2023年高考数学一轮复习高考解答题专项四立体几何中的综合问题含解析北师大版文

这是一份2023年高考数学一轮复习高考解答题专项四立体几何中的综合问题含解析北师大版文，共10页。
高考解答题专项四　立体几何中的综合问题1.(2021安徽十校联盟摸底考试)已知多面体ABCDEF如图所示,其中四边形ABCD为菱形,AF∥平面CDE,且A,D,E,F四点共面.(1)求证:平面ABF∥平面CDE;(2)若∠ABC=90°,且AD=5,DE=6,AF=2,EF=,求证:AD⊥CE.证明(1)∵四边形ABCD是菱形,∴AB∥CD.∵AB⊈平面CDE,CD⫋平面CDE,∴AB∥平面CDE.又AF∥平面CDE,AF∩AB=A,∴平面ABF∥平面CDE.(2)∵AF∥平面CDE,AF⫋平面ADEF,平面ADEF∩平面CDE=DE,∴AF∥DE.在线段ED上取一点G,使得EG=4,则DG=2=AF,又DG∥AF,∴四边形ADGF是平行四边形,∴FG=AD=5,FG∥AD.∵EF=,∴EF2=EG2+FG2,∴EG⊥FG,∴AD⊥ED.∵∠ABC=90°,四边形ABCD是菱形,∴AD⊥DC.又DC∩DE=D,DC,DE⫋平面CDE,∴AD⊥平面CDE.∵CE⫋平面CDE,∴AD⊥CE.2.(2021浙江杭州模拟)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC=BC=PA,PB⊥平面PAC,E,F分别为AC,PB的中点.(1)求证:AC⊥EF;(2)求PB与平面ABC所成角的正弦值.(1)证明连接PE,BE,∵AB=AC=BC,∴AC⊥BE.∵PB⊥平面PAC,∴PB⊥PA,PB⊥PC,在Rt△ABP和Rt△CBP中,AB=BC,PB=PB,∴Rt△ABP≌Rt△CBP,∴PA=PC,∴AC⊥PE.∵PE∩BE=E,PE,BE均在平面PEB中,∴AC⊥平面PEB,∵EF⫋平面PEB,∴AC⊥EF.(2)解由(1)知AC⊥平面PEB,又AC⫋平面ABC,∴平面PEB⊥平面ABC,平面PEB∩平面ABC=BE.过点P作PD⊥BE,垂足为点D,∴PD⊥平面ABC,∴∠PBE就是PB与平面ABC所成的角,不妨设PA=1,在等腰三角形PAC中,PA=PC=1,AC=,则AE=,在Rt△PAE中,由勾股定理计算得PE=,等边三角形ABC中,BE=,在Rt△BPE中,sin∠PBE=,即PB与平面ABC所成角的正弦值为.3.(2021河北唐山模拟)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ACC1A1⊥平面ABC,∠ACB=90°,AC=BC=CC1=2.(1)证明:A1C⊥AB1;(2)若A1B1与平面AB1C1所成角的正弦值为,求四面体ACB1A1的体积.(1)证明∵平面ACC1A1⊥平面ABC,平面ACC1A1∩平面ABC=AC,BC⫋平面ABC,∠ACB=90°,∴BC⊥平面ACC1A1.又A1C⫋平面ACC1A1,∴BC⊥A1C.∵BC∥B1C1,∴B1C1⊥A1C.∵AC=CC1=2,∴四边形ACC1A1是菱形,∴AC1⊥A1C.又B1C1∩AC1=C1,B1C1和AC1均在平面AB1C1中,∴A1C⊥平面AB1C1.又AB1⫋平面AB1C1,∴A1C⊥AB1.(2)解设AC1∩A1C=D,连接B1D.由(1)可知A1C⊥平面AB1C1,∴B1D为A1B1在平面AB1C1上的射影,则∠A1B1D即为A1B1与平面AB1C1所成的角.∵A1B1=2,sin∠A1B1D=,∴A1D=1,∴A1C=A1C1=CC1=2,×22=,∴×B1C1=×2=.4.(2021贵州凯里模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面四边形ABCD是菱形,∠DAB=30°,PD⊥平面ABCD,AD=2,点E为AB上一点,且=m,点F为PD中点.(1)若m=,证明:直线AF∥平面PEC;(2)是否存在一个常数m,使得平面PED⊥平面PAB?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.(1)证明取PC的中点M,连接FM,EM,如图所示.因为F,M分别为PD,PC的中点,所以FM∥CD,FM=CD.因为,所以E为AB的中点,所以AE∥CD,AE=CD.所以FM∥AE,FM=AE.所以四边形AEMF为平行四边形,所以AF∥EM.因为AF⊈平面PEC,EM⫋平面PEC,所以直线AF∥平面PEC.(2)解存在一个常数m=,使得平面PED⊥平面PAB,理由如下:要使平面PED⊥平面PAB,只需AB⊥DE.因为AB=AD=2,∠DAB=30°,所以AE=ADcos30°=.又因为PD⊥平面ABCD,AB⫋平面ABCD,所以PD⊥AB.因为PD∩DE=D,PD,DE均在平面PED中,所以AB⊥平面PED.因为AB⫋平面PAB,所以平面PED⊥平面PAB,所以m=.5.(2021宁夏中卫三模)如图,四边形BCC1B1是某半圆柱的轴截面(过上下底面圆心连线的截面),线段AA1是该半圆柱的一条母线,点D为线段AA1的中点.(1)证明:AB⊥A1C;(2)若AB=AC=1,且点B1到平面BC1D的距离为1,求线段BB1的长.(1)证明由题意可知AA1⊥平面ABC,AB⫋平面ABC,∴AA1⊥AB.∵∠BAC所对的弦BC为半圆的直径,∴∠BAC=,∴AB⊥AC.∵AA1和AC是平面AA1C1C内两条相交直线,∴AB⊥平面AA1C1C.∵A1C⫋平面AA1C1C,∴AB⊥A1C.(2)解设BB1=a,∵AB=AC=1,且∠BAC=,∴BC=.又CC1=a,∴BC1=.在等腰直角三角形ABC中,取BC的中点E,连接AE,则AE⊥BC,取BC1的中点为P,连接DP,PE,∵PE∥CC1,PE=CC1,AD∥CC1,AD=CC1,∴AD∥PE,AD=PE,∴四边形ADPE是平行四边形.∵PE∥CC1,CC1⊥平面ABC,∴PE⊥平面ABC.∵AE⫋平面ABC,∴PE⊥AE,∴四边形ADPE是矩形.∵AB=AC,∴AE⊥BC,∴AE⊥平面BCC1B1,则PD⊥平面BCC1B1.又PD=AE=,∴·a·.∵点B1到平面BC1D的距离是1,∴·1=.∵,即,∴a=,即BB1=.6.(2021河北正定中学高三月考)如图,在四棱锥A-BCDE中,四边形BCDE为菱形,AB=AD=3,BD=2,AE=AC,点G是棱AB上靠近点B的三等分点,点F是AC的中点.(1)证明:DF∥平面CEG;(2)点H为线段BD上一点,设=t,若AH⊥平面CEG,试确定t的值.(1)证明取AG的中点I,记BD∩CE=O,连接FI,DI,GO,在△ACG中,F,I分别是AC,AG的中点,所以FI∥CG.因为GB=GI,所以同理可得OG∥DI.又因为FI∩DI=I,CG∩GO=G,所以平面GCO∥平面IFD.又DF⫋平面IFD,所以DF∥平面CEG.(2)解因为底面BCDE是菱形,所以OC⊥OD.因为AE=AC,BC=BE,AB=AB,所以△ABC≌△ABE,则易得GC=GE,又因为O是EC的中点,所以OC⊥OG.因为OG∩OD=O,OG,OD均在平面ABD中,所以OC⊥平面ABD,又AG⫋平面ABD,所以OC⊥AG,即OC⊥AB.因为AB=AD=3,BD=2,所以cos∠ABD=,则OG===,则OG2+BG2=OB2,所以BG⊥OG,即AB⊥OG.又因为OC∩OG=O,OC,OG均在平面CEG中,所以AB⊥平面CEG.若AH⊥平面CEG,则H与B重合.故t=0.7.(2021宁夏银川模拟)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,E为CD的中点,把△ADE沿AE翻折,翻折后点D的对应点是点H,使得平面AHE⊥平面ABCE.(1)求证:AH⊥BE;(2)在CH上确定一点F,使AH∥平面BEF;(3)求四棱锥F-ABCE的体积.(1)证明∵平面AHE⊥平面ABCE,平面AHE∩平面ABCE=AE,又由已知可得AE=BE=,AB=2,∴BE⊥AE.又BE⫋平面ABCE,∴BE⊥平面AHE.∵AH⫋平面AHE,∴BE⊥AH,即AH⊥BE.(2)解连接AC交BE于点G,则,在线段CH上取CH的三等分点F(靠近C),连接FG,则,可得AH∥FG,而AH⊈平面BEF,FG⫋平面BEF,则AH∥平面BEF.(3)解取AE中点O,连接HO,则HO⊥AE,又平面AHE⊥平面ABCE,且平面AHE∩平面ABCE=AE,∴HO⊥平面ABCE.在Rt△AHE中,可得HO=.∵F为CH的三等分点F(靠近C),∴F到平面ABCE的距离为.可得四棱锥F-ABCE的体积为×(1+2)×1×.8.(2021广西钦州模拟)如图,已知等腰梯形ABCD满足AD∥BC,2AD=BC=2,∠DCB=,沿对角线BD将△ABD折起,翻折后,点A的对应点是点H,使得平面HBD⊥平面BCD.(1)若点E是棱HD上的一个动点,证明:BE⊥CD;(2)若点P,N分别是棱CD,BC的中点,K是棱BD上的一个动点,试判断三棱锥K-HNP的体积是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,试说明理由.(1)证明如图,在等腰梯形中,过A,D分别作底边的垂线,垂足分别为M,N,在Rt△DNC中,CN=,因为∠DCB=,所以∠NDC=,所以CD=1.在△ABD中,AB=AD=1,∠BAD=,由余弦定理可知,BD=.在△BDC中,BD=,BC=2,CD=1,满足BD2+CD2=BC2,所以BD⊥CD.因为平面HBD⊥平面BCD,且平面HBD∩平面BCD=BD,CD⫋平面BCD,所以CD⊥平面HBD.又因为BE⫋平面HBD,所以CD⊥BE.(2)解三棱锥K-HNP的体积是定值.如图,因为CN=BN,CP=DP,所以NP∥BD.所以S△KPN=S△DPN=.取BD的中点F,连接HF,因为HB=HD,所以HF⊥BD.因为平面HBD⊥平面BCD,且平面BCD∩平面HBD=BD,HF⫋平面HBD,所以HF⊥平面BCD.又在△HBD中,HB=HD=1,∠BHD=,所以HF=,所以V三棱锥K-HNP=V三棱锥H-DNP=S△DNP·HF=为定值.