高考数学一轮复习第5章数列第1讲数列的概念与简单表示法课件

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按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列可以看作是定义域为 N*的非空子集的函数，其图象是一群孤立的点.
数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法.4.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个公式an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
1.数列1,2,4,8,16,32，…的一个通项公式是(　　)　　A.an＝2n－1 B.an＝2n－1C.an＝2n D.an＝2n＋12.数列1，－3,5，－7,9，…的一个通项公式为(　　)　　A.an＝2n－1 B.an＝(－1)n＋1(2n－1)C.an＝(－1)n(2n－1) D.an＝(－1)n(2n＋1)
3.图 5-1-1 是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，若按此规律铺设，则第 n 个图案中需用黑色瓷砖的块
数为(用含 n 的代数式表示)(
B.4n＋1D.4n＋8
由数列的前几项写数列的通项公式
例 1：根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式.
思维点拨：观察项与项数之间的关系，项与前后项之间的
关系，分子与分母的关系以及符号规律.
综上，数列的通项公式为
【规律方法】由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具
(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、
转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等.
①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；
④各项的符号特征和绝对值特征；
⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N*
⑤化异为同.对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，
或寻找分子、分母之间的关系；
⑦并不是每个数列都有通项公式，有通项公式的数列，其
通项公式也不一定唯一.
考点 2 由数列的前 n 项和求数列的通项公式
考向1　Sn与n的关系问题
例 2：已知下面数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式：
(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n＋1.
【规律方法】由Sn求an的步骤：
①先利用a1＝S1求出a1.②用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式.③对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，若符合，则可以把数列的通项公式合写；若不符合，则应写成分段函数的形式.
考向2　Sn与an的关系问题
例 3：(1)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.
(3)(2017年安徽黄山二模)已知数列{an}的前n项和为Sn，
且a1＝2，an＋1＝Sn＋1(n∈N*)，则S5＝(　　)
解析：方法一，∵a1＝2，an＋1＝Sn＋1，
∴a2＝S1＋1＝a1＋1＝3，a3＝S2＋1＝6，a4＝S3＋1＝12，a5＝S4＋1＝24，∴S5＝47.方法二，∵an＋1＝Sn＋1(n∈N*)，即Sn＋1－Sn＝Sn＋1(n∈N*)，∴Sn＋1＋1＝2(Sn＋1)(n∈N*)，
∴数列{Sn＋1}为等比数列，其首项为3，公比为2.则S5＋1＝3×24，解得S5＝47.故选D.方法三，∵an＋1＝Sn＋1，∴an＋2＝Sn＋1＋1，两式作差得an＋2－an＋1＝Sn＋1－Sn＝an＋1，∴an＋2＝2an＋1(n∈N*).又a1＝2，a2＝S1＋1＝3，∴数列{an}从第二项起构成首项是3，公比为2的等比数列.
【规律方法】Sn 与an 关系问题的求解思路：根据所求结果
的不同要求，将问题向不同的两个方向转化.
(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式(如第(1)题).(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解(如第(2)题).
例 4: (1)已知递增数列{an}的通项公式为an＝n2＋kn＋2，则实数 k 的取值范围为________.解析：(1)若数列{an}为递增数列，则有an＋1－an＝(n＋1)2＋k(n＋1)＋2－n2－kn－2＝2n＋1＋k>0 恒成立，即k>－(2n＋1)恒成立，即k>－(2n＋1)max＝－3.答案：(－3，＋∞)
又 n∈N*，∴n＝9 或 n＝10，
∴该数列中有最大项，为第 9、10 项，
【规律方法】(1)解决数列周期性问题的方法：先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.(2)判断数列单调性的方法：①作差(或商)法；②目标函数法：写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去.(3)求数列中最大(小)项的方法：①根据数列的单调性判断；
而求得 an 的最值.
难点突破⊙由数列的递推关系求数列的通项公式
考向1　形如an＋1＝an＋f(n)，求an
考向2　形如an＋1＝anf(n)，求an
例 2：若a1＝1，nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，则an＝________.
考向3　形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an
例 3：(2018 年西北师大附中调研)已知数列{an}满足a1＝－2，且an＋1＝3an＋6，则an＝________.
∴an＋1＋3＝3(an＋3).又a1＝－2，∴a1＋3＝1.∴{an＋3}是首项为1，公比为3的等比数列.∴an＋3＝3n－1.∴an＝3n－1－3.
解析：∵ an＋1＝3an＋6，
＝f(n)型，则采用累乘法.
【规律方法】(1)形如“an＋1＝pan＋q”这种形式通常转化为an＋1＋λ＝p(an＋λ)，由待定系数法求出λ，再化为等比数列. (2)递推公式化简整理后，若为an＋1－an＝f(n)型，则采用累
2n(n＋1)(n∈N*)
1.在数列{an}中，a1＝4，nan＋1＝(n＋2)an，则数列an＝_________________.
解析：方法一， ∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，又
2.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1，则其通项公式an＝(　　)　 　A.2n－1 B.2n－1＋1C.2n－1 D.2(n－1)
a1＝1，∴a1＋1＝2，∴{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，∴an＋1＝2n，∴an＝2n－1，故选A.方法二，∵a1＝1，an＋1＝2an＋1，∴a2＝3，a3＝7，由a1＝1，排除D，由a3＝7，排除B，C.故选A.
3.(2015年江苏)设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1
1.根据数列的前几项，用归纳法写出一个通项公式，体现了由特殊到一般的思想方法，考查了基本的数学分析能力和观察能力.熟知一些常见数列的通项公式可起到事半功倍的效果.求数列的通项公式要对数列的特征进行归纳、化归、展开联想，而我们应关注的特征主要有以下四个：(1)分数中的分子与分母的特点；(2)相邻项的变化规律；(3)各项的符号特征：(4)拆项后的变化规律.