高考数学一轮复习第8章立体几何第7讲空间角的计算课件

这是一份高考数学一轮复习第8章立体几何第7讲空间角的计算课件，共48页。PPT课件主要包含了0°90°，的角等于0°，直二面角，图8-7-2，D连接AD，图D93，O-xyz，图D94，图D95，考点2等内容，欢迎下载使用。

1.异面直线所成的角过空间任一点 O 分别作异面直线 a 与 b 的平行线 a′与 b′.那么直线 a′与 b′所成的锐角或直角，叫做异面直线 a 与 b 所
成的角(或夹角)，其范围是____________.
2.直线与平面所成的角(1)如果直线与平面平行或者在平面内，则直线与平面所成
(2)如果直线和平面垂直，则直线与平面所成的角等于____.(3)平面的斜线与它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线与平面所成的角，其范围是(0°，90°).斜线与平面所成的线面角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角.
3.二面角从一条直线出发的两个半平面组成的图形叫做二面角.从二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.平面角是
直角的二面角叫做___________.
4.点到平面的距离点与它在平面上的射影间的距离叫做该点到这个平面的距离.求点到平面的距离通常运用等体积法，即构造一个三棱锥，将点到平面的距离转化为三棱锥的高.5.直线与平面平行，那么直线上任一点到平面的距离叫做这条直线与平面的距离.
1.若 a＝(1，2，3)是平面γ的一个法向量，则下列向量中能
作为平面γ的法向量的是(A.(0，1，2)C.(－1，－2，3)
B.(3，6，9)D.(3，6，8)
解析：向量(1，2，3)与向量(3，6，9)共线.
3.已知平面α上的两个向量 a＝(2，3，1)，b＝(5，6，4)，
则平面α的一个法向量为(A.(1，－1,1)C.(－2,1,1)
B.(2，－1,1)D.(－1,1，－1)
4.如图 8-7-1，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB＝BC＝2，
AA1＝1，则 BC1 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为_______.图 8-7-1
考点 1 线面所成角的计算
例 1：(1)(2018 年浙江)如图 8-7-2，已知多面体 ABC-A1B1C1，A1A，B1B，C1C 均垂直于平面 ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2.①证明：AB1⊥平面 A1B1C1；
②求直线 AC1 与平面 ABB1 所成的角的正弦值.
②解：如图 D93，过点 C1 作 C1D⊥A1B1，交直线 A1B1 于点
方法二，①证明：如图 D94，以 AC 的中点 O 为原点，分别以射线 OB，OC 为 x，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系
(2)(2018 年天津)如图 8-7-3，在四面体 ABCD 中，△ABC是等边三角形，平面 ABC⊥平面 ABD，点 M 为棱 AB 的中点，
①求证：AD⊥BC；②求异面直线 BC 与 MD 所成角的余弦值；③求直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值.图 8-7-3
①证明：由平面 ABC⊥平面 ABD，平面 ABC∩平面 ABD
＝AB，AD⊥AB，可得 AD⊥平面 ABC，故 AD⊥BC.②解：如图 D95，取棱 AC 的中点 N，连接 MN，ND.
∵M 为棱 AB 的中点，∴MN∥BC.
∴∠DMN(或其补角)为异面直线 BC 与 MD 所成的角.
【规律方法】求直线与平面所成的角，大致有两种基本方
①传统立体几何的综合推理法：通过射影转化法作出直线与平面所成的线面角，然后在直角三角形中求角的大小.找射影的基本方法是过直线上一点作平面的垂线，连接垂足和斜足得到直线在平面内的射影；有时也可通过找到经过斜线且垂直于已知平面的垂面来确定斜线在平面内的射影，此时平面与垂面的交线即为射影.
②空间向量的坐标法：建系并确定点及向量的坐标，然后利用向量的夹角公式通过坐标运算求得直线和平面所成的角.
例 2 ： (1)(2019 年新课标Ⅰ ) 如 图 8-7-4 ， 直 四 棱 柱ABCD-A1B1C1D1 的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点.①证明：MN∥平面 C1DE；②求二面角 A-MA1-N 的正弦值.图 8-7-4
(2)(2019 年新课标Ⅱ)如图 8-7-5，长方体 ABCD-A1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1 上，BE⊥EC1.
①证明：BE⊥平面 EB1C1；
②若 AE＝A1E，求二面角 B-EC-C1 的正弦值.
①证明：由已知，得 B1C1⊥平面 ABB1A1，BE⊂平面 ABB1A1，故 B1C1⊥BE.
又 BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，∴BE⊥平面 EB1C1.
②解：由(1)知∠BEB1＝90°.
由题设知 Rt△ABE≌ RtA1B1E，∴∠AEB＝45°，故 AE＝AB，AA1＝2AB.
建立如图 D97 所示的空间直角坐标系 D-xyz，
【规律方法】求二面角，大致有两种基本方法：(1)传统立体几何的综合推理法：
①定义法；②垂面法；③三垂线定理法；④射影面积法.(2)空间向量的坐标法：建系并确定点及向量的坐标，分别求出两个平面的法向量，通过求两个法向量的夹角得出二面角的大小.
⊙利用空间向量求空间角
例题：(2018 年北京)如图 8-7-6，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，CC1 ⊥平面 ABC，D，E，F，G 分别为 AA1 ，AC，A1C1 ，BB1
(1)求证：AC⊥平面 BEF；
(2)求二面角 B-CD-C1 的余弦值；(3)证明：直线 FG 与平面 BCD 相交.
(1)证明：在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，
∵CC1⊥平面 ABC，∴四边形 A1ACC1 为矩形.又 E，F 分别为 AC，A1C1 的中点，∴AC⊥EF.∵AB＝BC，∴AC⊥BE，∴AC⊥平面 BEF.
(2)解：由(1)知 AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC1.又 CC1⊥平面 ABC，∴EF⊥平面 ABC.∵BE⊂平面 ABC，∴EF⊥BE.
如图 8-7-7 建立空间直角坐标系 E-xyz.图 8-7-7
(3)证明：平面 BCD 的法向量为 n＝(2，－1，－4)，∵G(0,2,1)，F(0,0,2)，
∴GF 与平面 BCD 不平行且不在平面 BCD 内，∴GF 与平面 BCD 相交.
如图 8-7-8，已知多面体 P-ABCDE 的底面 ABCD 是边长为2 的菱形，PA ⊥底面 ABCD，ED∥PA ，且 PA ＝2ED＝2.
(1)证明：平面 PAC ⊥平面 PCE；
(2) 若直线 PC 与平面 ABCD 所成的角为 45° ，求二面角
P-CE-D 的余弦值.
(1)证明：如图 D98，连接 BD，交 AC 于点 O，设 PC 中点
为 F，连接 OF，EF.
∵O，F 分别为 AC，PC 的中点，
∴OF∥DE，且 OF＝DE.
∴四边形 OFED 为平行四边形，∴OD∥EF，即 BD∥EF.
∵PA ⊥平面 ABCD，BD⊂平面 ABCD，∴PA ⊥BD.
∵四边形 ABCD 是菱形，∴BD⊥AC.∵PA ∩AC＝A，∴BD⊥平面 PAC .∵BD∥EF，∴EF⊥平面 PAC .
∵EF⊂平面 PCE，∴平面 PAC ⊥平面 PCE.
(2)解法一：∵直线 PC 与平面 ABCD 所成角为 45°，∴∠PCA＝45°，∴AC＝PA ＝2，
∴AC＝ ，∴ABABC 为等边三角形.
设 BC 的中点为 M，连接 AM，则 AM⊥BC.
以 A 为原点，直线 AM，AD，AP 分别为 x，y，z 轴，建立
空间直角坐标系 A-xyz(如图 D99).
解法二：∵直线 PC 与平面 ABCD 所成的角为 45°，且 PA ⊥平面 ABCD，∴∠PCA＝45°，∴AC＝PA ＝2.∵AB＝BC＝ ，∴2ABC 为等边三角形.∵PA ⊥平面 ABCD，由(1)知 PA ∥OF，∴OF⊥平面 ABCD.
∵OB⊂平面 ABCD，OC⊂平面 ABCD，∴OF⊥OB 且 OF⊥OC.
在菱形 ABCD 中，OB⊥OC.
以点 O 为原点，直线 OB，OC，OF 分别为 x，y，z 轴，建
立空间直角坐标系 O-xyz(如图 D100).
1.异面直线所成的角与其方向向量的夹角：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；否则向量夹角的补角是异面直线所成的角.
2.二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量 n1，n2 时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量 n1，n2 的夹角是相等，还是互补.