福建省龙岩市上杭县2021-2022学年七年级下学期期末教学质量检查数学试题(word版含答案)

这是一份福建省龙岩市上杭县2021-2022学年七年级下学期期末教学质量检查数学试题(word版含答案)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
龙岩市上杭县2021-2022学年七年级下学期期末教学质量检查
数学试题
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（4分）下列选项的汽车标志图案中，可以看作由图案中的一个基本图形平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（4分）下列四个图形中，∠1＝∠2一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（4分）点（2，﹣1）所在象限为（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（4分）下列各式正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（4分）下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（　　）
A．对“神舟十四号”载人飞船零件质量情况的调查
B．了解全国各地学生带手机进课堂的情况
C．对《中国诗词大会》节目收视率的调查
D．了解一批袋装食品是否含有防腐剂
6．（4分）如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是（　　）

A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等
D．两直线平行，内错角相等
7．（4分）在平面直角坐标系中，将点A（m，n）先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到点A′，若点A′位于第二象限，则m、n的取值范围分别是（　　）
A．m＜2，n＞3 B．m＜2，n＞﹣3 C．m＜﹣2，n＜﹣3 D．m＜﹣2，n＞﹣3
8．（4分）平面直角坐标系中，点A（﹣3，2），B（3，4），C（x，y），若AC∥x轴，则线段BC的最小值及此时点C的坐标分别为（　　）
A．6，（﹣3，4） B．2，（3，2） C．2，（3，0） D．1，（4，2）
9．（4分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前．其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
10．（4分）如图，点A、B分别在直线MN、ST上，点C在MN与ST之间，点E在线段BC上，已知∠MAC+∠ACB+∠SBC＝360°．下列结论：
①MN∥ST；
②∠ACB＝∠CAN+∠CBT；
③若∠ACB＝60°，AD∥CB，且∠DAE＝2∠CBT，则∠CAE＝2∠CAN；
④若∠ACB＝（n为整数且n≥2），∠MAE＝n∠CBT，则∠CAE：∠CAN＝n﹣1．
其中结论正确的有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分.）
11．（4分）请写出一个大于0小于1的无理数 　 　．
12．（4分）计算：+|﹣3|＝　 　．
13．（4分）命题“对顶角相等”的题设是 　 　，结论是 　 　．
14．（4分）如图，将长方形ABCD沿AC折叠，使点B落在点B′处，B′C交AD于点E．若∠2＝50°，则∠1的度数为 　 　．

15．（4分）若+|3x﹣2y﹣2|＝0，则x+y的平方根等于 　 　．
16．（4分）已知关于x、y的方程组，其中﹣3≤t≤1，给出下列结论：
①是方程组的解；
②t＝﹣2时，x、y的值互为相反数；
③若x≤1，则1≤y≤4；
④若S＝3x﹣y+2t，则S的最大值为11．
其中正确的有 　 　.（填写序号）
三、解答题（本题共9个小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（8分）解方程组．
18．（8分）解不等式组：并把解集在给定的数轴上表示出来．

19．（8分）如图，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，三角形ABC三个顶点与方格纸中小正方形的顶点重合，请在方格纸中分别画出符合要求的图形，具体要求如下：
（1）在图①中平移三角形ABC，点A移动到点P，画出平移后的三角形PMN；
（2）在图②中将三角形ABC三个顶点的横、纵坐标都减去2，画出得到的三角形A1B1C1；
（3）在图③中建立适当的平面直角坐标系，且A点的坐标为（0，2），C点的坐标为（1，5）．

20．（8分）完成下面的证明过程：
已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠B＝∠3，求证：∠AED＝∠C．
证明：∵∠1+∠2＝180°（已知），
∴　 　∥　 　（ 　 　），
∴∠B＝∠　 　（ 　 　），
∵∠B＝∠3（已知），
∴∠3＝∠　 　（等量代换），
∴DE∥BC（ 　 　），
∴∠AED＝∠C（ 　 　）．

21．（8分）某校组织全校3000名学生进行了“新冠”防疫知识竞赛．为了解成绩的分布情况，随机抽取了部分学生的成绩（得分取整数，满分为100分），并绘制了如图所示的频数分布表和频数分布直方图．
抽取部分学生成绩的频率分布表
成绩分组
频数
频率
50.5～60.5
20
0.05
60.5～70.5
a
0.15
70.5～80.5
76
b
80.5～90.5
104
0.26
90.5～100.5
140
c
合计
d
1
根据所给信息，回答下列问题：
（1）根据频数分布表填空：a＝　 　，b+c＝　 　，d＝　 　；
（2）补全频数分布直方图；
（3）学校将对成绩在90.5～100.5分之间的学生进行奖励，估算出全校获奖学生的人数．

22．（10分）如图，已知点E在直线DC上，射线EF平分∠AED，过E点作EB⊥EF，G为射线EC上一点，连接BG，且∠EBG+∠BEG＝90°．
（1）求证：∠DEF＝∠EBG；
（2）若∠EBG＝∠A，试判断AB与EF的位置关系，并说明理由．

23．（10分）为庆祝中国共产党成立100周年，某校举行了党史知识竞赛，并计划购买A，B两种奖品奖励获奖学生，若买2件A奖品和1件B奖品用了90元，买3件A奖品和2件B奖品用了160元．
（1）求A，B两种奖品每件各是多少元？
（2）如果学校准备用400元购买A，B两种奖品（400元恰好用完，两种奖品都有），请问有几种购买方案？
24．（12分）如图1，点A、D分别在射线BM、CN线上，BM∥CN，BM⊥BC于点B，AE平分∠BAD交BC于点E，连接DE，∠1+∠2＝90°．
（1）求证：AE⊥ED；
（2）求证：DE平分∠ADC；
（3）如图2，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，试猜想∠F的值是否为定值，若是，请予以证明；若不是，请说明理由．

25．（14分）对a、b定义一种新运算“T”，规定：T（a，b）＝（2a+b）（ax+by）（其中x，y均为非零实数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（1，1）＝3x+3y．
（1）已知T（﹣1，1）＝0，T（2，0）＝8，求x，y的值；
（2）已知关于x，y的方程组，若a≥﹣2，求x+y的取值范围；
（3）在（2）的条件下，已知平面直角坐标系xOy中，点A（x，y）在坐标轴上，将点A向上平行2个单位得点A'，坐标轴上有一点B满足三角形BOA'的面积为9，求点B的坐标．

龙岩市上杭县2021-2022学年七年级下学期期末教学质量检查
数学试题
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（4分）下列选项的汽车标志图案中，可以看作由图案中的一个基本图形平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据平移变换的性质解决问题即可．
【解答】解：根据平移变换的性质可知选项B满足条件，
故选：B．
【点评】本题考查平移变换，解题的关键熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
2．（4分）下列四个图形中，∠1＝∠2一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据邻补角的概念、对顶角的概念、三角形的外角性质判断即可．
【解答】解：A、∠1与∠2是邻补角，不一定相等，本选项不符合题意；
B、∵∠2是三角形的一个外角，
∴∠2＞∠1，本选项不符合题意；
C、∵∠1与∠2是对顶角，
∴∠1＝∠2，本选项符合题意；
D、∠1与∠2不一定相等，本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是对顶角、邻补角的概念，掌握对顶角相等是解题的关键．
3．（4分）点（2，﹣1）所在象限为（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．
【解答】解：点（2，﹣1）所在象限为第四象限．
故选：D．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
4．（4分）下列各式正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据平方根的定义判断A选项；根据立方根的定义判断B选项；根据算术平方根的定义判断C选项；根据正数的绝对值等于它本身判断D选项．
【解答】解：A选项，原式＝±2，故该选项不符合题意；
B选项，原式＝2，故该选项不符合题意；
C选项，原式＝3，故该选项符合题意；
D选项，原式＝2﹣，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了实数的性质，平方根，立方根，算术平方根，掌握正数的绝对值等于它本身是解题的关键．
5．（4分）下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（　　）
A．对“神舟十四号”载人飞船零件质量情况的调查
B．了解全国各地学生带手机进课堂的情况
C．对《中国诗词大会》节目收视率的调查
D．了解一批袋装食品是否含有防腐剂
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答即可．
【解答】解：A、对“神舟十四号”载人飞船零件质量情况的调查，适合全面调查，故该选项符合题意；
B、了解全国各地学生带手机进课堂的情况，适合抽样调查，故该选项不符合题意；
C、对《中国诗词大会》节目收视率的调查，适合抽样调查，故该选项不符合题意；
D、了解一批袋装食品是否含有防腐剂，适合抽样调查，故该选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
6．（4分）如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是（　　）

A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等
D．两直线平行，内错角相等
【分析】由已知可知∠DPF＝∠BAF，从而得出同位角相等，两直线平行．
【解答】解：∵∠DPF＝∠BAF，
∴AB∥PD（同位角相等，两直线平行）．
故选：A．

【点评】此题主要考查了基本作图与平行线的判定，正确理解题目的含义是解决本题的关键．
7．（4分）在平面直角坐标系中，将点A（m，n）先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到点A′，若点A′位于第二象限，则m、n的取值范围分别是（　　）
A．m＜2，n＞3 B．m＜2，n＞﹣3 C．m＜﹣2，n＜﹣3 D．m＜﹣2，n＞﹣3
【分析】根据点的平移规律可得向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到（m+2，n+3），再根据第二象限内点的坐标符号可得．
【解答】解：将点A（m，n）先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到点A′（m+2，n+3），
∵点A′位于第二象限，
∴，
解得：m＜﹣2，n＞﹣3，
故选：D．
【点评】此题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，关键是横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
8．（4分）平面直角坐标系中，点A（﹣3，2），B（3，4），C（x，y），若AC∥x轴，则线段BC的最小值及此时点C的坐标分别为（　　）
A．6，（﹣3，4） B．2，（3，2） C．2，（3，0） D．1，（4，2）
【分析】由垂线段最短可知点BC⊥AC时，BC有最小值，从而可确定点C的坐标．
【解答】解：如图所示：

由垂线段最短可知：当BC⊥AC时，BC有最小值．
∴点C的坐标为（3，2），线段的最小值为2．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是垂线段的性质、点的坐标的定义，掌握垂线段的性质是解题的关键．
9．（4分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前．其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据“每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：设有x人，y辆车，根据题意可得：
，
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10．（4分）如图，点A、B分别在直线MN、ST上，点C在MN与ST之间，点E在线段BC上，已知∠MAC+∠ACB+∠SBC＝360°．下列结论：
①MN∥ST；
②∠ACB＝∠CAN+∠CBT；
③若∠ACB＝60°，AD∥CB，且∠DAE＝2∠CBT，则∠CAE＝2∠CAN；
④若∠ACB＝（n为整数且n≥2），∠MAE＝n∠CBT，则∠CAE：∠CAN＝n﹣1．
其中结论正确的有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】利用平行线的判定和性质，将角度进行转化求解．
【解答】解：如图，连接AB，作CF∥ST，

∵∠MAC+∠ACB+∠SBC＝360°，
∠ACB+∠ABC+∠BAC＝180°，
∴∠MAB+∠SBA＝180°，
∴MN∥ST，
故①正确；
∵CF∥ST，MN∥ST，
∴MN∥ST∥CF，
∴∠CAN＝∠ACF，∠CBT＝∠BCF，
∴∠ACB＝∠ACF+∠BCF＝∠CAN+∠CBT，
故②正确；
设∠CBT＝α，则∠DAE＝2α，∠BCF＝∠CBT＝α，∠CAN＝∠ACF＝60°﹣α，
∵AD∥BC，∠ACB＝60°，
∴∠DAC＝180°﹣∠ACB＝120°，
∴∠CAE＝120°﹣∠DAE＝120°﹣2α＝2（60°﹣α）＝2∠CAN．
即∠CAE＝2∠CAN，
故③正确；
设∠CBT＝β，则∠MAE＝nβ，
∵CF∥ST，
∴∠CBT＝∠BCF＝β，
∴∠ACF＝∠CAN＝﹣β＝，
∴∠CAE＝180°﹣∠MAE﹣∠CAN＝180°﹣nβ﹣+β＝（180°﹣nβ），
∴∠CAE：∠CAN＝（180°﹣nβ）：＝：＝n﹣1，
故④正确，
故选：A．
【点评】本题主要考查平行线的性质和判定，解题关键是角度的灵活转换，构建数量关系式．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分.）
11．（4分）请写出一个大于0小于1的无理数 　﹣1（答案不唯一）　．
【分析】根据已知和无理数的定义写出一个无理数即可．
【解答】解：一个大于0而小于1的无理数有﹣1，﹣1等，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了对估算无理数的大小的应用，注意：无理数是指无限不循环小数，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．
12．（4分）计算：+|﹣3|＝　﹣　．
【分析】先计算开立方，再把绝对值符号去掉，进行实数加减运算．
【解答】解：原式＝﹣3+（3﹣）
＝﹣3+3﹣
＝﹣．
故答案为；﹣．
【点评】本题考查了开立方运算与绝对值的性质，熟练掌握开立方运算法则及绝对值的性质是解题的关键．
13．（4分）命题“对顶角相等”的题设是 　两个角是对顶角　，结论是 　这两个角相等　．
【分析】任何一个命题都可以写成如果…，那么…的形式，如果后面是题设，那么后面是结论．
【解答】解：命题“对顶角相等”可写成：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
故命题“对顶角相等”的题设是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”．
【点评】本题考查的是命题的题设与结论，解答此题目只要把命题写成如果…，那么…的形式，便可解答．
14．（4分）如图，将长方形ABCD沿AC折叠，使点B落在点B′处，B′C交AD于点E．若∠2＝50°，则∠1的度数为 　25°　．

【分析】由平行线的性质可得∠1＝∠DAC，根据折叠的性质可得∠1＝∠ACB′，再根据三角形外角的性质可得∠2＝∠DAC+∠ACB′＝2∠1，根据∠2＝50°即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠1＝∠DAC，
由折叠的性质可得，∠1＝∠ACB′，
∴∠2＝∠DAC+∠ACB′＝∠1+∠1＝2∠1，
∵∠2＝50°，
∴∠1＝25°．
故答案为：25°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质及折叠的性质，熟练掌握平行线的性质及折叠的性质进行求解是解决本题的关键．
15．（4分）若+|3x﹣2y﹣2|＝0，则x+y的平方根等于 　±2　．
【分析】利用非负数的性质求出x+y的值，即可求出平方根．
【解答】解：∵+|3x﹣2y﹣2|＝0，
且≥0，|3x﹣2y﹣2|≥0，
∴x+y＝4，3x﹣2y＝2，
则x+y＝4，4的平方根是±2．
故答案为：±2．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，平方根，以及非负数的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
16．（4分）已知关于x、y的方程组，其中﹣3≤t≤1，给出下列结论：
①是方程组的解；
②t＝﹣2时，x、y的值互为相反数；
③若x≤1，则1≤y≤4；
④若S＝3x﹣y+2t，则S的最大值为11．
其中正确的有 　②③④　.（填写序号）
【分析】由得t＝2，不符合﹣3≤t≤1，可判断①错误；t＝﹣2时得，可判断②正确；由方程组得：，若x≤1可得﹣3≤t≤0，即可得1≤y≤4，判断③正确；由S＝3x﹣y+2t＝9t+2，而﹣3≤t≤1，可判断④正确．
【解答】解：把代入方程组得：，
解得t＝2，不符合﹣3≤t≤1，
∴不是方程组的解，故①错误；
t＝﹣2时，，
解得，
∴x、y的值互为相反数，故②正确；
由方程组得：，
若x≤1，则2t+1≤1，
∴t≤0，
又﹣3≤t≤1，
∴﹣3≤t≤0，
∴0≤﹣t≤3，
∴1≤﹣t+1≤4，即1≤y≤4，故③正确；
∵，
∴S＝3x﹣y+2t＝3（2t+1）﹣（﹣t+1）+2t＝9t+2，
而﹣3≤t≤1，
∴t＝1时，S最大为11，故④正确；
∴正确的有：②③④，
故答案为：②③④．
【点评】本题考查二元一次方程组及一元一次不等式，解题的关键是求出．
三、解答题（本题共9个小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（8分）解方程组．
【分析】先用加减消元法求出x的值，再用代入消元法求出t的值即可．
【解答】解：①×2+②得，11x＝22，解得x＝2，把x＝2代入①得，6﹣t＝5，解得t＝1，
故此方程组的解为．
【点评】本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键．
18．（8分）解不等式组：并把解集在给定的数轴上表示出来．

【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
【解答】解：，
解不等式①，得：x＞﹣2，
解不等式②，得：x≤1，
∴此不等式组的解集为：﹣2＜x≤1，
解集在数轴上表示为：

【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上变形不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．（8分）如图，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，三角形ABC三个顶点与方格纸中小正方形的顶点重合，请在方格纸中分别画出符合要求的图形，具体要求如下：
（1）在图①中平移三角形ABC，点A移动到点P，画出平移后的三角形PMN；
（2）在图②中将三角形ABC三个顶点的横、纵坐标都减去2，画出得到的三角形A1B1C1；
（3）在图③中建立适当的平面直角坐标系，且A点的坐标为（0，2），C点的坐标为（1，5）．

【分析】（1）根据图形平移的性质画出△A′B′C′即可；
（2）首先找出对应点的位置，再顺次连接即可；
（3）利用已知点坐标得出原点位置即可．
【解答】解：（1）如图①所示；

（2）如图②所示：

（3）如图③所示：

【点评】本题考查的是作图﹣平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
20．（8分）完成下面的证明过程：
已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠B＝∠3，求证：∠AED＝∠C．
证明：∵∠1+∠2＝180°（已知），
∴　AB　∥　EF　（ 　同旁内角互补，两直线平行　），
∴∠B＝∠　EFC　（ 　两直线平行，同位角相等　），
∵∠B＝∠3（已知），
∴∠3＝∠　EFC　（等量代换），
∴DE∥BC（ 　内错角相等，两直线平行　），
∴∠AED＝∠C（ 　两直线平行，同位角相等　）．

【分析】由同旁内角互补，两直线平行可得AB∥EF，从而可得∠B＝∠EFC，则有∠3＝∠EFC，从而可判定DE∥BC，则有∠AED＝∠C．
【解答】证明：∵∠1+∠2＝180°（已知），
∴AB∥EF（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠B＝∠EFC（两直线平行，同位角相等），
∵∠B＝∠3（已知），
∴∠3＝∠EFC（等量代换），
∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行），
∴∠AED＝∠C（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：AB；EF；同旁内角互补，两直线平行；EFC；两直线平行，同位角相等；EFC；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
【点评】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是熟记平行线的判定条件与性质并灵活运用．
21．（8分）某校组织全校3000名学生进行了“新冠”防疫知识竞赛．为了解成绩的分布情况，随机抽取了部分学生的成绩（得分取整数，满分为100分），并绘制了如图所示的频数分布表和频数分布直方图．
抽取部分学生成绩的频率分布表
成绩分组
频数
频率
50.5～60.5
20
0.05
60.5～70.5
a
0.15
70.5～80.5
76
b
80.5～90.5
104
0.26
90.5～100.5
140
c
合计
d
1
根据所给信息，回答下列问题：
（1）根据频数分布表填空：a＝　60　，b+c＝　0.54　，d＝　400　；
（2）补全频数分布直方图；
（3）学校将对成绩在90.5～100.5分之间的学生进行奖励，估算出全校获奖学生的人数．

【分析】（1）根据频数分布表中的数据，依据频数、频率、数据总数之间的关系求解即可；
（2）根据（1）中a的值，可以将频数分布直方图补充完整；
（3）根据频数分布表中的数据，可以计算出全校获奖学生的人数．
【解答】解：（1）d＝20÷0.05＝400，
a＝400×0.15＝60，
b+c＝（76+140）÷400＝0.54，
故答案为：60，0.54，400；
（2）由（1）知，a＝60，
补全的频数分布直方图如图所示：

（3）3000×＝1050（人），
答：全校获奖学生的人数约有1050人．
【点评】本题考查频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是利用数形结合的思想解答．
22．（10分）如图，已知点E在直线DC上，射线EF平分∠AED，过E点作EB⊥EF，G为射线EC上一点，连接BG，且∠EBG+∠BEG＝90°．
（1）求证：∠DEF＝∠EBG；
（2）若∠EBG＝∠A，试判断AB与EF的位置关系，并说明理由．

【分析】（1）根据互相垂直的意义，以及同角或等角的余角或补角相等，得出结论；
（2）根据角平分线、以及同角或等角的余角或补角相等，得出∠A＝∠AEF，利用内错角相等两直线平行，得出结论．
【解答】证明：（1）∵EB⊥EF，
∴∠FEB＝90°，
又∵∠DEF+∠BEG＝180°﹣90°＝90°，∠EBG+∠BEG＝90°，
∴∠DEF＝∠EBG，
（2）AB∥EF，理由如下：
∵EF平分∠AED，
∴∠AEF＝∠DEF＝∠AED，
∵∠EBG＝∠A，∠DEF＝∠EBG，
∴∠A＝∠DEF，
又∵∠DEF＝∠AEF
∴∠A＝∠AEF，
∴AB∥EF．
【点评】本题考查角平分线、互相垂直的意义，同角（等角）的余角（补角）相等，以及平行线的性质和判定，等量代换在证明过程中起到非常重要的作用．
23．（10分）为庆祝中国共产党成立100周年，某校举行了党史知识竞赛，并计划购买A，B两种奖品奖励获奖学生，若买2件A奖品和1件B奖品用了90元，买3件A奖品和2件B奖品用了160元．
（1）求A，B两种奖品每件各是多少元？
（2）如果学校准备用400元购买A，B两种奖品（400元恰好用完，两种奖品都有），请问有几种购买方案？
【分析】（1）设A奖品每件x元，B奖品每件y元，根据“买2件A奖品和1件B奖品用了90元，买3件A奖品和2件B奖品用了160元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买A奖品m件，B奖品n件，利用总价＝单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出购买方案的个数．
【解答】解：（1）设A奖品每件x元，B奖品每件y元，
依题意得：，
解得：．
答：A奖品每件20元，B奖品每件50元．
（2）设购买A奖品m件，B奖品n件，
依题意得：20m+50n＝400，
∴m＝20﹣n．
又∵m，n均为正整数，
∴或或．
答：共有3种购买方案．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
24．（12分）如图1，点A、D分别在射线BM、CN线上，BM∥CN，BM⊥BC于点B，AE平分∠BAD交BC于点E，连接DE，∠1+∠2＝90°．
（1）求证：AE⊥ED；
（2）求证：DE平分∠ADC；
（3）如图2，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，试猜想∠F的值是否为定值，若是，请予以证明；若不是，请说明理由．

【分析】（1）根据垂直的性质及直角三角形的两锐角互余求解即可；
（2）根据角平分线的定义、直角三角形的两锐角互余求解即可；
（3）过点F作FH∥BM，根据角平分线的定义、平行线的性质求解即可．
【解答】（1）证明：∵BM∥CN，BM⊥BC，
∴CN⊥BC，∠B＝90°，
∴∠C＝90°，∠1+∠AEB＝90°，
∴∠2+∠DEC＝90°，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠AEB+∠DEC＝90°，
∴∠AED＝180°﹣90°＝90°，
∴AE⊥ED；
（2）证明：∵∠AED＝90°，
∴∠DAE+∠ADE＝90°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠1＝∠DAE，
∴∠1+∠ADE＝90°，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠ADE＝∠2，
∴DE平分∠ADC；
（3）解：∠AFD的值为定值，理由如下：
如图，过点F作FH∥BM，

∵BM∥CN，
∴BM∥CN∥FH，
∴∠α＝∠MAF，∠β＝∠NDF，
∵AF、DF分别平分∠EAM和∠EDN，
∴∠MAF＝∠EAM＝×（180°﹣∠1），∠NDF＝∠EDN＝×（180°﹣∠2），
∴∠α+∠β＝∠MAF+∠NDF＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣45°＝135°，
∴∠AFD＝∠α+∠β＝135°，
∴∠AFD的值为定值135°．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理并作出合理的辅助线是解题的关键．
25．（14分）对a、b定义一种新运算“T”，规定：T（a，b）＝（2a+b）（ax+by）（其中x，y均为非零实数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（1，1）＝3x+3y．
（1）已知T（﹣1，1）＝0，T（2，0）＝8，求x，y的值；
（2）已知关于x，y的方程组，若a≥﹣2，求x+y的取值范围；
（3）在（2）的条件下，已知平面直角坐标系xOy中，点A（x，y）在坐标轴上，将点A向上平行2个单位得点A'，坐标轴上有一点B满足三角形BOA'的面积为9，求点B的坐标．
【分析】（1）根据新运算“T”定义建立方程组，解方程组即可得出答案；
（2）应用新运算“T”定义建立方程组，解关于x、y的方程组可得，进而得出x+y＝（2a﹣3）+a＝3a﹣3，再运用不等式性质即可得出答案；
（3）根据题意得A（2a﹣3，a），由平移可得A'（2a﹣1，a），根据点A（2a﹣3，a）落在坐标轴上，且a≥﹣2，分类讨论即可．
【解答】解：（1）根据新运算T的定义可得：
，
解得：；

（2）由题意得：
，
解得：，
∴x+y＝（2a﹣3）+a＝3a﹣3，
∵a≥﹣2，
∴3a≥﹣6，
∴3a﹣3＞﹣9，
∴x+y≥﹣9；

（3）由（2）知，得：，
∴A（2a﹣3，a），
∵将线段OA沿x轴向右平移2个单位，得线段 O'A'，
∴A'（2a﹣1，a），
∵点A（2a﹣3，a）落在坐标轴上，且a≥﹣2，
∴2a﹣3＝0或a＝0，
∴a＝或a＝0；
①当a＝时，A'（2，），
若点B在x轴上，
S△BOA'＝OB×＝9，
∴OB＝12，
∴B（12，0）或（﹣12，0）；
若点B在y轴上，
S△BOA'＝OB×2＝9，
∴OB＝9，
∴B（0，9）或（0，﹣9）；
②当a＝0时，A'（﹣1，0）；
∴点B只能在y轴上，
S△BOA'＝OB×1＝9，
∴OB＝18，
∴B（0，18）或（0，﹣18）．
综上所述，点B的坐标为（12，0）或（﹣12，0）或（0，9）或（0，﹣9）或（0，18）或（0，﹣18）．
【点评】本题考查了新运算“T”定义，解二元一次方程组，不等式性质，平移变换的性质，理解并应用新运算T定义是解题关键．、