沪科版九年级上册第21章 二次函数与反比例函数综合与测试单元测试课时练习

沪科版初中数学九年级上册第21章《二次函数与反比例函数》单元测试卷

考试范围：第21章；考试时间：120分钟；总分：120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 下列函数中，是二次函数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如果函数是二次函数，那么的值一定是(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

3. 已知，，是抛物线上的点，则，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，已知抛物线的对称轴是直线，直线轴，且交抛物线于点，，下列结论错误的是(    )

A.
B. 若实数，则
C.
D. 当时，

5. 如图，二次函数的图象过点，下列结论错误的是(    )

A.
B.
C. 是关于的方程的一个根
D. 点，在二次函数的图象上，当时，
 

6. 抛物线的函数表达式为，则下列结论中，正确的序号为(    )
   当时，取得最小值；若点，在其图象上，则；将其函数图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度所得抛物线的函数表达式为；函数图象与轴有两个交点，且两交点的距离为．

A.  B.  C.  D.

7. 如图，用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，它的邻边长为，矩形的面积为当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与，与满足的函数关系分别是(    )

A. 一次函数关系、二次函数关系 B. 反比例函数关系、二次函数关系
C. 一次函数关系、反比例函数关系 D. 反比例函数关系、一次函数关系

8. 如图，在中，，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动，如果，分别从，同时出发，当的面积最大时，运动时间为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在中，，点在轴的负半轴上，点在第二象限，反比例函数的图象经过上一点，与相交于点，若，的面积为，则的值是(    )

A. ．
B. ．
C.
D.

10. 如图，、是双曲线上的两点，过点作轴，交于点，垂足为点，若的面积为，为的中点，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

11. 关于二次函数，下列说法正确的是(    )

A. 图象与轴的交点坐标为
B. 图象的对称轴在轴的右侧
C. 当时，的值随值的增大而减小
D. 的最小值为

12. 已知二次函数，关于该函数在的取值范围内，下列说法正确的是(    )

A. 有最大值，有最小值 B. 有最大值，有最小值
C. 有最大值，有最小值 D. 有最大值，有最小值

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 如果函数是关于的二次函数，那么的值是______．
14. 已知二次函数图象与轴交于点，点在二次函数的图象上．且轴以为斜边向上作等腰直角三角形当等腰直角三角形的边与轴有两个公共点时的取值范围是______．
15. 如图，在四边形中，，、，点、分别在线段、上点与点、不重合，若，、，则关于的函数关系式为______．

16. 已知二次函数为常数，当自变量的值满足时，与其对应的函数值的最小值为，则的值为______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 如图，用长为米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场，已知墙长，设边的长为，矩形的面积为
    求与之间的函数关系式及自变量的取值范围；
    当时，求的值．

18. 某商场以每件元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量件与每件的销售价元满足一次函数关系．
    请写出商场卖这种商品每天的销售利润元与每件销售价元之间的函数关系式．
    商场每天销售这种商品的销售利润能否达到元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由．
19. 已知抛物线．
    若，抛物线与轴交于，两点，当线段的长度最短时，求该抛物线的解析式；
    若，当时，抛物线与轴有且只有一个交点，求的取值范围．
20. 如图，已知直线经过和两点，它与抛物线在第一象限内相交于点，且的面积为，求的值．

21. 有一个截面的边缘为抛物线的拱桥桥洞，桥洞壁离水面的最大高度是米，水面宽度为米．把截面图形放在如图所示的平面直角坐标系中．

求这条抛物线对应的函数表达式．

若水面下降米，则水面宽度增加了多少米？

22. 如图，抛物线过点，矩形的边在线段上点在点的左边，点，在抛物线上．设，当时，．
    求抛物线的函数表达式．
    当为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？
    保持时的矩形不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点，，且直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．

23. 已知，与成正比例函数关系，与成反比例函数关系，且时，；时，．

求与之间的函数表达式；

当时，求的值．

24. 某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．

请根据图中信息解答下列问题：

求这天的温度与时间的函数关系式；

解释线段的实际意义；

若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？

25. 年北京冬奥会吉祥物深受大家的喜欢．某特许零售店的冬奥会吉祥物销售量日益火爆．据统计，该店年月的“冰墩墩”销量为万件，年月的“冰墩墩”销量为万件．
    求该店“冰墩墩”销量月到月的月平均增长率；
    该零售店月将采用提高售价的方法增加利润，根据市场调研得出结论：如果将进价元的“冰墩墩”按每件元出售，每天可销售件，在此基础上售价每涨元，那么每天的销售量就会减少件，商店在确保盈利的情况下如何确定售价，才能使每天销售“冰墩墩”的利润最大？最大利润是多少元？
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查二次函数的定义掌握形如为常数的函数是二次函数是解题关键．
需要满足以下条件：化简后是关于自变量的整式；自变量的最高次数是；二次项系数不为．
据此逐一进行判断即可．
【解答】
解： 分母中含有未知数，不是二次函数，故A错误
B.，是一次函数，故B错误
C. 是二次函数，故C正确
D.分母中含有字母，不是二次函数，故D错误．  

2.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了二次函数的定义，得出关于的等式是解题关键利用二次函数的定义得出进而求出即可．
【解答】
解：函数是关于的二次函数，
，
解得：，，
，
，
．
故选A．  

3.【答案】 

【解析】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
，
，
故选：．
由抛物线解析式可得抛物线开口方向和对称轴，根据，，与对称轴的距离大小关系求解．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据函数图象可知，根据抛物线的对称轴公式可得，
，
，，
故A正确，不符合题意；
函数的最小值在处取到，
若实数，则，即若实数，则故B正确，不符合题意；
令，则，即抛物线与轴交于点，
当时，，．
当时，故D正确，不符合题意；
，
，没有条件可以证明故C错误，符合题意；
故选：．
根据函数图象可知，由此可判断出；根据抛物线的对称轴可得出，也可得出函数的最小值，在处取到，由此可判断；令，则，即抛物线与轴交于点，根据函数图象可直接判断；没有直接条件判断．
本题主要考查二次函数图象的性质，数形结合思想等知识，掌握二次函数图象的性质是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据图象知，当时，，
故B选项结论正确，不符合题意，
，
，
故A选项结论正确，不符合题意，
根据图象可知是关于的方程的一个根，
故C选项结论正确，不符合题意，
若点，在二次函数的图象上，
当时，，
故D选项结论不正确，符合题意，
故选：．
根据二次函数的图象和性质作出判断即可．
本题主要考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
抛物线对称轴为直线，抛物线开口向上，顶点坐标为，
时，取最小值，正确．
时，随增大而增大，
，正确．
将函数图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度所得抛物线的函数表达式为，错误．
令，
解得，，
，正确．
故选：．
由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标，从而可判断，由二次函数图象平移的规律可判断，令可得抛物线与轴交点横坐标，从而判断．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意得，

．

，
与满足一次函数关系，

，

与满足二次函数关系．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查二次函数的应用．

先用含的代数式表示出、，再根据三角形的面积公式计算表示出的面积，后

根据其二次函数的解析式求解即可．

【解答】

解：设运动时间，则、

根据题意得的面积为：

，

当时，的面积最大为

故选B

9.【答案】 

【解析】解：过点作于点，

，，
，
∽，
，
，
点和在反比例函数图象上，
和的面积为，
，
解得：．
故选：．
过点作于点，构造型相似，和的面积为，根据相似三角形的性质列出比例式解答即可．
本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，解题的关键是熟知：反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线，与两轴围成的矩形面积相等，并且等于．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，过点作轴，垂足为，
、是双曲线上的两点，过点作轴，
，
，
∽，
，
又是的中点，
，
，
，
，
又，
，
，
，
故选：．
根据反比例函数系数的几何意义以及相似三角形的性质可得，进而得出，求出三角形的面积，根据反比例函数系数的几何意义求出答案．
本题考查反比例函数系数的几何意义，相似三角形性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解决问题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【解答】
解：，
当时，，故选项A错误，
该函数的对称轴是直线，故选项B错误，
当时，随的增大而减小，故选项C错误，
当时，取得最小值，此时，故选项D正确．
故选D．  

12.【答案】 

【解析】解：，
在的取值范围内，当时，有最小值，
当时，有最大值为．
故选：．
把函数解析式整理成顶点式解析式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答．
本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式转化为顶点式形式是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得或；
又，
．
的值是时．
故答案为：．
根据二次函数的定义，列出方程与不等式求解即可．
本题考查二次函数的定义，关键是掌握二次函数的定义：一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
抛物线的对称轴为：，
令，则，
，
点在二次函数的图象上．且轴，
，
，
过作于，如图，

，，
，
等腰直角三角形的边与轴有两个公共点，
，
，
，
，
，
则，
故答案为：．
根据二次函数的解析式求出、点的坐标，过作于，由列出的不等式进行解答便可．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，等腰直角三角形的性质，不等式的应用，关键由二次函数确定、的坐标，由列出的不等式．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
∽，
，
、，、，
，
，
故答案为：．
由，可得∽，进而求解．
本题考查二次函数与图形的结合，解题关键是掌握相似三角形的判定及性质．
 

16.【答案】或 

【解析】解：由题意可知抛物线的对称轴为，开口方向向上，
当时，
此时时，可取得最小值，
，
；
当时，
此时，的最小值为，
，
，
；
当时，
此时时，的最小值为，
，
不符合题意，
故答案为：或．
由抛物线的解析式可知其对称轴为，开口向上，分三种情况讨论，即可求解．
本题考查了二次函数的最值，二次函数的性质，涉及分类讨论的思想．
 

17.【答案】解：设养鸡场宽为，则长为，
根据题意，
当时，

，

． 

【解析】设养鸡场宽为，则长为，由面积公式写出与的函数关系式即可；
把代入函数关系式解答即可．
本题主要考查一元二次方程的应用，关键是借助二次函数解决实际问题．
 

18.【答案】解：由题意得，每件商品的销售利润为元，那么件的销售利润为，
又，
，
即，
，
．
又，
，即．
．
所求关系式为．
由得，
所以可得售价定为元时获得的利润最大，最大销售利润是元．
，
商场每天销售这种商品的销售利润不能达到元． 

【解析】此题可以按等量关系“每天的销售利润销售价进价每天的销售量”列出函数关系式，并由售价大于进价，且销售量大于零求得自变量的取值范围．
根据所得的函数关系式，利用配方法求二次函数的最值即可得出答案．
本题考查了二次函数在实际生活中的应用，解答本题的关键是根据等量关系：“每天的销售利润销售价进价每天的销售量”列出函数关系式，另外要熟练掌握二次函数求最值的方法．
 

19.【答案】解：，
，
抛物线为，
设抛物线与轴的交点坐标为和，
，
，
当时，的长度最短，
，
该抛物线的解析式为：；
，
抛物线的解析式为：，
抛物线的对称轴为：，
当顶点坐标在轴上时，在时，抛物线与轴有且只有一个交点，
此时，，
解得；
当，即时，在时，抛物线与轴有且只有一个交点，
综上，或． 

【解析】用表示长度，再根据长度最短，求得的值，便可求得抛物线的解析式；
把的值代入求出对称轴，再分两种情况：顶点在轴上，顶点不在轴上，分别的方程或不等式进行解答便可．
本题主要考查了二次函数图象与坐标轴的交点问题，二次函数的性质、不等式的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
 

20.【答案】解：设直线的解析式为：，
直线经过和两点，
将点和点代入直线的解析式得：

解得：
直线的解析式为：，
设点的坐标为，
的面积为，
，
，
把代入得，
，
，
点的坐标为，
将点的坐标代入，
，
． 

【解析】此题考查一次函数与二次函数的交点问题，涉及待定系数法求一次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标的特征、三角形的面积等问题，根据一次函数与坐标轴的交点用待定系数法求出一次函数的解析式和用三角形的面积求出点的坐标是解题关键解答此题首先根据直线经过和两点，用待定系数法求出直线的解析式，然后设点的坐标为，根据的面积为求出点的纵坐标，再将纵坐标代入一次函数的解析式求出点的横坐标，最后将点的坐标代入二次函数的解析式即可求出的值．
 

21.【答案】解：设抛物线所对应的函数表达式为，
由题意，得点的坐标为，
，
解得：，
抛物线所对应的函数表达式为．
当时，．
，
水面宽度为米，
水面宽度将增加米． 

【解析】本题主要考查待定系数法求函数解析式和二次函数图象是哪个点的坐标特征．
设抛物线所对应的函数表达式为，将点的坐标代入求得的值即可；
求出时的值，即可得出水面的宽度，从而得出增加的水面宽度．
 

22.【答案】解：设抛物线解析式为，
当时，，
点的坐标为，
将点坐标代入解析式得，
解得：，
抛物线的函数表达式为；

由抛物线的对称性得，
，
当时，，
矩形的周长


，
，
当时，矩形的周长有最大值，最大值为；

如图，

当时，点、、、的坐标分别为、、、，
矩形对角线的交点的坐标为，
直线平分矩形的面积，
经过点，且与平行，
设直线的解析式为，
，
，
设直线的解析式为，
又，
，
，
，
当时，，
，，
所以抛物线向右平移的距离是个单位． 

【解析】由点的坐标设抛物线的交点式，再把点的坐标代入计算可得；
由抛物线的对称性得，据此知，再由时，根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可得；
由得出点、、、及对角线交点的坐标，由直线平分矩形的面积知直线必过点，求出的解析式，进而求得的解析式，即可解答．
本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及平移变换的性质等知识点．
 

23.【答案】解：根据与成正比例关系，与成反比例关系，
设，．

则．

把，；，分别代入上式，

得

解得
所以．

当时，

．

【解析】本题考查了待定系数法求函数解析式，根据正比例与反比例关系设出与之间的关系是解题的关键，设关系式时注意正比例与反比例关系的比例系数要区分，不能用同一个字母，这一点也是同学们经常犯的错误．
根据正比例关系与反比例关系设出比例式，然后把两组数据代入关系式，解方程组即可；
把的值代入所求函数关系式，计算即可得解．
 

24.【答案】解：设线段所在直线的解析式为，
线段过点，，
代入得
解得
解析式为：；
在线段上，当时，，
的坐标为，
线段所在直线的解析式为：；
设双曲线的解析式为：
，
，
双曲线解析式为：，
关于的函数解析式为：

恒温系统开启后，大棚内的温度达到设定的恒定温度并保持至；
把代入中，解得，，
，
答：恒温系统最多关闭小时，蔬菜才能避免受到伤害． 

【解析】本题为实际应用背景的函数综合题，考查求得一次函数、反比例函数和常函数关系式．解答时应注意临界点的应用．
应用待定系数法分段求函数解析式；
观察图象可得；
代入临界值即可．
 

25.【答案】解：设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为，
由题意可得，，
解得，舍去，
答：该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为；
设每件商品的涨价元，利润为元，
则每件商品的销售利润为元，每天的销售量为件，
依题意可得，
由，
，
，
，
当，利润最大元，
既当售价为元时，利润最大为元． 

【解析】设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为，由题意可列方程为，求解即可；
设每件商品的涨价元，利润为元，根据利润每件的利润销量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可．
本题考查二次函数和一元二次方程的应用，能根据已知条件列出函数解析式和方程是解答本题的关键．