2022年高中名校自主招生初升高衔接数学讲义8 几何计算 含答案

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第八讲  几何计算知识要点在自招试卷中，有不少的几何计算问题，一般需要用到全等，相似，勾股定理等课本知识，同时也会考查到面积法，弧长等平时较少操练的章节.本讲我们讲围绕几何计算展开学习.例题精讲如图8-1，，点P、Q分别是边OA、OB上的两点，且.将沿PQ折叠，点O落在平面内点C处.（1）①当时，         ；②当时，求OQ的长.（2）当折叠后重叠部分为等腰三角形时，求OQ的长.我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形.若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“内似线”.（1）等边三角形“内似线”的条数为         ；（2）如图8-6，中，，点D在AC上，且，求证：BD是的“内似线”；（3）如图8-7，在中，，，，点E、F分别在边AC、BC上，且EF是的“内似线”，求EF的长.将一个等腰三角形ABC划分成两个较小的等腰三角形，问这样的有几种形状？并将所有形状都列出来.如图8-11，中，，BC边上有100个不同的点，，，…，，记，求.已知的两条角平分线BD、CE交于点I，，.则的度数为         .如图8-15，在四边形ABCD中，已知是等边三角形，，，.求边CD的长.如图8-17，在四边形ABCD中，，，，设直线AD与BC的交点为点E，则的大小为         .如图8-19，三条直线l、m、n互相平行，且l、m间的距离为2，m、n间的距离为1，若正的三个顶点分别在l、m、n上，则正的边长是         .如图8-21，，则         .如图8-22，在中，，，四边形CDEF、四边形KLMN是的两个内接正方形.已知，.求的三边长.习题巩固沿一个卡纸立方体的边缘按照图1中所示的虚线切开，然后展开，平放在桌面上的图形是图2中的（    ）.如图，EFGH是正方形ABCD的内接四边形，、都是锐角，已知，，四边形EFGH的面积为5，求正方形ABCD的面积.如图，设P是ABCD内一点，过P分别作AB、BC、CD、DA的垂线，垂足分别为点E、F、G、H.已知，，，，，，且，则四边形的周长为多少？在中，，，延长BC到D使.求.已知是等边三角形，它的高是4.若点P到边AB、AC的距离分别是1、2.则点P到边BC的距离是多少？在中，，，分别以AB、AC为边向外部作正、，连结DE分别交AC、AB于点F、G.则的值为多少？在中，，，.则外接圆的半径是多少？设的三边分别为a、b、c，且.若，求的值.如图，的网格中有25个格点，作出以这25个格点中的三个点为顶点的所有三角形，其中直角三角形多少个？已知A、B是半径为2的上的两定点，，P是上一动点.当点P在上移动一周时，的垂心移动的路程为多少？（增加两个特殊点，使的垂心H移动的轨迹是封闭图形）.如图，已知，且.点D、E分别是AC、AB上的动点，BD与CE相交于点P，使.求的最大值.自招链接如图，在任意五边形ABCDE中，点P、Q、R、S分别是AB、CD、BC、DE的中点，点M、N分别是PQ、RS的中点，且.求MN.已知中，，于点D，若，.求的面积.参考答案（1）①当时，，由折叠的性质得：，，所以，所以，所以四边形OPCQ是平行四边形，所以四边形OPCQ是菱形，所以.故答案为：.②当时，分两种情况：（ⅰ）如图8-2所示，设，因为，所以是等腰直角三角形，所以，所以.由折叠的性质得：，，所以是等腰直角三角形，所以，所以，解得：，即；（ⅱ）如图8-3所示.同（ⅰ）得：；综上所述：当时，QQ的长为，或.（2）当折叠后重叠部分为等腰三角形时，符合条件的点Q共有5个；①点C在的内部时，四边形OPCQ是菱形，；②当点C在的一边上时，是等腰直角三角形，或；③当点C在的外部时，分两种情况：（ⅰ）如图8-4所示，，则，由折叠的性质得：.设，则，在中，由三角形内角和定理得：，解得：，所以，作于点N，设，因为，则，，.因为，所以，解得：，所以.（ⅱ）如图8-5所示，，作于点N，同①得：.综上所述：当折叠后重叠部分为等腰三角形时，OQ的长为或或，或或.（1）等边三角形“内似线”的条数为3条；理由如下：过等边三角形的内心分别作三边的平行线，如8-8所示：则，，，所以MN、EF、GH是等边三角形ABC的“内似线”.故答案为：3.（2）因为，，所以，，所以.又因为，所以，所以BD平分，即BD过的内心，所以BD是的“内似线”.（3）设D是的内心，连结CD，则CD平分，因为EF是的“内似线”，所以与相似.分两种情况：①当时，，因为，，，所以.作于点N，如图8-9所示.则，DN是的内切圆半径，所以.因为CD平分，所以.因为，所以，所以.因为，所以，所以，解得：.②当时，同理得：.综上所述，EF的长为.如图8-10所示.设等腰三角形ABC分成与.不妨假设；于是，等腰三角形ABD中，只能有.这时，而有三种情况.（1）若时，则，为等腰直角三角形.（2）若时，设，则，，，由于，则.若，则，； 若，则，.（3）若时，设，，，显然.由，得，.综上所述，总共有4组解；所求三角形的三个内角分别为（45°，45°，90°）、（36°，36°，108°）、，（36°，72°，72°）.仔细观察，我们发现的结构与斯德瓦尔特定理非常相似，只是缺BC.从而可知，，故，从而有.也可以仿效前面几个例题作垂线，也可求出.如图8-12，作于点D，则. 从而可知，.答案：40°或60°.如图8-13，在BC上截取，，连结、.当点与不重合时，易证，.则.故.又，则，.当点与重合时，如图8-14.同理，由，且，知.所以，.如图8-16，以CD为边向四边形ABCD外作等边，连结AE.由，，知，所以，所以.又，可知.所以，从而有，所以.如图8-18，过点B作，过点D作，BF、DF交于点F，连结AF.因为，，，所以四边形BCDF是菱形，所以.因为，所以.因为，所以.因为，所以.因为，所以.所以三角形ABF是等边三角形.所以，，所以.因为四边形BCDF是菱形，，所以，所以.因为，，所以.因为，所以，所以.如图8-20，过点A作于点D，在AD右侧作，并使，连结CE，交l于点F；过点C作于点G.因为，，所以.所以，即因为所以，所以.因为，所以，所以，所以.因为，，所以，所以.因为，所以.因为，，所以，.所以，所以在中，，，所以.在中，，，所以.所以.所以，即正三角形ABC的边长是.设，，，.则，，；所以                                    .设正方形CDEF的边长为x，正方形KLMN的边长为y，则，.设，，，则.因为，所以.因为，得.因为，得.因为，所以.则      .所以.所以，.所以a、b是二次方程的两根.因为，所以，.习题巩固答案：D.如图，在立方体的六个面中，只有ABCD和CDHG切开三条棱，保留一条棱连结，即只与一个面相连结，其他四个面切开两条棱，保留两条棱连结，即可与两个面相连结，连结顺序是.如图，分别过点E、F、G、H作对边的垂线，得矩形PQRT.设正方形ABCD的边长为x，，.由勾股定理，得，.又，，，，且，所以，得，解得，所以，即.如图，分别连结PA、PB、PC、PD.因为，，，，所以由勾股定理，得，，，，以上四式相加并整理，得，因为，，，，，，所以，，因为，所以，所以.答案：80°.如图，在边CD上取点E，使，连结AE.则.故.易知.所以，.如图1，设点P在的内部，AH是的高，P到三边的垂线分别为PD、PE、PF，并记的边长为a.由面积关系得，于是，，即.类似地，当点P不在的内部时，可知在图2中的位置.因到AB、AC的距离之和小于4，所以，不是P.记到BC的距离分别为.则，，.解得，，.故点P到边BC的距离可能是1、3、5、7.如图，过E作于点M，延长EM交AB于点N，连结DN.则M是AC的中点，且.所以，N是AB的中点.于是，. 又，得，，所以，四边形ADNE是平行四边形.因此，.令，则，，.在中，，.由得，则，即.所以，，故.如图，设O是外接圆的圆心，作直径AD，连结DB、DC.则.由，，则，.过点C作AD的垂线，垂足为点F.设，.由勾股定理得.代入得.                               ①在中，由勾股定理得，即.                              ②由式①、②得，即.解得（负值舍去）.因为，，所以.即.两边平方并整理得或.又，且，则.答案：596.（1）当直角三角形的两直角边均在网格线上时，每个顶点为直角顶点，该直角顶点处有个直角三角形.此时，共有个直角三角形.（2）当直角三角形的两直角边不在网格线上时.如图，其中，（A）表示与A的地位相同的点，（B）、（C）、（D）与之类似.以四角顶点为直角的直角三角形不存在；以点A为直角顶点的直角三角形有（个）；以点B为直角顶点的直角三角形有（个）；以点C为直角顶点的直角三角形为（个）；以点D为直角顶点的直角三角形有（个）；以点O为直角顶点的直角三角形有（个）.综上，所求三角形的个数为（个）.答案：.当点P在优弧AB上，且为锐角三角形时，.当为钝角三角形时，.当为直角三角形时，垂心为A或B.当点P在劣弧AB上时，.所以，H的轨迹为关于AB的对称圆（增加两个特殊点为A、B两点关于该圆的圆心的对称点）.故的垂心H移动的路程为.设，，则.因为，所以，，在中，由梅涅劳斯定理，得，则.同理，      .所以   .因为，所以，所以.因为，所以，.令，则，从而.因为，所以，即，当且仅当时，，则，所以当且仅当，即时，.自招链接如图，连结BE，并取其中点为O，再连结PO、SO、RO、SQ、RQ、OQ.在中，由三角中位线定理得.在四边形BCDE中，因R、Q、S、O分别为各边的中点，易知四边形RQSO为平行四边形，其对角线RS、QO互相平分.又N为RS的中点，则N也是OQ的中点.故.于是，.法一：如图1，将沿直线AB翻折得，将沿直线AC翻折得，延长EB、FC交于点G.因为，所以，，因为，根据平行线间的距离相等，易得.又，.设.则，，可列方程：.解得：（其中不合题意，舍去.）所以的面积为：.法二：将绕着点A逆时针旋转90°得，延长、DC交于点H，连结.因为，所以，，根据平行线间的距离相等，得，且.所以.设.则，，在中，由勾股定理得.解得（其中不合题意，舍去.）所以的面积为：.法三：正切和公式：.设，则，解方程得（其中不合题意，舍去.）所以的面积为：.