,该月牙潭是由两段在同一平面内的圆弧形堤岸连接围成,其中外堤岸为半圆形,内堤岸圆弧所在圆的半径为30米,两堤岸的连接点A,B间的距离为30米,则该月牙潭的面积为　　　　平方米. 

创新应用组

12.(2021江西赣州一模)斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”,它的画法是:以斐波那契数:1,1,2,3,5,8,…为边的正方形拼成长方形,然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧,这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案,例如向日葵、鹦鹉螺等.下图为该螺旋线的前一部分,如果用接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面,则该圆锥的高为(　　)

A. B.

C. D.

13.(2021广西柳州模拟)如图所示,阴影部分的月牙形的边缘都是圆弧,两段圆弧分别是△ABC的外接圆和以AB为直径的圆的一部分,若∠ACB=,AC=BC=1,则该月牙形的面积为(　　)

A. B.

C. D.

答案：

课时规范练

1.C　解析:点(1,-)到原点的距离r==2,由定义知sinα==-

2.C　解析:由点的坐标可知,角α的终边可能在第一或第四象限,故正弦符号不确定,角α的余弦必为正值.

3.A　解析:作出单位圆,用三角函数线进行求解,如图所示,有OM<MP<AT,

所以cos1<sin1<tan1.

4.C　解析:因为角α为第二象限角,所以为第一或第三象限角.

又cos<0,所以为第三象限角.

5.B　解析:由面度数的定义可知,即θ=所以cosθ=cos=-

6.40π　解析:扇形的面积为S=π·102=40π(cm2).

7.221°　解析:因为2021°=1800°+221°=5×360°+221°,所以与2021°终边相同的最小正角是221°.

8.-　解析:由题意,cosα==-,解得m=-

9　解析:如图所示,AB=6,OA=R,CO=d,

由题意可得弧田面积S=[6×(R-d)+(R-d)2]=,解得R-d=1,R-d=-7(舍).

又因为R2-d2=32=9,所以R=5,d=4.

所以sin∠COA=,cos∠COA=,所以sin∠AOB=2

10　解析:设截面圆的半径为R,点D在线段CO上,

AD=AB=10cm,OD=R-CD=R-(20-10),

根据垂径定理可得R2=OD2+AD2,解得R=20cm,

所以∠AOD=,则有∠AOB=,故可得弧AB=cm,

结合木材长1m,可得该木材镶嵌在墙中的侧面积约为cm2.

11.450　解析:如图是内堤岸圆弧所在圆,由题意OA=OB=30,AB=30,

所以OA⊥OB,

弦AB上方弓形面积为S2=302-30×30=225π-450,

所以所求面积为S=(15)2-S2=225π-(225π-450)=450.

12.B　解析:由斐波那契数的规律可知,从第三项起,每一个数都是前面两个数之和,

即接下来的圆弧对应的圆的半径是5+8=13,对应的弧长是l=2π×13

设圆锥底面半径为r,则2πr=,解得r=,

所以圆锥的高为h=

13.A　解析:如图,取AB的中点D,连接CD.

因为AC=BC=1,所以CD⊥AB.因为∠ACB=,所以∠ACD=,

所以AD=AC·sin=1,所以AB=

由正弦定理,得=2R=2,所以△ABC的外接圆半径R=1.

设△ABC外接圆的圆心为O,连接OD,OA,OB,则OD⊥AB.

由题意,内侧圆弧为△ABC外接圆的一部分,且其对应的圆心角为∠AOB=,

则弓形ACB的面积为S扇形AOB-S三角形AOB=R2-AB·OD=12-

外侧圆弧是以AB为直径的圆的一部分,所以半圆AB的面积为π×2=,

则月牙形的面积为-=