2023年新教材高考数学一轮复习课时规范练4均值不等式含解析新人教B版

课时规范练4　均值不等式

基础巩固组

1.下列不等式正确的是(　　)

A.x-1+≥2(x>0)

B.(a+4)+1≥8(a>0)

C.lg x·lg y≤(x>1,y>1)

D.lg(a2+1)>lg|2a|(a≠0)

2.(2021河北邯郸高三月考)函数y=4x2(6-x2)的最大值为(　　)

A.36 B.6 

C.9 D.18

3.(2021广东惠州高三期末)若a<1则a+的最大值是(　　)

A.3 B.a 

C.-1 D.

4.(2021北京西城高三月考)设正实数a,b满足a+b=1,则下列说法错误的是(　　)

A.有最大值

B.有最小值3

C.a2+b2有最小值

D.有最大值

5.(2021浙江丽水高三模拟)设x,y>1,z>0,z为x与y的等比中项,则的最小值为(　　)

A. B.2

C. D.2

6.(多选)(2021山东日照高三月考)下列不等式一定成立的有(　　)

A.x+≥2 

B.2x(1-x)≤

C.x2+≥2-1 

D.≥2

7.(多选)(2021江苏无锡高三期中)若非负实数a,b满足a+b2=1,则下列不等式成立的有(　　)

A.ab2≤ B.a2+b4≥

C.+b≥ D.a2+b2≥

8.(多选)(2021湖南师大附中高三模拟)已知x>0,y>0,且x2+xy-x+5y=30,则(　　)

A.xy的最大值为9

B.的最小值为1

C.x-的最大值为4

D.x2+y2的最小值为20

9.(2021湖北黄冈高三期中)当x>1时不等式>m2+1恒成立,则实数m的取值范围是　　　　. 

10.(2021天津耀华中学高三二模)如果a>b>0,那么的最小值是　　　　　. 

综合提升组

11.(2021天津高三一模)已知a>0,b>0,且ab=a+b+3,则a+b的最小值为(　　)

A.4 B.8 

C.7 D.6

12.(2021贵州贵阳高三月考)若圆x2+y2-4x+2y+1=0被直线ax-2by-2=0(a>0,b>0)截得的弦长为4,则的最小值是(　　)

A.9 B.4 

C. D.

13.(2021浙江镇海中学高三模拟)已知a,b,c是不同时为0的实数,则的最大值为　　　　　. 

创新应用组

14.(2021江苏南京高三期中)已知α,β∈0,,sin(2α+β)=2sin β,则tan β的最大值为(　　)

A. B. 

C.1 D.

课时规范练4　均值不等式

1.C　解析:当x>1,y>1时,lgx>0,lgy>0,所以lgx·lgy≤2=2=,当且仅当x=y时,不等式中的等号成立,故C正确.

2.A　解析:由均值不等式可得y=4x2(6-x2)≤4·2=36,当且仅当x2=6-x2,即x=±时,等号成立,函数取得最大值36.

3.C　解析:因为a<1,所以a-1<0,因此a+=a-1++1≤-2+1=-1,当且仅当1-a=,即a=0时,等号成立,故a+(a<1)的最大值是-1,故选C.

4.B　解析:对于A,由均值不等式可得,当且仅当a=b=时,等号成立,故A正确;对于B,由均值不等式可得[(a+2b)+(2a+b)]=2+≥2+2=,当且仅当a=b=时,等号成立,故B错误;对于C,因为1=(a+b)2=a2+b2+2ab≤2(a2+b2),所以a2+b2≥,当且仅当a=b=时,等号成立,故C正确;对于D,()2=a+b+2≤2(a+b)=2,则,当且仅当a=b=时,等号成立,故D正确.故选B.

5.A　解析:因为x,y>1,z>0,且z为x和y的等比中项,所以z2=xy,+2当且仅当,即lgx=lgy时,等号成立,故选A.

6.CD　解析:对于A,当x<0时,x+<0,故A错误;对于B,2x(1-x)=-2x2+2x=-2x-2+,故B错误;对于C,x2+=x2+1+-1≥2-1=2-1,当且仅当x2=-1时,等号成立,故C正确;对于D,≥2=2,当且仅当x=1时,等号成立,故D正确.故选CD.

7.ABD　解析:对于A,利用均值不等式可得ab2≤2=,当且仅当a=b2=时,等号成立,故A正确;对于B,1=(a+b2)2=a2+b4+2ab2≤2(a2+b4),所以a2+b4≥,当且仅当a=b2=时,等号成立,故B正确;对于C,(+b)2=a+b2+2≤2(a+b2)=2,即+b≤,当且仅当a=b2=时,等号成立,故C错误;对于D,因为a+b2=1≥a,又a≥0,所以0≤a≤1,所以a2+b2=a2+1-a=a-2+,当且仅当a=时,等号成立,故D正确.故选ABD.

8.AC　解析:由题可得(x2-x-30)+(xy+5y)=0,整理得(x+5)·(x+y-6)=0,因为x>0,所以x+y=6.对于A,x+y≥2,所以xy≤9,当且仅当x=y=3时,等号成立,故A正确;对于B,(x+y)=2+≥,当且仅当x=y=3时,等号成立,故B错误;对于C,x-=6-y-=6-y+≤6-2=4,当且仅当x=5,y=1时,等号成立,故C正确;对于D,x2+y2=(x+y)2-2xy=36-2xy≥36-22=18,当且仅当x=y=3时,等号成立,故D错误.故选AC.

9.(-)　解析:因为=(x-1)++2≥2+2=6,当且仅当x=3时,等号成立,所以要使不等式恒成立,应有m2+1<6,解得-<m<.

10.8　解析:因为a>b>0,所以a-b>0,所以b(a-b)≤2=,当且仅当b=a-b,即a=2b时,等号成立.所以=4a2+≥8,当且仅当a=1,b=时,等号成立.故的最小值是8.

11.D　解析:∵ab=a+b+3,a>0,b>0,∴a+b+3≤2,当且仅当a=b,即a=b=3时,等号成立,解得a+b≥6或a+b≤-2(舍去),∴a+b的最小值为6,故选D.

12.B　解析:圆x2+y2-4x+2y+1=0的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=4,它表示以(2,-1)为圆心,以2为半径的圆.设弦心距为d,由题意可得22+d2=4,求得d=0,可得直线经过圆心,故有2a+2b=2,即a+b=1.再由a>0,b>0,可得=(a+b)=2+≥2+2=4,当且仅当a=b=时,等号成立,故的最小值是4,故选B.

13.　解析:由于a2+4b2+c2=a2+b2+c2+b2,又a2+b2≥2a×b=ab,当且仅当a=b时,等号成立,c2+b2≥2c×bc,当且仅当c=b时,等号成立,所以a2+4b2+c2≥ab+bc=(2ab+bc),当且仅当a=2c=b时,等号成立,所以,当且仅当a=2c=b时,等号成立.

14.A　解析:∵sin(2α+β)=sin2αcosβ+cos2αsinβ,

∴sin2αcosβ=2sinβ-cos2αsinβ=sinβ(1+2sin2α).

∵α,β∈0,,

∴tanβ=,且tanα∈(0,+∞),

∴tanβ=,当且仅当tanα=时,等号成立,故选A.