2023年高考数学一轮复习高考解答题专项五第2课时圆锥曲线中的定点或定值问题含解析北师大版文

第2课时　圆锥曲线中的定点(或定值)问题

1.(2020山东泰安三模,21)已知椭圆=1(a>b>0)的右顶点为A,上顶点为B,O为坐标原点,点O到直线AB的距离为,△OAB的面积为1.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)直线l与椭圆交于C,D两点,若直线l∥AB,设直线AC,BD的斜率分别为k1,k2,证明:k1·k2为定值.

解:(1)直线AB的方程为=1,即bx+ay-ab=0,则.

因为三角形OAB的面积为1,所以ab=1,即ab=2,解得a=2,b=1,

所以椭圆的标准方程为+y2=1.

(2)直线AB的斜率为-,设直线l的方程为y=-x+t,C(x1,y1),D(x2,y2),

把方程y=-x+t与+y2=1联立,消去x,整理得2y2-2ty+t2-1=0,Δ=(-2t)2-4×2×(t2-1)=8-4t2>0,

即t2<2,此时有y1+y2=t,y1y2=,

所以k1k2=,

所以x1x2-2x2=4(t-y1)(t-y2)-4(t-y2)=4[t2-t(y1+y2)+y1y2-t+y2]=4[(y1+y2)2-(y1+y2)(y1+y2)+y1y2-(y1+y2)+y2]=4(y1y2-y1),所以k1·k2=为定值.

2.(2021江苏盐城滨海中学一模,21)在平面直角坐标系中,已知圆心为点Q的动圆恒过点F(1,0),且与直线x=-1相切.设动圆的圆心Q的轨迹为曲线Γ.

(1)求曲线Γ的方程;

(2)过点F的两条直线l1,l2与曲线Γ相交于A,B,C,D四点,且M,N分别为AB,CD的中点.设l1与l2的斜率依次为k1,k2,若k1+k2=-1,求证:直线MN恒过定点.

(1)解设Q(x,y),依题意可得|x+1|=,化简得y2=4x.

(2)证明设l1,l2的方程为y=k1(x-1),y=k2(x-1).

联立x2-(2+4)x+=0,所以x1+x2=,则M,

同理N,由k1+k2=-1,所以kMN==-k1k2=-k1(-1-k1)=k1(1+k1),

所以直线MN的方程为y-=k1(1+k1)x-,化简整理得y+2=k1(1+k1)(x-1),所以直线MN恒过定点(1,-2).

3.(2021北京平谷一模,19)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,并且经过点P(0,).

(1)求椭圆C的方程;

(2)设过点P的直线与x轴交于N点,与椭圆的另一个交点为B,点B关于x轴的对称点为B',直线PB'交x轴于M,求证:|OM|·|ON|为定值.

(1)解由已知=1,a2=b2+c2,解得b2=3,a2=4,

所以椭圆C:=1.

(2)证明证法1　由已知直线PB的斜率存在,以下给出证明:

由题意,设直线PB的方程为y=kx+(k≠0),P(0,),B(x1,y1),则B'(x1,-y1).

由得(3+4k2)x2+8kx=0,x1=-,y1=-,

所以B-,-,即B-,B'-,

直线PB'的方程为y-x-,

令y=0,得x=,

所以M,0,

令y=0,由y=kx+得x=-,所以N-,0,

所以|OM|·|ON|=·-=4.

证法2　设B(x0,y0),B'(x0,-y0),则=1,则直线PB的方程为y-(x-0),

令y=0,x=,所以N,0.

同理M,0,

所以|OM|·|ON|=·=,

因为=1,所以3+4=12,所以|OM|·|ON|===4.

4.(2019全国Ⅰ,文21)已知点A,B关于坐标原点O对称,|AB|=4,☉M过点A,B且与直线x+2=0相切.

(1)若A在直线x+y=0上,求☉M的半径;

(2)是否存在定点P,使得当A运动时,|MA|-|MP|为定值?并说明理由.

解:(1)因为☉M过点A,B,所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线x+y=0上,且A,B关于坐标原点O对称,所以M在直线y=x上,故可设M(a,a).

因为☉M与直线x+2=0相切,所以☉M的半径为r=|a+2|.

由已知得|AO|=2,又,故可得2a2+4=(a+2)2,解得a=0或a=4.故☉M的半径r=2或r=6.

(2)存在定点P(1,0),使得|MA|-|MP|为定值.

理由如下:

设M(x,y),由已知得☉M的半径为r=|x+2|,|AO|=2.

由于,故可得x2+y2+4=(x+2)2,化简得M的轨迹方程为y2=4x.

因为曲线C:y2=4x是以点P(1,0)为焦点,以直线x=-1为准线的抛物线,所以|MP|=x+1.

因为|MA|-|MP|=r-|MP|=x+2-(x+1)=1,所以存在满足条件的定点P.

5.(2021安徽池州4月模拟,文20)已知平面直角坐标系内动点P到点M(-1,0)的距离比它到直线x=2的距离少1.记点P的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程;

(2)已知A,B两点在曲线C上,满足=-4,直线AB是否经过定点?若经过定点,求M(-1,0)到直线AB距离的最大值;否则,请说明理由.

解:(1)由题意知,点P到点M(-1,0)的距离与它到直线x=1的距离相等,

故点P的轨迹是以M(-1,0)为焦点,以x=1为准线的抛物线,则p=2,

所以抛物线的方程为y2=-4x.

(2)由于A,B两点在曲线C上,则直线AB不平行于x轴,

设AB:x=my+n,A(x1,y1),B(x2,y2).

由消去x,整理,得y2+4my+4n=0,Δ=16m2-16n>0,

即m2-n>0,y1+y2=-4m,y1y2=4n.

所以x1x2=--=n2,

而=x1x2+y1y2=n2+4n,所以n2+4n=-4,得n=-2.

因此直线AB:x=my-2,故直线AB经过定点N(-2,0),

点M(-1,0)到直线AB距离的最大值为|MN|=1.

6.(2021山西太原二模,文21)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右顶点分别是点A,B,直线l:x=与椭圆C相交于D,E两个不同的点,直线DA与直线DB的斜率之积为-,△ABD的面积为.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)若点P是直线l:x=的一个动点(不在x轴上),直线AP与椭圆C的另一个交点为Q,过P作BQ的垂线,垂足为M,在x轴上是否存在定点N,使得|MN|为定值,若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.

解:(1)设D,y0,由题意得

解得a2=4,b2=1,∴椭圆C的方程为+y2=1.

(2)假设存在这样的点N,设直线PM与x轴相交于点T(x0,0),由题意得TP⊥BQ,由(1)得B(2,0),设P,t,Q(x1,y1),由题意可设直线AP的方程为x=my-2(m≠0),

由得(m2+4)y2-4my=0,Δ>0显然成立,

∴y1=或y1=0(舍去),x1=,

∵=mt-2,∴t=,

∵TP⊥BQ,∴=-x0(x1-2)+ty1=0,

∴x0==0,

∴直线PM过定点T(0,0).

∴存在定点N(1,0),使得|MN|=1.