09 【人教版】八年级下期中数学试卷（含答案）

这是一份09 【人教版】八年级下期中数学试卷（含答案），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第二学期八年级数学期中测试试卷
一、选择题(本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.计算的结果为（ ）
A. B. C. D.
2.下列图案中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3.由下列长度组成各组线段中，不能组成直角三角形的是（ ）
A. B. C. D.
4.下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 下列命题中，真命题是（ ）
A. 对角线相等四边形是矩形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形
6.如图，点，点，则的长度为（ ）

A. B. C. D.
7.如图，平行四边形的对角线相交于点，则下列判断错误的是（ ）

A. B.
C. 和面积相等 D. 和的面积相等
8.若为直角三角形的三边，则下列判断错误的是（ ）
A. 能组成直角三角形 B. 能组成直角三角形
C. 能组成直角三角形 D. 能组成直角三角形
9.如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形的形状，并使得其面积变为原矩形面积的一半，则平行四边形的内角的大小为（ ）

A. 100° B. 120° C. 135° D. 150°
10.如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，连接．有下列结论：①；②是直角三角形；③．其中，正确结论的个数为（ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题：（本大题共6小题）
11.化简的结果为_________________
12.边长为的正方形的对角线的长度为______________．
13.若平行四边形中两个内角度数比为1：2，则其中较小的内角为____________．
14.如图，每个小正方形的边长都为1，则的周长为_________

15.如图，有一四边形空地ABCD，AB⊥AD，AB＝3，AD＝4，BC＝12，CD＝13，则四边形ABCD的面积为_______．

16.如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点在的斜边上．若，，则的长为_________

三、解答题：（本大题共7小题，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）
17.计算：（1）
（2）
18.已知x=2﹣，求代数式（7+4）x2+（2+）x+的值．
19.已知：四边形，．求证：四边形是矩形．

20.如图，菱形花坛的一边长为，，沿着该菱形的对角线修建两条小路和．
（1）求和的长；
（2）求菱形花坛的面积．

21.如图，在中，，于，是斜边的中点．
（1）若，，求的长；
（2）若，求的度数．

22.如图，已知四边形中，分别为上的点(不与端点重合)．
（1）若分别为的中点．求证：四边形是平行四边形；
（2）在（1）条件下，根据题意填空：若四边形的对角线和满足 时，四边形是矩形；若四边形的对角线和满足 时，四边形是菱形；若四边形的对角线和满足 时，四边形是正方形．
（3）判断对错：
①若已知的四边形是任意矩形，则存在无数个四边形是菱形；（ ）
②若已知的四边形是任意矩形，则至少存在一个四边形是正方形．（ ）

23.如图，将一个正方形纸片放置在平面直角坐标系中，点，．动点在边上，点在边上，沿折叠该纸片，使点的对应点始终落在边上(点不与，重合)，点落在点处，与交于点．
（1）求点的坐标；
（2）当点落在的中点时，求点的坐标；
（3）当点在边上移动时，设，求点的坐标(用表示)．

解析卷
一、选择题(本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.计算的结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次根式的乘法运算，即可得到答案．
【详解】解：；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法运算，解题的关键是掌握运算法则进行解题．
2.下列图案中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据轴对称图形的定义判断即可．
【详解】A.不是轴对称图形,不满足题意;
B.是轴对称图形,满足题意;
C.不是轴对称图形,不满足题意;
D.不是轴对称图形,不满足题意;
故选B．
【点睛】本题考查识别轴对称图形,关键在于熟记定义．
3.由下列长度组成的各组线段中，不能组成直角三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本题利用勾股定理的逆定理便可很快判断所给定的三角形是否为直角三角形，如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，最长边所对的角为直角．
【详解】解：A选项：∵，∴这三条线段可组成直角三角形，
B选项：∵，∴这三条线段可组成直角三角形，
C选项：∵，∴这三条线段不可组成直角三角形，
D选项：∵，∴这三条线段可组成直角三角形，
故选：C．
【点睛】本题主要考察了勾股定理的逆定理，判断三边能否构成直角三角形，如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．
4.下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据合并同类二次根式法则、二次根式化简判断即可．
【详解】A．和不是同类二次根式，不能合并，故此选项错误；
B．2和不能合并，故此选项错误；
C．，故此选项正确；
D．，故此选项错误，
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的加减法、二次根式的化简，熟练掌握二次根式的加减法法则是解答的关键．
5. 下列命题中，真命题是（ ）
A. 对角线相等的四边形是矩形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形
【答案】C
【解析】
试题分析：A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误．
故选C．
6.如图，点，点，则的长度为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用两点间的距离公式求出AB的长即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：B．
【点睛】此题考查了两点间的距离公式，熟练掌握两点间的距离公式是解本题的关键．
7.如图，平行四边形的对角线相交于点，则下列判断错误的是（ ）

A. B.
C. 和的面积相等 D. 和的面积相等
【答案】A
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质，可以分别证明，；根据可以判断和的面积相等；在和中，AB为两个三角形的公共底，根据平行线的性质可以判断两个三角形的高相等，故可判断和的面积相等；根据平行四边形的性质无法判断邻边相等，故可做出选择．
【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，AB=DC，AD∥BC，∠ABC=∠CDA，
在和中，

，
故B正确；
同理根据平行四边形对边平行且相等，对角线互相平分，可证,
又∵，故根据全等三角形的性质可以判断和的面积相等．
故C正确；
在和中，AB为两个三角形的公共底，根据平行线间的距离处处相等，可知两个三角形的高相等，所以和的面积相等．
故D正确；
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴只能得到对边平行且相等，无法论证AB=AD，无法得出邻边相等的结论，
∴无法证明，
故A错误．
故选择A．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形面积的求解方法及平行线的性质，掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定方法和性质、求解三角形面积的方法及平行线的性质是解答本题的关键．
8.若为直角三角形的三边，则下列判断错误的是（ ）
A. 能组成直角三角形 B. 能组成直角三角形
C. 能组成直角三角形 D. 能组成直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】
本题是运用勾股定理的逆定理，判断所给定的三角形是否为直角三角形，如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．
【详解】解：假设原三角形中a、b为直角边，c为斜边，则满足勾股定理，
选项A：∵，∴该三条线段能组成直角三角形，
选项B：∵，∴该三条线段能组成直角三角形，
选项C：∵，∴该三条线段能组成直角三角形，
选项D：∵，∴该三条线段不能组成直角三角形，
故选：D．
【点睛】本题可以有两种解题思路，第一种是用勾股定理的逆定理，运用以上两个定理均可判断三角形是否可构成直角三角形，第二种思路是采用相似三角形的原理，三条边互成比例的两个三角形相似，也可解出该题答案．
9.如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形的形状，并使得其面积变为原矩形面积的一半，则平行四边形的内角的大小为（ ）

A. 100° B. 120° C. 135° D. 150°
【答案】D
【解析】
【分析】
作AE⊥BC于E，根据平行四边形的面积=矩形面积的一半，得出AE=AB，再由三角函数即可求出∠ABC的度数，即可得到答案．
【详解】解：作AE⊥BC于E，如图所示：

则∠AEB=90°，
根据题意得：平行四边形的面积=BC•AE=BC•AB，
∴AE=AB，
∴sinB=，
∴∠ABC=30°，
∴∠BCD=150°．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、矩形的性质、面积的计算以及三角函数；熟练掌握平行四边形和矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
10.如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，连接．有下列结论：①；②是直角三角形；③．其中，正确结论的个数为（ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】
设正三角形的边长为a，分别求出BC、AC和AB的长，即可判断出① 、②正确，③错误．
【详解】解：过A作AF⊥DM于E，过B作BF⊥CN交CN延长线于F，如图，

设正三角形的边长为a，则DE=，
∵AD=a，
∴，
∴BE=BM+ME=，
在Rt△ABE中，，
同理可得，NF=，BF=，
Rt△BCF中，
又AC=2a，
∵
∴
∴△ABC是直角三角形；
∵AC≠BC，
∴∠CAB≠∠ABC=45°；
所以，正确的结论是①②；错误的是③，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了正三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握它们的性质是解答此题的关键．
二、填空题：（本大题共6小题）
11.化简的结果为_________________
【答案】
【解析】
【分析】
根据二次根式的性质即可求出答案．
【详解】．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的化简计算，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
12.边长为的正方形的对角线的长度为______________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据正方形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
【详解】解：设正方形的对角线长为x，
由题意得，，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，熟记利用对角线求面积的方法是解题的关键．
13.若平行四边形中两个内角的度数比为1：2，则其中较小的内角为____________．
【答案】60°
【解析】
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，
∵∠B：∠C=1：2，
∴∠B=×180°=60°
故答案为：60°．
【点睛】本题考查平行四边形的性质；平行线的性质．
14.如图，每个小正方形的边长都为1，则的周长为_________

【答案】
【解析】
【分析】
根据勾股定理求出AB、BC、AC的长，再求出周长即可；
【详解】解：根据题意，由勾股定理，得
，，
∴的周长为：；
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，解题的关键是利用勾股定理正确求出各边的长度．
15.如图，有一四边形空地ABCD，AB⊥AD，AB＝3，AD＝4，BC＝12，CD＝13，则四边形ABCD的面积为_______．

【答案】36
【解析】
【分析】
先根据勾股定理求出BD，进而判断出△BCD是直角三角形，最后用面积的和即可求出四边形ABCD的面积．
【详解】如图，连接BD，

在Rt△ABD中，AB=3，DA=4，
根据勾股定理得，BD=5，
在△BCD中，BC=12，CD=13，BD=5，
∴BC2+BD2=122+52=132=CD2，
∴△BCD为直角三角形，
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD
=AB∙AD+BC∙BD
=×3×4+×12×5
=36
故答案为：36．
【点睛】此题主要考查了勾股定理及逆定理，三角形的面积公式，解本题的关键是判断出△BCD是直角三角形．
16.如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点在的斜边上．若，，则的长为_________

【答案】
【解析】
【分析】
由题意可知，AC＝BC，DC＝EC，∠DCE＝∠ACB＝90°，∠D＝∠E＝45°，求出∠ACE＝∠BCD可证△ACE≌△BCD，可得AE＝BD＝，∠ADB＝90°，由勾股定理求出AB即可得到AC的长．
【详解】解：如图所示，连接BD，

∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，DC＝EC，∠DCE＝∠ACB＝90°，∠D＝∠E＝45°，
且∠ACE＝∠BCD＝90°-∠ACD，
在ACE和BCD中，

∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD＝，∠E＝∠BDC＝45°，
∴∠ADB＝∠ADC+∠BDC＝45°+45°＝90°，
∴AB＝，
∵，
∴BC＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
三、解答题：（本大题共7小题，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）
17.计算：（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【解析】
分析】
（1）去括号，同时把根式化成最简二次根式，再合并即可．
（2）根据乘法和除法运算法则计算即可．
【详解】解：（1）

；
（2）

．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算的应用，熟悉相关性质是解题的关键．
18.已知x=2﹣，求代数式（7+4）x2+（2+）x+的值．
【答案】2+
【解析】
试题分析：先求出x2，然后代入代数式，根据乘法公式和二次根式的性质，进行计算即可.
试题解析：x2=（2﹣）2=7﹣4，
则原式=（7+4）（7﹣4）+（2+）（2﹣）+
=49﹣48+1+
=2+．
19.已知：四边形，．求证：四边形是矩形．

【答案】见解析
【解析】
【分析】
直接利用三个角是直角的四边形是矩形进行证明即可．
【详解】证：在四边形中， ，
，
，
∴四边形是矩形．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定，正确把握矩形的判定方法是解题关键．
20.如图，菱形花坛的一边长为，，沿着该菱形的对角线修建两条小路和．
（1）求和的长；
（2）求菱形花坛的面积．

【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据菱形对角线互相垂直平分的性质，在中解直角三角形即可；
（2）在（1）的基础上，利用菱形面积等于对角线乘积一半则问题可解．
【详解】解：(I)∵．花坛是菱形，
，，，
，
在中， ，


．
（2）
答：长， 长， 菱形花坛面积 ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，解答关键是根据题意找到直角三角形，再利用解直角三角形的知识解题．
21.如图，在中，，于，是斜边的中点．
（1）若，，求的长；
（2）若，求的度数．

【答案】（1）；（2）45°
【解析】
【分析】
(1)利用勾股定理求出AB，再利用斜边上中线等于斜边一半，求出CM即可；
(2)根据已知条件，求出，在利用直角三角形锐角互余求出，再由等边对等角，则问题可解．
【详解】解：(1)在中，，

是中点，


（2） ，，
，
，
，
，



．
【点睛】本题考查了勾股定理、直角三角形斜边上中线等于斜边一半、以及三角形内角和的知识，解答关键是根据题意利用三角形的外角性质求解．
22.如图，已知四边形中，分别为上的点(不与端点重合)．
（1）若分别为的中点．求证：四边形是平行四边形；
（2）在（1）的条件下，根据题意填空：若四边形的对角线和满足 时，四边形是矩形；若四边形的对角线和满足 时，四边形是菱形；若四边形的对角线和满足 时，四边形是正方形．
（3）判断对错：
①若已知的四边形是任意矩形，则存在无数个四边形是菱形；（ ）
②若已知的四边形是任意矩形，则至少存在一个四边形是正方形．（ ）

【答案】（1）见解析；（2）AC⊥BD；AC＝BD；AC⊥BD且AC＝BD；（3）①对，②错
【解析】
【分析】
（1）连接、AC，如图，根据三角形的中位线定理可得，，进一步即可证得结论；
（2）易得EF∥AC，，故和只要满足AC⊥BD，即可判定四边形EFGH是矩形；由于，，故和只要满足AC＝BD，即可判定四边形EFGH是菱形；由前面的结论以及由正方形既是矩形又是菱形即可得出和满足的条件；
（3）①如图，连接矩形ABCD的对角线AC，BD交于O，过点O直线EG和FH，分别交AB，BC，CD，AD于E，F，G，H，易证四边形EFGH是平行四边形，故只要EG⊥HF，则四边形EFGH即为菱形，于是可判断①；若四边形EFGH是正方形，根据矩形的性质和正方形的性质可得△AEH≌△DHG，进而可推出AB＝AD，于是四边形ABCD是正方形，从而可判断②．
【详解】解：（1）证明：连接、AC，如图，
分别为的中点，
∴在△中，，，
在△中，，，
，，
∴四边形是平行四边形；

（2）当四边形的对角线和满足AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形；
证明：∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF∥AC，，
∵，AC⊥BD，
∴EH⊥EF，
∴平行四边形EFGH是矩形；
当四边形的对角线和满足AC＝BD时，四边形EFGH是菱形；
证明：∵，，AC＝BD，
∴EF＝EH，
∴平行四边形EFGH是菱形；
∵当四边形的对角线和满足AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形；
当四边形的对角线和满足AC＝BD时，四边形EFGH是菱形；
∴当四边形ABCD的对角线AC、BD满足AC⊥BD且AC＝BD时，四边形EFGH是正方形．
故答案为：AC⊥BD；AC＝BD；AC⊥BD且AC＝BD；
（3）①如图，四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于O，
过点O直线EG和FH，分别交AB，BC，CD，AD于E，F，G，H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AO=OC，
∴∠DAO=∠BCO，∠AHO=∠CFO，
∴△AHO≌△CFO，
∴OH=OF，
同理可得：OE=OG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴当EG⊥HF时，存在无数个四边形EFGH是菱形；
故①对；

②若四边形EFGH是正方形，则EH＝HG，
∵∠A=∠D=90°，∠EHG=90°，
∴∠AEH+∠AHE=90°，∠DHG+∠AHE=90°，
∴∠AEH=∠DHG，
∴△AEH≌△DHG，
∴AE＝DH，
同理可得：BE=AH，
∴AB＝AD，
∴矩形ABCD是正方形，
∴当四边形ABCD为任意矩形时，不存在四边形EFGH是正方形；
故②错．
【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了特殊四边形的判定和性质以及三角形的中位线定理等知识，属于常考题型，熟练掌握三角形的中位线定理和中点四边形的知识是解题的关键．
23.如图，将一个正方形纸片放置在平面直角坐标系中，点，．动点在边上，点在边上，沿折叠该纸片，使点的对应点始终落在边上(点不与，重合)，点落在点处，与交于点．
（1）求点的坐标；
（2）当点落在的中点时，求点的坐标；
（3）当点在边上移动时，设，求点的坐标(用表示)．

【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）因为C点为正方形的端点，且正方形的边长及坐标轴中的位置已知，所以可以很快确定出C点的坐标，
（2）运用图形的翻折，设OE=x可以将边长AE、AM、EM用x表示出来，再运用勾股定理，即可求出x的值，E点的坐标便可知，
（3）将OE的长设为a，AM的长设为t，将边长AE、AM、EM用a、x表示出来，再运用勾股定理，便可求出a与t的关系式，则E点坐标便可求得．
【详解】解：（1）证明：∵正方形，，，
∴，且每个内角都是90°，即，，
∴点的坐标为．
（2）∵M为AC中点，
∴，
设，则，，
在中，，即，求得，
∴．
（3）设点E的坐标为，
由题意可知：，，，
在中，，即，
整理得，
∴点E的坐标为．
【点睛】本题主要考察了写出直角坐标系中点坐标、折叠问题与勾股定理的结合、正方形中的动点问题，做题的关键在于通过折叠的图形其边长一一对应相等，所以可以将未知的边长用已知量来表示，之后再运用计算公式进行求解，便可得出答案．