高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第15讲导数的意义及运算课件

这是一份高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第15讲导数的意义及运算课件，共32页。PPT课件主要包含了函数导数的定义，αxα－1，－sinx，运算法则，的切线方程为，考点1，导数的概念，A①②，B①③，C②③等内容，欢迎下载使用。
2.导数的几何意义和物理意义
(1)导数的几何意义：函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).(2)导数的物理意义：①在物理学中，如果物体运动的规律是s＝s(t)，那么该物体在时刻t0的瞬时速度为v＝s′(t0)；②如果物体运动的速度随时间变化的规律是v＝v(t)，则该物体在时刻t0的瞬时加速度为a＝v′(t0).
3.基本初等函数的导数公式表
u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)
1.已知函数f(x)＝4π2x2，则f′(x)＝(　　)A.4πxB.8πxC.8π2xD.16πx
2.(2018年新课标Ⅲ)曲线y＝(ax＋1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则 a＝_________.
4.(2019 年新课标Ⅱ)曲线 y＝2sin x＋cs x 在点(π，－1)处
A.x－y－π－1＝0C.2x＋y－2π＋1＝0
B.2x－y－2π－1＝0D.x＋y－π＋1＝0
解析：y＝2sin x＋cs x，f′(x)＝2cs x－sin x，则 k＝f′(π)＝2cs π－sin π＝－2，∴在点(π，－1)处的切线方程为 y＋1＝－2(x－π)，2x＋y－2π＋1＝0.
∴①③正确.故选 B.答案：B
例 2：(1)(2018 年天津)已知函数f(x)＝exln x，f′(x)为f(x)的导函数，则 f′(1)的值为__________.
(2)已知函数 f(x)的导函数为 f′(x)，且满足 f(x)＝2xf′(1)
＋ln x，则 f′(1)＝(A.－1C.1
(3)设函数 f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为 f′(x)，且
f(ln x)＝x＋ln x，则 f′(1)＝____________.
解析：f(ln x)＝x＋ln x，令ln x＝t，x＝et，则f(t)＝et＋t，
即f(x)＝ex＋x.又f′(x)＝ex＋1，∴f′(1)＝e＋1.
【规律方法】求函数的导数时，要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数，对于不具备求导法则的结构形式要进行适当的恒等变形.注意求函数的导数(尤其是对含有多个字母的函数)时，一定要清楚函数的自变量是什么，对谁求导，如f(x)＝x2＋sin α的自变量为x，而f(α)＝x2＋sin α的自变量为α.
例 3：(1) 一个物体的运动方程为 s＝1－t＋t2，其中 s 的单
位是米，t 的单位是秒，那么物体在 3 秒末的瞬时速度是(
A.7 米/秒C.5 米/秒
B.6 米/秒D.8 米/秒
解析：s′(t)＝2t－1，s′(3)＝2×3－1＝5.答案：C
∴在点(1,2)处的切线方程为 y－2＝1×(x－1)，即 y＝x＋1.
C.a＝e－1，b＝1 D.a＝e－1，b＝－1
(2)(2019年新课标Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)
处的切线方程为 y＝2x＋b，则(A.a＝e，b＝－1
解析：y′＝aex＋lnx＋1，k＝y′|x＝1＝ae＋1＝2，∴a＝e－1.将(1,1)代入 y＝2x＋b 得 2＋b＝1，b＝－1，故选 D.答案：D
(3)(2019年新课标Ⅰ)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的切线
方程为____________.
解析：y＝3(x2＋x)ex，y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝3(x2＋
3x＋1)ex，k＝3(02＋3×0＋1)e0＝3.
(4)(2018年新课标Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)
为奇函数，则曲线 y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为(
A.y＝－2xC.y＝2x
B.y＝－xD.y＝x
解析：函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，则a＝1，f(x)＝x3＋x，f′(x)＝3x2＋1，f′(0)＝1.则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为 y＝x.故选 D.答案：D
(5)(2019 年江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在曲线
y＝ln x 上，且该曲线在点 A 处的切线经过点(－e，－1)(e 为自然对数的底数)，则点 A 的坐标是________.
考查函数 H(x)＝xln x，当 x∈(0,1)时，H(x)0，且 H′(x)＝ln x＋1，当 x>1 时，H′(x)>0，H(x)单调递增，注意到H(e)＝e，故x0ln x0＝e存在唯一的实数根x0＝e，此时 y0＝1，故点 A 的坐标为 A(e,1).答案：(e,1)
【规律方法】求曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处(该点为切点)
的切线方程，其方法如下：
①求出函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)，即函数y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率；②切点为P(x0，f(x0))，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).
⊙混淆“在某点处的切线”与“过某点的切线”致误例题：已知曲线 f(x)＝x3－x，则：
(1)曲线在点(1,0)处的切线方程为_______________；(2)曲线过点(1,0)的切线方程为_________________.解析：f′(x)＝3x2－1.
(1)曲线在点(1,0)处的切线的斜率为 k＝f′(1)＝2.又切点为(1,0)，
∴所求切线方程为 y＝2(x－1)，即 2x－y－2＝0.
答案：(1)2x－y－2＝0
(2)2x－y－2＝0 或 x＋4y－1＝0
【失误与防范】(1)通过例题的学习，要彻底改变“切线与曲线有且只有一个公共点”“直线与曲线只有一个公共点，则该直线就是切线”这一传统误区，如“直线 y＝1 与 y＝sin x 相切，却有无数个公共点”，而“直线 x＝1 与 y＝x2 只有一个公共点，显然直线 x＝1 不是切线”.
(2)求曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处(该点为切点)的切线方程，其方法如下：①求出函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)，即函数y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率；②切点为P(x0，f(x0))，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0).