2022年高中名校自主招生初升高衔接数学讲义11 组合 含答案

第十一讲  组合

知识要点

组合问题非常考验同学们的思维能力，其中组合计数、概率等问题是自招考试的高频考点，抽屉原理、染色问题、极端原理等偶尔也会出现．

一、乘法原理

一般地，如果完成一件事需要n个步骤（缺一不可），第1步有m1种不同的方法，第2步有m2种不同的方法，第3步有m3种不同的方法……第n步有mn种不同的方法，则完成这件事一共有种不同的方法．

乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成，这几步是完成这件任务缺一不可，这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步，步步相关”．

二、加法原理

一般地，如果完成一件事有n类步骤（每一类中的任何一种方法都能独立完成这件事情），第1类有m1，种不同的方法，第2类有m2种不同的方法，第3类有m3种不同的方法……第n类有mn种不同的方法，则完成这件事一共有种不同的方法．

加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”．

三、排列

在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．

根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．

排列的基本问题是计算排列的总个数．

从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素的排列中取出m个元素的排列数，我们把它记做或.

.

四、组合

一般地，从n个不同元素中取出m个（m≤n）元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．

从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时．才是不同的组合．

从n个不同元素中取出m个元素（m≤n）的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数．记作或.

例题精讲

1. 回答下列问题：

（1）在1～5的自然数可以组成的五位数共有几个？

（2）有3种染料给三行144列的方格网染色，一共有多少种染色方法（只列式，不计算）？至少取多少列方格，才能保证有两列方格染色完全相同？

（3）从十位同学中任意选取2名同学，一共有多少种选法？

（4）爸爸、妈妈、客人和我四人围着圆桌喝茶．若只考虑每人左邻的情况，问共有多少种不同的入座方法？

（5）图11-l中有六个点，任意三个点都不在一条直线上．请问：以这些点为顶点，一共可以连出多少个三角形？

（6）某铁路线上，在起点和终点之间原有7个车站，现在新增加了3个车站，这样需要增加几种不同的车票？

2. 6人同时被邀请参加一项活动．必须有人去，去几个人自行决定，共有多少种不同的去法？
3. 小明的妈妈给了小明9块一样的糖，让他在接下来的4天正好吃完，每天至少吃一块，则小明有多少种不同的吃糖方案？
4. 4个人进行篮球训练，互相传球接球，要求每个人接球后马上传给别人，开始由甲发球，并作为第一次传球，第五次传球后，球又回到甲手中，问有多少种传球方法？
5. 游乐园的门票1元1张，每人限购1张．现在有10个小朋友排队购票，其中5个小朋友只有1元的钞票，另外5个小朋友只有2元的钞票，售票员没有准备零钱．问有多少种排队方法，使售票员总能找得开零钱？
6. 给定一个15×15的方格表，将其中有公共边的方格称为相邻的．将某些相邻方格的中心用线段相连，得到一条不白交的闭折线．现知该折线关于方格表的一条对角线对称．证明：折线的长度不大于200．
7. 物体A和B放在坐标平面上同时移动，且每次移动一个单位长度，A从（0，0）开始移动每次以相同的可能性向右或向上移动，物体B从（5，7）开始移动，每次以相同的可能性向左或向下移动，问两物体相遇的可能性是多少？
8. 摄影师给8名同学照相，有两人合影，也有三人合影，若任意两名同学都恰好合影一次，问最少要拍多少张照片？
9. 某同学在暑假里做数学竞赛题，每天至少做一题，每星期至多做12题，一共做了7个星期，求证：该同学在连续的若干天里恰好做了12道题．
10. 平面上有20个点，在他们之间已连了n线段，若任意三点之间都至少有一条线段．求n的最小值．
11. 20个红球、17个白球，重量都是正整数．红球与白球重量之和相等，且都小于340．证明：一定可以取出一些红球和一些白球，使得这些红球重量之和等于这些白球重量之和（不能全取）．

习题巩固

12. 某件工作需要钳工2人和电工2人共同完成．现有钳工3人、电工3人，另有1人钳工、电工都会．从7人中挑选4人完成这项工作，共有多少种方法？
13. 平面上10个两两相交的圆最多能将平面分割成多少个区域？
14. 在图中（单位：厘米）：

（1）一共有几个长方形？

（2）所有这些长方形面积的和是多少？

15. 有11名外语翻译人员，其中5名是英语翻译员，4名是日语翻译员，另外两名英语、日语都精通．从中找出8人，使他们组成两个翻译小组，其中4人翻译英文，另4人翻译日文，这两个小组能同时工作．问这样的分配名单共可以开出多少张？
16. 假如电子计时器所显示的十个数字是“0126093028”这样一串数，它表示的是1月26日9时30分28秒．在这串数里，“0”出现了3次，“2”出现了2次，“1”、“3”、“6”、“8”、“9”各出现1次，而“4”、“5”、“7”没有出现．如果在电子计时器所显示的这串数里．“0”、“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”、“7”、“8”、“9”这十个数字都只出现一次，称它所表示的时刻为“十全时”．那么2016年一共有几个这样的“十全时”？
17. 从1，2，…，2011中选取n个数，使得其中任意两数的差都不等于4或7．求n的最大值．
18. 7名学生参加演出，学校为他们安排了m次演出，每次由其中3名同学同时登台演出，请你设计一种方案，使得7名学生中，任意两名同台演出的次数一样多，且使m最小．
19. 求证：任意9个整数中，必有5个整数，它们的和被5整除．
20. 有红、黄、蓝卡片各6张，分别写有数字1、2、3、4、5、6．从中选取6张，要求三色俱全，且数字1、2、3、4、5、6各一张，则不同的选法有多少种？

自招链接

21. 在右图中，不包含☆的长方形有        个．

22. 第二季“中国好声音”杨坤组某一学员和那英组某一学员进行一对一PK，9位专业评委依次给两位学员投票，最终杨坤组学员拿到5票，那英组学员拿到4票．请问在依次投票的过程中，杨坤组学员得票数一直严格大于那英组学员得票数的概率是多少？

参考答案

1. （1）根据乘法原理，5×5×5×5×5=3125．共有3125个．

（2）根据乘法原理，．

抽屉原理，从最坏的情况考虑取到的第一个是列．

（3）．

（4）4个相异元素的环形排列问题，共有种不同的入座方法．

（5）因为任意三个点都不在一条直线上；

所以以这些点为顶点，一共可以连出个三角形．

（6）原来有车站7+2=9，现在有车站9+3=12．

考虑每两个站点之间的往返车票起始站和终点站互异，所以新增的车票种类为

种．

2. （法一）可以分为一人去、两人去、三人去、四人去、五人去、六人去六种情况，每种情况都是组合问题．

第一种情况有6种去法；

第二种情况有种去法；

第三种情况有种去法；

第四种情况有种去法；

第五种情况有种去法；

第六种情况有种去法．

根据加法原理，共有6+15+20+15+6+1=63种不同的去法．

（法二）每个人都有去或不去两种可能，因此共有26种可能，但必须有人去，即所有人都不去的情况必须排除，因此有种．

3. 插板法：9块一样的糖有8个间隔，要分成4份，需要3个问隔，所以有种方案．
4. 设第n次传球后，球又回到甲手中的传球方法有an种．可以想象前次传球，如果每一次传球都任选其他三人中的一人进行传球，即每次传球都有3种可能，由乘法原理，共有（种）传球方法．这些传球方法并不是都符合要求的，它们可以分为两类，一类是第次恰好传到甲手中，这有种传法，它们不符合要求，因为这样第n次无法再把球传给甲；另一类是第次传球，球不在甲手中，第n次持球人再将球传给甲，有an种传法．根据加法原理，有．

由于甲是发球者，一次传球后球又回到甲手中的传球方法是不存在的，所以．

利用递推关系可以得到：，，，．

这说明经过5次传球后，球仍回到甲手中的传球方法有60种．

本题也可以列表求解．

由于第n次传球后，球不在甲手中的传球方法，第n+1次传球后球就可能回到甲手中，所以只需求出第四次传球后，球不在甲手中的传法共有多少种．

从表中可以看出经过五次传球后，球仍回到甲手中的传球方法共有60种．

5. 与类似题目找对应关系．

要保证售票员总能找得开零钱，必须保证每一位拿2元钱的小朋友前面的若干小朋友中，拿1元的要比拿2元的人数多，先将拿1元钱的小朋友看成是相同的，将拿2元钱的小朋友看成是相同的，可以利用斜直角三角模型．在图11-2中，每条小横线段代表1元钱的小朋友，每条小竖线段代表2元钱的小朋友，因为从A点沿格线走到B点，每次只能向右或向上走，无论到途中哪一点，只要不超过斜线，那么经过的小横线段都不少于小竖线段，所以本题相当于求右图中从A到B有多少种不同走法．使用标数法，可求出从A到B有42种走法．

但是由于10个小朋友互不相同，必须将他们排队，可以分成两步，第一步排拿2元的小朋友，5个人共有5！=120种排法；第二步排拿到1元的小朋友，也有120种排法，所以共有5！×5！=14400种排队方法．

这样，使售票员能找得开零钱的排队方法共有42×14400=604800种．

6. 因为闭折线不自交，可知它恰好经过对角线方格上的两个中心点．（因为闭所以有2个，因为不自交所以只能为2个．）那么可以得到这条闭折现一定不经过其他的13个对角线方格的中心点．将15×15的方格表黑白二染色，对角线染黑色，则黑色小方格一定比白色小方格多一个．又因为折线上的中心点所在的小方格是黑白交替出现的，所以闭折曲线上的黑点和白点个数是相等的．如果闭折线不经过13个黑点，那么他必然不经过12个白点．所以闭折线经过的中心点的个数最多不超过；也就是说，折线的长度不大于200．
7. 因为从A到B的距离为12，所以要移动6次，物体A和B才能相遇．

在6次移动中，不同的移动方式有种．

其中A和B能相遇的移动方式有

．

故A和B相遇的可能性为．

8. 设3人合影的有x张，两人合影的有y张，则

．

因为每两人都恰好合影一张，所以每人至多可拍3张合影．故等则x≤8，所以

．

将8人编号为1，2，3，4，5，6，7，8；

8张三人合影为：（1，2，4），（2，3，5），（3，4，6），（4，5，7），（5，6，8），（6，7，9），（7，8，2），（8，1，3）；

4张二人合影为：（1，5），（2，6），（3，7），（4，8）；

显然这12张照片满足条件，所以最少要拍12张．

9. 设前n天做了an；那么

，

．

上面这98个数不同的取值最多96种．所以其中必有两数相等．

不妨设，则．

这表明从第（i+1）天开始，到第j天这连续若干天里恰好做了12道题．

10. 设A点连出的线段数最少，且为k条（0≤k≤19）；将20个点分为两组，一组为A点和所有与A相连的k个点，共（k+1）个点；另外一组为余下的点，为是个点；对于第一组的（k+1）个点，因为A点连出的最少为k，所以他们连出的最少为；对于第二组的是个点，他们都不和A点相连，那么如果选取A点和他们其中的两个点，那么这三点之间至少有一条直线，于是第二组的是个点必须两两相连，共有条线．两者相加最少为．所以．

整理得：当且仅当k=9时取“=”．

下面构造一种方法证明90是可以的：20个点分为2组，每组10个点．同组的两两相连，不同组的不连．共连满足题意；

综上：n的最小值为90．

11. 对20个红球、17个白球的重量做排序，，记，由已知条件知．

考虑共340个元素，由抽屉原理，它们模339必有两个是同余的，不妨设

，

那么．

又因为，，所以，也就是得到了

，

命题得证．

习题巩固

12. 分两类情况讨论：

（1）都会的这1人被挑选中，则有：

①如果这人做钳工的话，则再按乘法原理，先选一名钳工有3种方法，再选2名电工也有3种方法，所以有33=9种方法．

②同样，这人做电工，也有9种方法．

（2）都会的这一人没有被挑选，则从3名钳工中选2人，有3种方法，从3名电工中选2人，也有3种方法，一共有33=9种方法．

所以，根据加法原理，一共有9+9+9=27种方法．

13. 先考虑最简单的情形，为了叙述方便，设平面上k个圆最多能将平面分割成ak个部分．

从图1中可以看出，，，，，…

可以发现ak满足下列关系式：．

实际上，当平面上的个圆把平面分成个区域时，如果再在平面上出现第k个圆，为了保证划分平面的区域尽可能多，新添的第k个圆不能通过平面上前个圆之间的交点．这样，第k个圆与前面个圆共产生个交点，如图2：

这个交点把第k个圆分成了段圆弧，而这段圆弧中的每一段都将所在的区域一分为二，所以也就是整个平面的区域数增加了个部分．所以，．

那么，

故10个圆最多能将平面分成92部分．

14. （1）一共有（个）长方形；

（2）所求的和是

（平方厘米）．

15. 针对两名英语、日语都精通人员（以下称多面手）的参与情况分成三类：

（1）多面手不参加，则需从5名英语翻译员中选出4人，有种选择，需从4名日语翻译员中选出4人，有1种选择．由乘法原理，有种选择．

（2）多面手中有一人参加，有2种选择，而选出的这个人又有参加英文或日文翻译两种可能：

①如果参加英文翻译，则需从5名英语翻译员中再选出3人，有选择，需从4名日语翻译员中选出4人，有1种选择，由乘法原理，有种选择；

②如果参加日文翻译，则需从5名英语翻译员中选出4人，有种选择，需从4名日语翻译员中再选出3名，有种选择，由乘法原理，有种选择．

根据加法原理，多面手中有一人参加，有种选择．

（3）多面手中两人均参加，有一种选择，但此时又分三种情况：

①两人都译英文，②两人都译日文，③两人各译一个语种．

情况①中，还需从5名英语翻译员中选出2人，有种选择，需从4名日语翻译员中选4人，有1种选择．由乘法原理，有种选择．

情况②中，需从5名英语翻译员中选出4人，有种选择，还需从4名日语翻译员中选出2人，有种选择．

根据乘法原理，共有种选择．

情况③中，两人各译一个语种，有两种安排即两种选择，剩下的需从5名英语翻译员中选出3人，有种选择，需从4名日语翻译员中选出3名，有种选择，由乘法原理，有种选择．

根据加法原理，多面手中两人均参加，一共有种选择．

综上所述，由加法原理，这样的分配名单共可以开出张．

16. （1）容易验证在1、2、10、11、12月内没有“十全时”

（2）3月里只有形式032   1   □   □   符合条件，其中2个方格中可以填4或5，4条横线上可以填6或7或8或9，所以3月里有个“十全时”．

同理，4、5月里各有48个“十全时”．

（3）6月里有2种形式：①061   23□   □   ，②062   1   □   □   ．

①061   23□   □   中，2个方格中可以填4或5，3条横线上可以填7或8或9，

②062   1   □   □   中，2个方格中可以填3或4或5，4条横线上可以填7或8或9或3、4、5中余下的某一个．

所以6月里有个“十全时”．

同理，7、8、9月里各有156个“十全时”．

综上所述，2016年一共有个这样的“十全时”．

17. 将1，2，3，…，11；排成一圈，发现从中至多只能选取5个数保证菘中任意两数的差都不等于4或7；，所以我们尽可能选取1到9之间的数，以便使多一个完整的周期．经尝试选取数为：1，3，4，6，9；检验，，，，发现相邻周期间也不存在不满足题意的两数．所以当时，，，，，这915个数满足条件且为最多．
18. 设任意两名同台演出n次，；当时，m最小为7，将7人编号为1，2，…，7，7场演出如下：（1，2，4），（2，3，5），（3，4，6），（4，5，7），（5，6，1），（6，7，2），（7，1，3）．
19. 提示：通过余数进行讨论．
20. 数字1、2、3、4、5、6各一张的选法有36种，其中三色不全的选法有．

故满足条件的选法有种．

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21. 根据乘法原理，所有长方形总数为（个），包含☆的长方形有（个），所以不包含☆的长方形有（个）．
22. 我们把所有的比分，画到直角坐标系里面．形成下图：

每个点可以向右或者向上走，即标数法．

所以一共14种可能性，而，所以，所求概率为．