2022年高中名校自主招生初升高衔接数学讲义6 几何证明 含答案

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第六讲  几何证明知识要点几何证明一般考查：（1）证明线段数量关系；（2）证明角数量关系；（3）证明线段位置关系.需要掌握，全等三角形判定，特殊四边形定义与性质，中位线性质等.辅助线方面：中线倍长，旋转思想，平行线与垂线等均有出现.例题精讲如图6-1，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，点E是BC的中点，过点E作交AD延长线于点H，交AB于点F，交AC的延长线于点G.求证：.如图6-3，把△AOB绕顶点O逆时针旋转90°，使顶点A变成A'，B变成B'.求证：△OAB'中AB'边上的中线与△OA'B中A'B边上的高共线.如图6-5，在△ABC中，D为AB的中点，分别延长CA、CB到点E、F，使，过点E、F分别作CA、CB的垂线，相交于点P.求证：.已知AD是△ABC的高（在形内）.给出下列四个条件：①；②；③；④.一定能得到的有______个.（A）1        （B）2（C）3        （D）4在△ABC中，已知，∠C=60°.分别以AB、BC、CA为边向形外作三个正三角形，即△ABC'、△BCA'、△CAB'.问S△ABC与S△ABC'、S△BCA'、S△CAB'之间存在怎样的关系式？请你作出判断并加以证明.设△ABC的三边长为，，.若，，则△ABC是什么特殊三角形？如图6-10，△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，，求证：.设a、b、c为锐角△ABC的三边长，ha、hb、hc.为对应边上的三条高.求证：已知O为△ABC内一点，过O引三条边的平行线DE∥BC，FG//CA，HI//AB，D、E、F、G、H、I为各边上的点（如图6-11），记S2为六边形DGHEFI的面积，S2为△ABC的面积.证明：..已知△ABC是不等边三角形，点O、I分别是△ABC的外心、内心，且.求证：.习题巩固如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，，，E为边AB上一点，，且.连结DE与对角线AC交于点H，连结BH.给出下列结论：①；②△CDE为等边三角形；③④其中，正确的结论是（  ）.（A）①②  （B）①②④   （C）③④  （D）①②③④如图，在锐角△ABC中，点D、E、F分别是三条高AD、BE、CF的垂足，连结DE、EF、FD，求证：如图，在正方形ABCD中，F、E分别是边BC、CD上的点，满足△CEF的周长等于正方形ABCD周长的一半，AE、AF分别与BD交于点M、N.求证：.如图，过圆外一点P作圆的两条切线PA、PB，A、B为切点，再过P作圆的一条割线分别与圆交于点C、D，过AB上任一点Q作PA的平行线分别与直线AC、AD交于点E、F.证明：.在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，BE与CD交于点O.则与的大小关系是________（填“相等”或“不相等”）.如图，已知四边形ABCD是O的内接四边形，对角线AC的中点I是△ABD的内心.求证：（1）OI是△IBD外接圆的切线；（2）AB+AD=2BD.如图，已知O1和O2交于P、Q两点，过PQ上任意一点M作直线与O1、O2分别交于点A和S、R和D，再过点A、D分别作PQ的平行线分别与PR、PS交于点B、C.证明：.自招链接请利用以下图证明勾股定理.在△ABC中，BF和CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，O是内心（角平分线的交点），满足，求证：△ABC是等腰三角形或者.参考答案如图6-2，过点C作CI∥AB，交FG于点I.因为CI∥AB，所以，因为E是BC的中点，所以.因为所以（A.S.A），所以因为AD平分∠BAC，，所以，所以.因为，，，所以，所以，所以，所以.因为，，，所以.如图6-4，取AB'中点C，连结OC并延长至点E，使，OE交A'B于点D，分别连结AE、B'E.因为点C是AB'的中点，，所以四边形OAEB'是平行四边形，所以OA∥B'E，.因为，，所以，.所以.在△OB'E与△BOA'中，所以，所以∠，所以.所以，即.所以，△OAB'中AB'边上的中线与△OA'B中A'B边上的高共线.如图6-6，分别取AP、BP的中点M、N，连结EM、DM、FN、DN.因为，，所以.因为点M、N分别是Rt△AEP、Rt△BFP斜边的中点，所以，.又因为，所以△≌△.所以，.而△AME、△BNF均为等腰三角形，所以答案：D.如图6-7，令，，，.则.分解得.（1）若，则.两式相加得.（2）若，同理，.（3）若，则，代入式①得（4）若，则，代入式①同理可得.综上，四个条件均可得到.结论：S△ABC= S△BCA'+S△CAB'.- S△ABC'.如图6-8，在AC上取，连结DB、DC'、DB'.易知.故.又，，则.此时，，.于是，C'D//AB'.注意到，因此，四边形AB'DC'为平行四边形.故S△C'DA=S△B'AD又易证，则 由   得如图6-9，设，△ABC的内切圆半径为r.则      ①      ②①÷②得  或或或.故△ABC是等腰三角形或直角三角形. 因为，所以DE//BC，所以△ADE∽△ABC.因为所以△CBD∽△ABC，所以△ADE∽△CBD∽△ABC.设,，.因为所以，又因为，，所以.设，则，则.要使0有实根，则0有实根，则，，即    作于点D，于点E，于点F.则，，，则，，，，，.所以，即.在直角△ACD、△BAE、△CBF中，，，，则.故结论成立.可以从△DGO、△OHE、△OIF的面积与△ABC的面积关系入手.设，，，，，.易知，所以，由此可得由柯西不等式知：从而   ，即如图6-12，延长AI交O于点D，交BC于点E，连结CI、CD，则，，，由，，得.故，从而，.由知，所以.在△ABC中，由角平分线性质定理得所以.故.习题巩固答案：B.易知，△ABC、△ADE均为等腰直角三角形.所以，，即AH平分∠EAD.从而，，结论①正确.因，，所以，.从而，.又，因此，△CDE是等边三角形，结论②正确.设△CDE的边长为2a，则，，，，，所以，，结论③不正确.又，，则，，结论④正确.AD、BE、CF分别是△ABC的三条高.容易证明一下相似关系：，，.所以有如下比例关系：.由，.可得到.所以，同理，同理所以.设正方形边长为1，，.则，.由题设有，即化简得.作于点G.由NB平分∠ABF得，，.则，，同理，.故.又，则.因为，所以.故.如图，连结BD、BC.则.则.故，即同理，      另一方面，由，，得，.因为，所以，.由上式及式①、②即得.答案：相等.设，，，，.由，得.由，得.由式①、②解得.因此，     故      如图.由内心性质知.故点C是△IBD的外心.因为点I是AC的中点，所以，，且.故.因此，OI是△IBD外接圆C的切线.（2）如图，过点I作于点E，连结QC与BD交于点F.由，知，.故.又，，则.因为点I是△ABD的内心，所以，.故.由相交弦定理知.则    .由AB//PQ//CD，得△ABR∽△MPR，则      ②同理，       .    ③由式①、②、③知，于是，RS∥BC，即AD∥BC.故四边形ABCD是平行四边形.因此，.自招链接略.请自行查阅课本第十九章阅读材料.仅给出的图形，等腰三角形的情况自行考虑.思路是沿直线AO翻折OE或OF，故在AB上取一点F'使，易证.双解出现在OE和OF'是重合还是形成等腰三角形.在等腰△EOF'中利用内角和得证.