2022年高中名校自主招生初升高衔接数学讲义9 几何不等式 含答案

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第九讲  几何不等式知识要点在自招考试中，求几何最值的问题频频出现，比如求最短距离、求某个角度的取值范围、求面积的最大值等等.所有这些问题都可以归结为几何不等式有关几何不等式的性质和定理如下：1.三角形两边之和大干第三边，两边之差小于第三边.2.三角形的外角大于任一不相邻的内角.3.同一三角形中，大角对大边，大边对大角.4.两点之间线段最短.5.两边对应相等的三角形中，所夹的角越大，则它所对的边越大6.两边对应相等的三角形中，第三边越大，则它所对的角越大7.直角三角形的斜边大干任一直角边可以看到，几何不等式的基础大多源于三角形，所以关于三角形的不等式是占绝大多数的，而很多包括四边形、圆的问题都可以化为三角形中的不等关系，因此三角形中的各种不等式是我们讨论的一个重点.另外需要注意的是，很多几何不等式实际上是代数不等式，还有相当一部分几何不等武的证明过程用到了经典的代数不等式，其中最常用的就是均值不等式.例题精讲      如图9-1，矩形中，，若在、上各取一点、，使的值最小，求这个最小值.      已知正三角形的边长为1，点、、分别在、、上，，求的最大面积.      在锐角的边、、上各有一动点、、，求证：的周长达到最小当且仅当、、为的三条高.      已知点是四边形的边的中点，且，证明：.      如图9-7，设的外心为.在其边和上分别取点和，使得.证明：的周长不小于边之长.      如图9-9，在的边上取一点，连结，过点作交于点，过点作交于点.求证：      如图9-10所示，在中，、、的对边分别为、、，如果，求证：.      求证：在凸四边形，有.      证明Ptolemy定理（托勒密定理）：对于一般的四边形，有，当且仅当是圆内接四边形时等号成立.习题巩固  如图所示，设，为上一点，，为上一点，，为上任意一点，是上任意一点，求折线的长度的最小值.  已知平面内的任意四点，其中任意三点不共线，试问：是否一定能从这样的四个点中选出三点构成一个三角形，使得这个三角形至少有一个内角不大于？试证明你的结论.  如图，点、、分别在、、上，若分别记、、为、、，证明：，当且仅当、、共点时等号成立.  如图，在的边上依次有点、，边上依次有点、求证：.  如图，在中，、、的平分线分别交外接圆于点、、.证明：.  设四边形四边依次为、、、，则其面积不大于，其中.取到最大值时，仅当四边形内接于圆.  设点为边长为1的正三角形内一点，则、、中至少有一条其长度不超过.  已知点是四边形的边的中点，且，证明：.  如图，已知中，，为内一点.求证：.  如图所示，在四边形中，，，求证：（1）；（2）.自招链接  已知为内一点，点至三边、、的距离分别为、、，求当取最小值时点的位置.  中，为三角形的重心，过的直线交边于点，交边于点.若的面积为1，求的面积的最大值与最小值.参考答案      如图9-2，作点关于的对称点，连结，则点关于的对称点在上的点处.此时过点作于点，则，即的最小值为.设和交于点，连结，则的面积等于.因为，则.设，则，.所以，解得.所以，故的最小值是..      如图9-3，设，，，则，.，于是问题变为求的最小值，展开后约去，即求的最大值.由不等式知，当时，，此时的面积达到最大值.      如图9-4，设点关于、的对称点分别为点、，与交于点，与交于点，则.这里为的高，为的外接圆半径.又由对称性，除了外，、也分别必须垂直于、时方能达到.      显然，要证题设的不等式，应当把、、三条线段首尾连结成一条折线，然后再与线段比较要实现这一构想，折线之首端应与点重合，尾端应与点重合，这可由轴对称来实现.如图9-6，以为对称轴，作点关于的对称点，连接、，则，，即，由此.再以为对称轴，作点关于的对称点，连结、，则，，即，由此.而，所以.注意到，因此，而，所以是等边三角形，.由于两点之间以直线段为最短，所以，即.      如图9-8，注意到，则在内部可取点和，使得，.从而，，且.连结，则，故.因此，.      由知，且.又由得，所以.从而，即，所以.上式表明二次方程有实根，从而其判别式非负，即，故.另解：对于，可以配方得，即得结论.      注意到，所以等价于.如图9-11所示，延长至点，使，延长至点，使，则.过点作的平行线，过点作的平行线，两线交于点，连结，则四边形为平行四边形.则，.因为，，，故，则，，即，.从而，在中，.而，故，即.      如图9-12，取的中点，的中点，连结、、，令，，，则由余弦定理得，，而，，所以.同理可得，，于是有.因为，所以.说明：（1）当时，，且有四边形为平行四边形.因此我们有结论：平行四边形的四边长平方和等于对角线长的平方和.反过来，若四边形的四边长平方和等于对角线长的平方和，则此四边形为平行四边形(2)运用余弦（或正弦）定理得到几何线段的不等式，是其思路之一.      如图9-13，作线段，且.则有，可得，所以，所以.①又因为.所以，所以.即.得到.当且仅当在上时，此时，即、、、四点共圆.习题巩固  构造点关于的对称点，点关于的对称点，则.在中，，，，解得，即折线的长度的最小值为12.  一定可以从中选出三点符合题意.根据内角的大小，分凸四边形或凹四边形分类讨论即可.  设，，，则，，，所以.又有，故，于是命题得证.当且仅当时取等号，由塞瓦逆定理知，此时必有、、共点.  设.而，即，所以.  如图，连结、、、、、.因为，，，所以、、相交于一点，即为的内心，则，，.在中，因为，所以.同理可证，.将这三个式子相加并整理，得.①因为，，，所以.②式得.  如图，连结、，交于点，设，则由四边形的余弦定理，得.又，两式平方后相加，得，即.由托勒密不等式，有，故.由托勒密定理知，仅当内接于圆时，面积取最大值.  设为的重心，则.分别以、、为圆心，经过点作圆，将分为如图所示的6个区域.当点在区域Ⅰ时，显然有.同样地，在区域Ⅱ、Ⅲ时，分别有，.当点在区域Ⅳ时，，至少有一个成立.同样地，在区域Ⅴ时，，至少有一个成立，在区域Ⅵ时，，至少有一个成立.综上所述，、、中至少有一条不超过.  同例4.  将三角形逆时针旋转，通过两点之间线段最短得证.  （1）以为对称轴将翻折到的位置，则由可知在上，且，.将平移到的位置，则由可知在的延长线上，且，，因此是一个等腰梯形，所以，于是.（2）由（1）可得，即，而由及勾股定理可得，故.自招链接  显然有，而由柯西不等式.即有.上式右边即为最小值，等号当且仅当时取到，即点是的内心.  设，由为三角形重心可得..因为，可得，.则.根据的取值范围，可得，所以最小值为，最大值为.即的面积的最大值为，最小值为.