沪科版初中数学九年级上册期末测试卷（较易）（含答案解析）

沪科版初中数学九年级上册期末测试卷

考试范围：全册；考试时间：120分钟；总分：120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 已知二次函数，当函数值随值的增大而增大时，的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列抛物线中，与抛物线具有相同对称轴的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 如图，在平面直角坐标系中，是反比例函数图象上第三象限上的点，连结并延长交该函数第一象限的图象于点，过点作轴交函数的图象于点，连结若的面积为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形的面积为，边在轴上，顶点、分别在反比例函数和的图象上，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，已知与都是等边三角形，点在边上不与点、重合，与相交于点，那么与相似的三角形是(    )

A.
B.
C.
D.

6. 如图，在平行四边形中，点在上，若：：，则与的周长比为(    )

A. ： B. ： C. ： D. ：

7. 下列判断中，不正确的是(    )

A. 三边对应成比例的两个三角形相似
B. 两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似
C. 两条直角边对应成比例的两个直角三角形相似
D. 有一个角是的两个等腰三角形相似

8. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，以某点为位似中心，作出与的位似比为的位似，则位似中心的坐标和的值分别为(    )

A. ，
B. ，
C. ，
D. ，

9. 福建的地理特点是“依山傍海”，九成陆地面积为山地丘陵地带，如图，某考察队要对福州一小山进行地质考察，为了测量最西面处与最东面处之间的距离，一架直升飞机从处出发，垂直上升米到达处，在处观察处的俯视角为，则，两地之间的距离为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

10. 如图给出了一种机器零件的示意图，其中米、米，则的长为(    )

A. 米
B. 米
C. 米
D. 米

11. 如图，要测量小河宽的距离，在河边取的垂线，在上取一点，使米时，量得，则小河宽(    )

A.  B.  C.  D.

12. 如图，厂房屋顶人字形等腰三角形钢架的跨度米，，则中柱为底边中点的长是(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 把抛物线向上平移个单位得到新抛物线，这条新抛物线的解析式是______．
14. 为反比例函数图象上的一点，它的横坐标与纵坐标之差为，则点的坐标为______．
15. 如图，四边形与四边形位似，位似中心为点，，，，则          ．

16. 如图，两艘轮船在港口补给完毕后分别沿着北偏东和北偏西的方向同时行驶，行驶速度分别为每小时海里和每小时海里，行驶两小时后分别到达和处，此时两艘轮船之间的距离是______海里．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 在平面直角坐标系中，已知抛物线：经过，两点，且与轴交于点，点是该抛物线的顶点．
    求抛物线的表达式；
    将平移后得到抛物线，点，在上点在点的上方，若以点，，，为顶点的四边
    形是正方形，求抛物线的解析式．
18. 密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积单位：变化时，气体的密度单位：随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示，当时，．
    求密度关于体积的函数解析式；
    若，求二氧化碳密度的变化范围．

19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
    求一次函数和反比例函数的解析式；
    若点在轴上，位于原点右侧，且，求的面积．

20. 如图所示，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点，，在格点网格线的交点上．
    将绕点逆时针旋转，得到，画出；
    以点为位似中心放大，得到，使与的位似比为：，请你在网格内画出．

21. 已知：如图，在中，是边上一点，是线段上一点，且，联结并延长，交边于点．
    求证：；
    如果是边的中点，是边延长线上一点，且，延长线段，交线段于点，联结、，求证：四边形是平行四边形．

22. 如图，在中，，，，求的长． 

23. 如图，把沿边平移到的位置，它们的重叠部分的面积为的面积的，若，求三角形移动的距离是多少？
     

24. 如图，小欢从公共汽车站出发，沿北偏东方向走米到达东湖公园处，参观后又从处沿正南方向行走一段距离，到达位于公共汽车东南方向的图书馆处．参考数据：，
    求小欢从东湖公园走到图书馆的途中与公共汽车站之间最短的距离；
    若小欢以米分的速度从图书馆沿回到公共汽车站，那么她在分钟内能否到达公共汽车站？

25. 如图，在中，，是边上的中线，过点作，垂足为点，若，．
    求的长；
    求的正切值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
时，随增大而增大，
故选：．
将二次函数解析式化为顶点式，由抛物线对称轴及开口方向求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
 

2.【答案】 

【解析】解：抛物线，
该抛物线的对称轴是直线，
A、的对称轴是直线，故该选项不符合题意；
B、的对称轴是直线，故该选项不符合题意；
C、的对称轴是直线，故该选项不符合题意；
D、的对称轴是直线，故该选项符合题意．
故选：．
根据题目中的抛物线，可以求得它的对称轴，然后再求出各个选项中的二次函数的对称轴，即可解答本题．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

3.【答案】 

【解析】解：连接，延长，交轴于点，
是反比例函数图象上第三象限上的点，连结并延长交该函数第一象限的图象于点，
、关于原点成中心对称，
，
的面积为，
，
轴，
轴，
，，
，
，
故选：．
连接，延长，交轴于点，根据反比例函数的中心对称性对称，即可得出，根据反比例函数系数的几何意义得到，解得．
本题考查了反比例函数的几何意义，反比例函数的对称性，明确是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：连接，如图，
四边形为平行四边形，
垂直轴，
，，
，
▱的面积．
，
，
故选：．
连接，如图，利用平行四边形的性质得垂直轴，则利用反比例函数的比例系数的几何意义得到和，所以，然后根据平行四边形的面积公式可得到▱的面积，即可求出的值．
本题考查了反比例函数比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．也考查了平行四边形的性质．
 

5.【答案】 

【解析】解：与都是等边三角形，
，
，
∽，
与相似的三角形是，
故选：．
根据等边三角形的性质和相似三角形的判定定理即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，．
∽，
：：，
：：：，
：：．
故选：．
根据已知可得到相似三角形，从而可得到其相似比，再根据相似三角形的周长比等于相似比就可得到答案．
本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，周长的比等于相似比是解答此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：选项是课本中定理，正确；
选项应是两边对应成比例，且其夹角相等的两个三角形相似，只说“有一个角相等”并不能说明相似，故B选项错误，
选项满足两边对应成比例且夹角相等，可以证明相似，正确；
选项在等腰三角形中，的角必为顶角，则其两底角为，可以证明相似，正确．
故选：．
根据相似三角形的判定即可得出答案．
本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
直接利用位似图形的性质分别得出位似中心和位似比即可解答．
【解答】
解：如图所示：

位似中心的坐标为：，
的值为：．
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：根据题意可得，
米，，
在中，，
解得，
，两地之间的距离为米．
故选：．
由题意可得米，，在中，，即可求得．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如下图，延长交过点的水平线于，

，米，
米，
米，
米，
米，
即的长度为米，
故选：．
延长交过点的水平线于，则，，根据求出即可．
本题主要考查解直角三角形的知识，熟练利用三角函数解直角三角形是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：在中，
，

．
故选：．
在中，利用直角三角形的边角间关系可得结论．
本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了解直角三角形的应用．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
根据等腰三角形的性质得到米，中，利用的正切进行计算即可得到的长度．
【解答】
解：是等腰三角形，是底边的中点，
所以，米，
在中，，
米．
故选C．  

13.【答案】 

【解析】解：将抛物线向上平移个单位得到的新抛物线的解析式为：．
故答案是：．
根据“上加下减”的法则求得新的抛物线解析式．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．
 

14.【答案】或 

【解析】解：设，
把代入中得，
解得或，
所以点坐标为或．
故答案为：或．
设，利用反比例函数图象上点的坐标特征得到，然后解方程求出，从而得到点坐标．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合函数的解析式是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】 四边形与四边形位似，其位似中心为点，

，，
，
，
，
．

16.【答案】 

【解析】解：由题意可得，海里，海里，
海里．
此时两艘轮船之间的距离是海里．
故答案为：．
由题意可得，海里，海里，根据勾股定理可得海里．
本题考查解直角三角形的应用方向角问题、勾股定理，熟练掌握方向角问题是解答本题的关键．
 

17.【答案】解：设抛物线的表达式是，
抛物线：经过，
，
解得，
，
即抛物线的表达式是；
当为正方形的对角线时，
则点的坐标为，点，
设，
，解得，
即抛物线的解析式是；
当为边时，分两种情况，
第一种情况，点、在的右上角时，
则点的坐标，点，
设，
，解得，
即抛物线的解析式是；
第二种情况，点、在的左下角时，
则点的坐标，点，
设，则，
解得，
即抛物线的解析式是． 

【解析】利用顶点式，可以求得该抛物线的解析式；
根据题意，画出相应的图形，然后利用分类讨论的方法，可以分别求得对应的抛物线的解析式．
本题是一道二次函数综合题，主要考查二次函数的性质、正方形的性质、待定系数法求二次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答．
 

18.【答案】解：设密度关于体积的函数解析式为．
当时，，
，
，
密度关于体积的函数解析式为．
，
当时，随的增大而减小，
当时，，
即二氧化碳密度的变化范围为． 

【解析】设密度关于体积的函数解析式为，利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出值，进而可得出密度关于体积的函数解析式；
由，利用反比例函数的性质可得出当时随的增大而减小，结合的取值范围，即可求出二氧化碳密度的变化范围．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质，解题的关键是：利用反比例函数图象上点的坐标特征，求出值；利用反比例函数的性质及反比例函数图象上点的坐标特征，找出的变化范围．
 

19.【答案】解：反比例函数图象与一次函数图象相交于点，．
，
解得，
反比例函数解析式为，
，
解得，
点的坐标为，
，
解得，
一次函数解析式为；
，
，
，
，
的面积． 

【解析】把点的坐标代入反比例函数解析式求出值，从而得到反比例函数解析式，再把点的坐标代入反比例函数解析式求出的值，然后利用待定系数法求函数解析式求出一次函数解析式；
利用勾股定理求得，即可求得的长度，然后利用三角形面积公式求得即可．
本题是反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用以及三角形面积，根据交点的坐标求出反比例函数解析式以及点的坐标是解题的关键．
 

20.【答案】解：如图，为所作；
如图，为所作．
 

【解析】利用网格特点和旋转的性质画出、的对应点、即可；
延长到使，延长到使，从而得到．
本题考查了作图位似变换：掌握画位似图形的一般步骤确定位似中心；分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形也考查了旋转变换．
 

21.【答案】证明：如图，过点作，交于，

，
∽，
，
，
，
，
∽，
，
；
证明：如图，

是边的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
∽，
，
，
∽，
，
，
四边形是平行四边形． 

【解析】通过证明∽，由相似三角形的性质可得，通过证明∽，可得结论；
通过证明∽，可得，可证，可证，可得结论．
本题考查了相似三角形判定和性质，平行四边形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：，
，
，，，
，
，
．
答：的长为． 

【解析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题；解题的关键是深入观察图形，准确找出图形中的对应线段，正确列出比例式．根据平行线分线段成比例定理，列出关于线段的比例式，求出即可解决问题．
 

23.【答案】 解：，
∽，
，
，
，
，
． 

【解析】本题考查相似三角形的应用，分析题意，根据平移的性质可得出，就可得出∽，根据相似三角形的性质就可得出相似比，再根据的长，就可得出答案．
 

24.【答案】解：过点作于点，

位于的北偏东方向，米，
，米，
答：小欢从东湖公园走到图书馆的途中与公共汽车站之间最短的距离是米；
中，
，米，
米，
，
小欢分钟内能到达公共汽车站． 

【解析】过点作于点，根据位于的北偏东方向和米可得的长度；
根据角的余弦和的长可得的长度，再结合小欢的速度可得答案．
本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题，将解直角三角形的相关知识与实际生活有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
 

25.【答案】解：设，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
过点作于点，
，
是的中点，
是的中位线，
，，
由可知：，
，，
，
． 

【解析】设，，所以，，由可求出，从而可求出答案．
过点作于点，由于是的中点，所以是的中位线，从而可求出，再求出即可求出的正切值．
本题考查解直角三角形，解题的关键是求出、的长度，本题属于中等题型．