2023年新教材高考数学一轮复习课时规范练21三角恒等变换含解析新人教B版

课时规范练21　三角恒等变换

基础巩固组

1.(2021天津和平高三模拟)已知sinα+=,α∈-,0,则sin 2α=(　　)

A. B.- 

C. D.-

2.(2021广东广州高三月考)2sinsincos=(　　)

A. B. 

C. D.

3.(2021江苏南京高三期中)化简:sin2+α-sin2-α=(　　)

A.cos2α+ B.sin2α+

C.-cos2α- D.sin-2α

4.已知sinα-=(0<α<π),则=(　　)

A.- B.-

C. D.

5.(2021湖南高三模拟)已知角α,β∈(0,π),tan(α+β)=,cos β=,则角2α+β=(　　)

A. B. C. D.

6.(2021山西临汾高三模拟)已知α满足sinα+=,则=(　　)

A. B.- C.3 D.-3

7.(多选)已知≤α≤π,π≤β≤,sin 2α=,cos(α+β)=-,则(　　)

A.cos α=- 

B.sin α-cos α=

C.β-α= 

D.cos αcos β=-

8.(2021安徽安庆高三检测)=　　　　. 

9.(2021北京海淀高三检测)已知α为锐角,且sin α·(-tan 10°)=1,则α=　　　　. 

10.(2021江西南昌二中高三检测)化简:α∈-π,-.

11.(2021福建莆田高三月考)已知=cos(α+β),求证:tan β=.

综合提升组

12.函数f(x)=sin 2x-4sin3xcos x(x∈R) 的最小正周期为(　　)

A. B. 

C. D.π

13.(2021四川宜宾高三期中)已知角α,β满足cos 2α+cos α=sin+β·sin-β+sin2β,且α∈0,π,则α等于(　　)

A. B. 

C. D.

14.(多选)(2021广西高三开学考试)设sinβ++sin β=,则sinβ-=(　　)

A. B. 

C.- D.-

15.(2021河南信阳高三月考)(tan 30°+tan 70°)sin 10°=　. 

16.已知函数f(x)=cos2x-cos2x-.

(1)求函数f(x)的最小正周期;

(2)求f(x)在-上的值域.

创新应用组

17.(2021辽宁大连高三期中)若▲表示一个整数,该整数使得等式=4成立,这个整数▲为(　　)

A.-1 B.1 

C.2 D.3

18.(2021江苏无锡高三月考)已知α,β∈(0,π),cos α=-,若sin(2α+β)=sin β,则α+β=(　　)

A.π B.π

C.π D.π

课时规范练21　三角恒等变换

1.B　解析:因为sinα+=,所以cosα=.因为α∈-,0,所以sinα=-=-=-,所以sin2α=2sinαcosα=2×-×=-.故选B.

2.B　解析:2sinsincos=2×sincos=sincossin,故选B.

3.B　解析:由题意可知,sin2+α-sin2-α=sin2+α-cos2+α=-cos2+α=-cos+2α=cos-2α=sin2α+,故选B.

4.C　解析:因为sinα-=,所以sinα-cosα=.两边同时平方,得sin2α+cos2α-2sinαcosα=,sinαcosα=>0.因为0<α<π,所以sinα>0,cosα>0,则sinα+cosα=,于是,故选C.

5.D　解析:∵cosβ=,∴sinβ=,则tanβ=,故tanα=tan(α+β-β)=,则tan(2α+β)=tan(α+β+α)==1.∵0<tan(α+β)<1,0<tanα<1,∴0<α+β<,0<α<,则0<2α+β<,则2α+β=,故选D.

6.B　解析:由sinα+=,可得(sinα+cosα)=,即sinα+cosα=,平方可得1+2sinαcosα=,即sin2α=-,故=-,故选B.

7.BC　解析:对于A,因为≤α≤π,所以≤2α≤2π.又sin2α=>0,故有≤2α≤π,≤α≤,则cos2α=-.又cos2α=2cos2α-1,则cos2α=,故cosα=,故A错误;对于B,因为(sinα-cosα)2=1-sin2α=≤α≤,所以sinα>cosα,所以sinα-cosα=,故B正确;对于C,因为π≤β≤,所以≤α+β≤2π.又cos(α+β)=-<0,所以≤α+β≤,解得sin(α+β)=-,所以cos(β-α)=cos[(α+β)-2α]=-×-+-×=-.又因为≤α+β≤,-π≤-2α≤-,所以≤β-α≤π,有β-α=,故C正确;对于D,cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=-,cos(β-α)=cosαcosβ+sinαsinβ=-,两式联立得cosαcosβ=-,故D错误.故选BC.

8.2　解析:=2.

9.40°　解析:由已知得sinα==sin40°.由于α为锐角,所以α=40°.

10.解原式=tan

=tantan,而∈-,-,即tan<0,故原式=tantan.

11.证明因为=cos(α+β),所以sinβ=sinα(cosαcosβ-sinαsinβ),即sinβ(1+sin2α)=sin2αcosβ,因此tanβ=,故tanβ=成立.

12.C　解析:f(x)=sin2x-4sin3xcosx=2sinxcosx-4sin3xcosx=2sinxcosx(1-2sin2x)=sin2xcos2x=sin4x,所以函数的最小正周期T=,故选C.

13.C　解析:由于sin+β·sin-β+sin2β=cosβ+sinβcosβ-sinβ+sin2β=cos2β-sin2β+sin2β=cos2β+sin2β=,因此cos2α+cosα=,即2cos2α-1+cosα=,解得cosα=.

又因为α∈(0,π),故α=,故选C.

14.AC　解析:依题意sinβ++sinβ=,sinβ-+sinβ-=,所以cosβ-+sinβ-+cosβ-=sinβ-+cosβ-=,因此sinβ-+(+2)cosβ-=+1,所以cosβ-=.代入sin2β-+cos2β-=1,得sin2β-+2=1,化简得(8+4)sin2β--(2+2)sinβ--(3+2)=0,两边除以+2,可得4sin2β-+(2-2)sinβ--=0,2sinβ-+12sinβ--=0,解得sinβ-=-或sinβ-=,故选AC.

15.　解析:(tan30°+tan70°)sin10°=sin10°

=.

16.解(1)f(x)=cos2x-cos2x-=cos2x-cos2x-=cos2x--cos2x+sin2x

=-sin2x+cos2x=-sin2x-,

故函数f(x)的最小正周期T==π.

(2)当x∈-时,2x-∈-,

所以sin2x-∈-1,,则-sin2x-∈-,故函数f(x)的值域是-.

17.B　解析:因为=4,所以▲sin40°+cos40°=2sin80°,则▲sin40°+cos40°=2cos10°,因此▲sin40°+cos40°=2cos(40°-30°),即▲sin40°+cos40°=2cos40°cos30°+2sin40°=sin30°,所以▲sin40°+cos40°=2×cos40°+2×sin40°,即▲sin40°+cos40°=sin40°+cos40°,所以▲=1,故选B.

18.A　解析:由题意可知,sin(2α+β)=sinβ,可化为sin[α+(α+β)]=sin[(α+β)-α],展开得sinαcos(α+β)+cosαsin(α+β)=cosαsin(α+β)-sinαcos(α+β),则cosαsin(α+β)+3sinαcos(α+β)=0,因为α,β∈(0,π),且cosα=-,所以sinα=,则-sin(α+β)+3×cos(α+β)=0,且α∈,π,所以sin(α+β)=cos(α+β).当cos(α+β)=0时,不满足题意,所以tan(α+β)=1.因为α∈,π,β∈(0,π),所以α+β∈,2π,则α+β=π,故选A.