广东省河源市源城区2021-2022学年七年级下学期期末检测数学试卷(word版含答案)

这是一份广东省河源市源城区2021-2022学年七年级下学期期末检测数学试卷(word版含答案)，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
广东省河源市源城区2021-2022学年七年级下学期期末检测卷
数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列有关冬奥会图案是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a+3a＝4a2 B．a•a2＝a3 C．（﹣a3）2＝a5 D．（ab）3＝ab3
3．（3分）人体内的淋巴细胞直径约是0.0000051米，将0.0000051用科学记数法表示为（　　）
A．0.51×10﹣5 B．0.51×105 C．5.1×10﹣6 D．0.51×106
4．（3分）下列事件中，是必然事件的为（　　）
A．367人中至少有2人公历生日相同
B．打开电视机，正在播放河源新闻
C．三角形三个内角的和是190度
D．掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数是6
5．（3分）如图，直线AB、CD相交于点O，射线OM平分∠BOD，若∠AOC＝42°，则∠AOM等于（　　）

A．159° B．161° C．169° D．138°
6．（3分）小华同学的作文通过了《我的中国梦》征文选拔，需尽快上交该作文的电子文稿．接到通知后，小华立即在电脑上打字录入这篇文稿，录入一段时间后因事暂停，过了一小会，小华继续录入并加快了录入速度，直至录入完成．设从录入文稿开始所经过的时间为x，录入字数为y，下面能反映y与x的函数关系的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
7．（3分）计算20212﹣2020×2022的结果是（　　）
A．1 B．﹣1 C．0 D．2×20212﹣1
8．（3分）如图，将矩形纸带ABCD，沿EF折叠后，C、D两点分别落在C′、D′的位置，经测量得∠EFB＝65°，则∠AED′的度数是（　　）

A．65° B．55° C．50° D．25°
9．（3分）已知等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为9cm和15cm两部分，则这个等腰三角形的腰长为（　　）
A．6cm B．10cm C．6cm或10cm D．11cm
10．（3分）如图可以通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式．这个大正方形边长为a+b+c，用（a+b+c）2可求得其面积．同时，大正方形的面积也等于6个长方形和3个正方形的面积之和；已知a+b+c＝8，a2+b2+c2＝26，则ab+bc+ac的值是（　　）

A．34 B．23 C．20 D．19
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）若3m＝4，3n＝2，则3m﹣n＝　 　．
12．（4分）计算：（x﹣3）（x﹣4）＝x2+ax+b，则a＝　 　，b＝　 　．
13．（4分）如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率是 　 　．

14．（4分）已知三角形的两边长分别为3和6，那么第三边长x的取值范围是　 　．
15．（4分）在球的体积公式，则常量是 　 　，变量是 　 　．
16．（4分）若x2+kx+9是一个完全平方式，则k＝　 　．
17．（4分）如图，已知△ABC的周长是15cm，点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，且OD⊥BC于点D．若OD＝4cm，则△ABC的面积是 　 　．

三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）计算：（﹣1）2015﹣（）2﹣（3.14﹣π）0．
19．（6分）如图，已知△ABC．
①请用尺规作图法作出AC边的垂直平分线，交AB于D点；（保留作图痕迹，不要求写作法）
②在（1）的条件下，连接CD，若AB＝15，BC＝8，求△BCD的周长．

20．（6分）在一个不透明的袋中装有2个黄球，3个黑球和5个红球，它们除颜色外其他都相同．
（1）将袋中的球摇匀后，求从袋中随机摸出一个球是黄球的概率；
（2）若向这个袋子加入5个红球，从袋中随机摸出一个球，求摸到不是红球的概率．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）先化简，再求值：[（x2+y2）﹣（x﹣y）2+2y（x﹣y）]÷4y，其中|x+7|+（y﹣2）2＝0．
22．（8分）如图，∠C＝∠D，AC＝BD，点O在AD，BC的交点，点E是AB中点，连接OE．
（1）求证：△AOC≌△BOD．
（2）判断OE和AB的位置关系，并说明理由．

23．（8分）为了了解某种车的耗油量，我们对这种车在高速公路上做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成下表
汽车行驶时间x（h）
0
1
2
3
…
油箱剩余油量y
100
94
88
82
…
（1）根据上表的数据，请写出y与x的之间的关系式：　 　；
（2）如果汽车油箱中剩余油量为46L，则汽车行驶了多少小时？
（3）如果该种汽车油箱只装了36L汽油，汽车以100km/h的速度在一条全长700公里的高速公路上匀速行驶，请问它在中途不加油的情况下能从高速公路起点开到高速公路终点吗？为什么？
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．
（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系　 　；
（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD＝∠C；
（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度数．

25．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝8，AB＝CD，BD＝12，点E从D点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C→B→C作匀速移动，两个点同时出发，当有一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．点G为BD上的一点，假设移动时间为t秒，BG的长度为y．
（1）证明：AD∥BC；
（2）在移动过程中，小明发现有△DEG与△BFG全等的情况出现，请你探究这样的情况会出现几次？并分别求出此时的移动时间t和BG的长度y．


广东省河源市源城区2021-2022学年七年级下学期期末检测卷
数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列有关冬奥会图案是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项A、B、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a+3a＝4a2 B．a•a2＝a3 C．（﹣a3）2＝a5 D．（ab）3＝ab3
【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、a+3a＝4a，故A不符合题意；
B、a•a2＝a3，故B符合题意；
C、（﹣a3）2＝a6，故C不符合题意；
D、（ab）3＝a3b3，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3．（3分）人体内的淋巴细胞直径约是0.0000051米，将0.0000051用科学记数法表示为（　　）
A．0.51×10﹣5 B．0.51×105 C．5.1×10﹣6 D．0.51×106
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000051＝5.1×10﹣6，
故选：C．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．（3分）下列事件中，是必然事件的为（　　）
A．367人中至少有2人公历生日相同
B．打开电视机，正在播放河源新闻
C．三角形三个内角的和是190度
D．掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数是6
【分析】根据随机事件，无理数，实数的性质，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、367人中至少有2人公历生日相同，是必然事件，故A符合题意；
B、打开电视机，正在播放河源新闻，是随机事件，故B不符合题意；
C、三角形三个内角的和是190度，是不可能事件，故C不符合题意；
D、掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数是6，是随机事件，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
5．（3分）如图，直线AB、CD相交于点O，射线OM平分∠BOD，若∠AOC＝42°，则∠AOM等于（　　）

A．159° B．161° C．169° D．138°
【分析】利用对顶角、邻补角的定义以及角平分线的定义得出∠BOM度数，进而得出答案．
【解答】解：∵∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠AOC＝∠BOD＝42°，
∴∠AOD＝180°﹣42°＝138°，
∵射线OM平分∠BOD，
∴∠BOM＝∠DOM＝21°，
∴∠AOM＝138°+21°＝159°．
故选：A．
【点评】此题主要考查了对顶角、邻补角以及角平分线的定义，正确得出∠BOM＝∠DOM是解题关键．
6．（3分）小华同学的作文通过了《我的中国梦》征文选拔，需尽快上交该作文的电子文稿．接到通知后，小华立即在电脑上打字录入这篇文稿，录入一段时间后因事暂停，过了一小会，小华继续录入并加快了录入速度，直至录入完成．设从录入文稿开始所经过的时间为x，录入字数为y，下面能反映y与x的函数关系的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据在电脑上打字录入这篇文稿，录入字数增加，因事暂停，字数不变，继续录入并加快了录入速度，字数增加，变化快，可得答案．
【解答】解：A．中间应有一段字数不变，故A不符合题意；
B．字数先增加再不变最后增加，故B不符合题意错误；
C．暂停后继续录入并加快了录入速度，字数增加，故C不符合题意；
D．开始字数增加的慢，暂停后再录入字数增加的快，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了函数图象，字数先增加再不变最后增加的快是解题关键．
7．（3分）计算20212﹣2020×2022的结果是（　　）
A．1 B．﹣1 C．0 D．2×20212﹣1
【分析】原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝20212﹣（2021﹣1）×（2021+1）
＝20212﹣（20212﹣1）
＝20212﹣20212+1
＝1．
故选：A．
【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
8．（3分）如图，将矩形纸带ABCD，沿EF折叠后，C、D两点分别落在C′、D′的位置，经测量得∠EFB＝65°，则∠AED′的度数是（　　）

A．65° B．55° C．50° D．25°
【分析】先根据平行线的性质求出∠DEF的度数，再由图形翻折变换的性质求出∠DED′的度数，根据补角的定义即可得出结论．
【解答】解：∵AD∥BC，∠EFB＝65°，
∴∠DEF＝65°，
∴∠DED′＝2∠DEF＝130°，
∴∠AED′＝180°﹣130°＝50°．
故选：C．
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
9．（3分）已知等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为9cm和15cm两部分，则这个等腰三角形的腰长为（　　）
A．6cm B．10cm C．6cm或10cm D．11cm
【分析】已知给出的9cm和15cm两部分，没有明确哪一部分含有底边，要分类讨论，设三角形的腰为xcm，分两种情况讨论：x+x＝9或x+x＝15．
【解答】解：设三角形的腰为xcm，如图：
△ABC是等腰三角形，AB＝AC，BD是AC边上的中线，
则有AB+AD＝9cm或AB+AD＝15cm，分下面两种情况：
（1）x+x＝9，
解得x＝6，
∵三角形的周长为9+15＝24（cm），
∴三边长分别为6cm，6cm，12cm，
∵6+6＝12，不符合三角形的三边关系，
∴舍去；
（2）x+x＝15，
解得x＝10，
∵三角形的周长为24cm，
∴三边长分别为10cm，10cm，4cm．
综上可知：这个等腰三角形的腰长为10cm．
故选：B．

【点评】主要考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；解题的关键是利用等腰三角形的两腰相等和中线的性质求出腰长，再利用周长的概念求得边长．最后要注意利用三边关系进行验证．
10．（3分）如图可以通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式．这个大正方形边长为a+b+c，用（a+b+c）2可求得其面积．同时，大正方形的面积也等于6个长方形和3个正方形的面积之和；已知a+b+c＝8，a2+b2+c2＝26，则ab+bc+ac的值是（　　）

A．34 B．23 C．20 D．19
【分析】根据正方形的面积＝6个长方形的面积+3个正方形的面积可得等式（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，再把a+b+c＝8，a2+b2+c2＝26代入，然后进行计算即可．
【解答】解：由题意可得，（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
∵a+b+c＝8，a2+b2+c2＝26，
∴82＝26+2（ab+bc+ac），
∴ab+bc+ac＝19．
故选：D．
【点评】本题考查的是因式分解的应用，完全平方公式的几何意义，解题的关键是注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示同一图形的面积．
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）若3m＝4，3n＝2，则3m﹣n＝　2　．
【分析】根据同底数幂除法的法则计算即可，am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）．
【解答】解：当3m＝4，3n＝2时，
3m﹣n＝3m÷3n＝4÷2＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了同底数幂除法，熟记法则是解题的关键，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
12．（4分）计算：（x﹣3）（x﹣4）＝x2+ax+b，则a＝　﹣7　，b＝　12　．
【分析】根据多项式乘多项式的乘法法则解决此题．
【解答】解：（x﹣3）（x﹣4）＝x2﹣7x+12．
∵（x﹣3）（x﹣4）＝x2+ax+b，
∴a＝﹣7，b＝12．
故答案为：﹣7，12．
【点评】本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则是解决本题的关键．
13．（4分）如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率是 　　．

【分析】两个同心圆被均分成八等份，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，由此计算出黑色区域的面积，利用几何概率的计算方法解答即可．
【解答】解：因为两个同心圆等分成八等份，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，其中黑色区域的面积占了其中的四等份，
所以P（飞镖落在黑色区域）＝＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查几何概率的意义：一般地，对于古典概型，如果试验的基本事件为n，随机事件A所包含的基本事件数为m，我们就用来描述事件A出现的可能性大小，称它为事件A的概率，记作P（A），即有 P（A）＝．
14．（4分）已知三角形的两边长分别为3和6，那么第三边长x的取值范围是　3＜x＜9　．
【分析】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边以及任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围．
【解答】解：∵此三角形的两边长分别为3和6，
∴第三边长的取值范围是：6﹣3＝3＜第三边＜6+3＝9．
即：3＜x＜9，
故答案为：3＜x＜9．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键．
15．（4分）在球的体积公式，则常量是 　　，变量是 　体积V和半径R　．
【分析】根据常量与变量的定义进行解答即可．
【解答】解：由常量与变量的定义可知，
在球的体积公式，则常量是，变量为半径R和体积V，
故答案为：，体积V和半径R
【点评】本题考查常量与变量，理解常量与变量的定义是正确判断的前提．
16．（4分）若x2+kx+9是一个完全平方式，则k＝　±6　．
【分析】根据口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央”求出k的值．
【解答】解：∵x2±6x+9＝（x±3）2，
∴k＝±6，
故答案为：±6．
【点评】本题考查了完全平方公式，熟练应用完全平方公式，满足完全平方式的情况只有a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2两种是解题关键．
17．（4分）如图，已知△ABC的周长是15cm，点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，且OD⊥BC于点D．若OD＝4cm，则△ABC的面积是 　30cm2　．

【分析】过点O作OE⊥AB于点E，过点O作OF⊥AC于点F，连接OA，根据角平分线的性质可得OE＝OD＝OF，进一步求△ABC的面积即可．
【解答】解：过点O作OE⊥AB于点E，过点O作OF⊥AC于点F，连接OA，如图所示：

∵点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，且OD⊥BC，
∴OE＝OD＝OF，
∵OD＝4cm，△ABC的周长为15cm，
∴△ABC的面积＝S△AOB+S△AOC+S△BOC
＝
＝
＝
＝30（cm2），
故答案为：30cm2．
【点评】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质并灵活运用是解题的关键．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）计算：（﹣1）2015﹣（）2﹣（3.14﹣π）0．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及有理数的乘方运算法则分别化简，进而合并得出答案．
【解答】解：原式＝﹣1﹣﹣1
＝﹣2．
【点评】此题主要考查了零指数幂的性质以及有理数的乘方运算，正确化简各数是解题关键．
19．（6分）如图，已知△ABC．
①请用尺规作图法作出AC边的垂直平分线，交AB于D点；（保留作图痕迹，不要求写作法）
②在（1）的条件下，连接CD，若AB＝15，BC＝8，求△BCD的周长．

【分析】①利用基本作图作AC的垂直平分线即可；
②利用线段垂直平分线的性质得到CD＝AD，然后利用等线段代换得到△BCD的周长AB+BC＝23．
【解答】解：（1）①如图，点D为所作；

②∵点D为AC的垂直平分线与AB的交点，
∴CD＝AD
∴BD+CD＝BD+AD＝AB＝15，
∴△BCD的周长＝BD+CD+BC＝AB+BC＝15+8＝23．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
20．（6分）在一个不透明的袋中装有2个黄球，3个黑球和5个红球，它们除颜色外其他都相同．
（1）将袋中的球摇匀后，求从袋中随机摸出一个球是黄球的概率；
（2）若向这个袋子加入5个红球，从袋中随机摸出一个球，求摸到不是红球的概率．
【分析】（1）用黄球的个数除以球的总数即可求得是黄球的概率；
（2）用不是红球的个数除以球的总数即可求得不是红球的概率．
【解答】解：（1）∵不透明的袋中装有2个黄球，3个黑球和5个红球，
∴从袋中随机摸出一个球是黄球的概率是＝；
（2）∵向这个袋子加入5个红球，
∴红球共有10个球，球的总数为15个，
∴从袋中随机摸出一个球，摸到不是红球的概率＝．
【点评】本题考查了概率公式的知识，解题的关键是了解概率的求法，难度较小．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）先化简，再求值：[（x2+y2）﹣（x﹣y）2+2y（x﹣y）]÷4y，其中|x+7|+（y﹣2）2＝0．
【分析】先将中括号内的式子展开，然后化简，再根据多项式除以单项式计算即可，然后根据|x+7|+（y﹣2）2＝0，可以得到x、y的值，再代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：[（x2+y2）﹣（x﹣y）2+2y（x﹣y）]÷4y
＝（x2+y2﹣x2+2xy﹣y2+2xy﹣2y2）÷4y
＝（﹣2y2+4xy）÷4y
＝﹣y+x，
∵|x+7|+（y﹣2）2＝0，
∴x+7＝0，y﹣2＝0，
解得x＝﹣7，y＝2，
当x＝﹣7，y＝2时，原式＝﹣×2+（﹣7）＝﹣8．
【点评】本题考查整式的混合运算—化简求值、非负数的性质，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
22．（8分）如图，∠C＝∠D，AC＝BD，点O在AD，BC的交点，点E是AB中点，连接OE．
（1）求证：△AOC≌△BOD．
（2）判断OE和AB的位置关系，并说明理由．

【分析】（1）根据AAS证明即可；
（2）根据全等三角形的性质可得OA＝OB，根据等腰三角形的性质即可得证．
【解答】（1）证明：在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（AAS）；
（2）解：OE⊥AB，理由如下：
∵△AOC≌△BOD，
∴OA＝OB，
∵点E是AB中点，
∴OE⊥AB．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．
23．（8分）为了了解某种车的耗油量，我们对这种车在高速公路上做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成下表
汽车行驶时间x（h）
0
1
2
3
…
油箱剩余油量y
100
94
88
82
…
（1）根据上表的数据，请写出y与x的之间的关系式：　y＝100﹣6x　；
（2）如果汽车油箱中剩余油量为46L，则汽车行驶了多少小时？
（3）如果该种汽车油箱只装了36L汽油，汽车以100km/h的速度在一条全长700公里的高速公路上匀速行驶，请问它在中途不加油的情况下能从高速公路起点开到高速公路终点吗？为什么？
【分析】（1）由表格可知，开始油箱中的油为100L，每行驶1小时，油量减少6L，据此可得x与y的关系式；
（2）求汽车油箱中剩余油量为46L，则汽车行使了多少小时即是求当y＝46时x的值；
（4）先求出汽车以100km/h的速度在一条全长700公里的高速公路上匀速行驶需要的时间，乘以6求出用油量，再与36L比较大小即可判断．
【解答】解：（1）由表格可知，开始油箱中的油为100L，每行驶1小时，油量减少6L，
所以y＝100﹣6x，
故答案为：y＝100﹣6x．

（2）当y＝46时，100﹣6x＝46，
解得：x＝9，
即汽车行驶了9小时；

（3）在中途不加油的情况下不能从高速公路起点开到高速公路终点，理由如下：
∵700÷100＝7（小时），
7×6＝42（L），
36L＜42L，
∴在中途不加油的情况下不能从高速公路起点开到高速公路终点．
【点评】本题主要考查了函数关系式，由表格中数据求函数解析式可以根据等量关系列出或者利用待定系数法去求，理清汽车以100km/h的速度在一条全长700公里的高速公路上匀速行驶需要的时间7小时，是第四个问题的突破点．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．
（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系　∠A+∠C＝90°　；
（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD＝∠C；
（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度数．

【分析】（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可；
（2）先过点B作BG∥DM，根据同角的余角相等，得出∠ABD＝∠CBG，再根据平行线的性质，得出∠C＝∠CBG，即可得到∠ABD＝∠C；
（3）先过点B作BG∥DM，根据角平分线的定义，得出∠ABF＝∠GBF，再设∠DBE＝α，∠ABF＝β，根据∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180°，可得（2α+β）+3α+（3α+β）＝180°，根据AB⊥BC，可得β+β+2α＝90°，最后解方程组即可得到∠ABE＝15°，进而得出∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝15°+90°＝105°．
【解答】解：（1）如图1，AM与BC的交点记作点O，

∵AM∥CN，
∴∠C＝∠AOB，
∵AB⊥BC，
∴∠A+∠AOB＝90°，
∴∠A+∠C＝90°，
故答案为：∠A+∠C＝90°；

（2）如图2，过点B作BG∥DM，
∵BD⊥AM，
∴DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG＝90°，
又∵AB⊥BC，
∴∠CBG+∠ABG＝90°，
∴∠ABD＝∠CBG，
∵AM∥CN，BG∥AM，
∴CN∥BG，
∴∠C＝∠CBG，
∴∠ABD＝∠C；

（3）如图3，过点B作BG∥DM，
∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，
∴∠DBF＝∠CBF，∠DBE＝∠ABE，
由（2）可得∠ABD＝∠CBG，
∴∠ABF＝∠GBF，
设∠DBE＝α，∠ABF＝β，则
∠ABE＝α，∠ABD＝2α＝∠CBG，∠GBF＝β＝∠AFB，∠BFC＝3∠DBE＝3α，
∴∠AFC＝3α+β，
∵∠AFC+∠NCF＝180°，∠FCB+∠NCF＝180°，
∴∠FCB＝∠AFC＝3α+β，
△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180°，可得
（2α+β）+3α+（3α+β）＝180°，①
由AB⊥BC，可得
β+β+2α＝90°，②
由①②联立方程组，解得α＝15°，
∴∠ABE＝15°，
∴∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝15°+90°＝105°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角（补角）相等进行推导．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程思想的运用．
25．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝8，AB＝CD，BD＝12，点E从D点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C→B→C作匀速移动，两个点同时出发，当有一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．点G为BD上的一点，假设移动时间为t秒，BG的长度为y．
（1）证明：AD∥BC；
（2）在移动过程中，小明发现有△DEG与△BFG全等的情况出现，请你探究这样的情况会出现几次？并分别求出此时的移动时间t和BG的长度y．

【分析】（1）利用平行四边形得判定和性质证明；
（2）利用全等三角形的判定求解．
【解答】解：（1）∵AD＝BC，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC；
（2）BG＝y，DE＝t，
当0≤t≤时，CF＝3t，则BF＝8﹣3t，
∵AD∥BC，
∴∠DBC＝∠ADB，
若△DEG与△BFG全等，
则BF＝DE且BG＝DG，或者BF＝DG且BG＝DE，
即：或，
解得：或（不合题意，舍去），
当＜t≤时，则BF＝3t﹣8，
若△DEG与△BFG全等，
则BF＝DE且BG＝DG，或者BF＝DG且BG＝DE，
即：或，
解得：或，
所以△DEG与△BFG全等的情况出现了三次，
第一次是2秒时，y＝6，
第二次是4秒时，y＝6，
第三次是5秒时，y＝5．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定及全等三角形，演绎推理是解题的关键．