高考数学二轮专题训练高考大题专项练6立体几何b组课件

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1.如图,已知△ABC内接于圆O,AB是圆O的直径,四边形DBCE为平行四边形,F是CD的中点,(1)证明:OF∥平面ADE;(2)若四边形DBCE为矩形,且四边形DBCE所在的平面与圆O所在的平面互相垂直,AB=2AC=2,AE与圆O所在的平面的线面角为60°,求二面角D-AE-B的平面角的余弦值.
【解析】(1)连接BE,因为四边形DBCE为平行四边形且F为CD中点,所以F为BE中点,又因为O为AB的中点,所以OF∥AE,因为AE⊂平面ADE,OF⊄平面ADE ,所以OF∥平面ADE.
(2)因为矩形DBCE⊥平面ABC,平面DBCE∩平面ABC=BC,EC⊥BC,EC⊂平面DBCE,所以EC⊥平面ABC, 又因为AB为圆O的直径,所以AC⊥BC,所以CA,CB,CE两两垂直.所以以C点为原点,CA,CB,CE所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.因为AB=2AC=2,所以BC= ,AC=1,由EC⊥平面ABC得∠EAC就是AE与平面ABC所成的角,由tan 60°= 得,CE= ,所以A(1,0,0),E(0,0, ),D(0, , ),B(0, ,0),所以 =(-1,0, ), =(-1, , ), =(-1, ,0) .
设平面AED的一个法向量m=(x1,y1,z1),由m⊥ ,m⊥ ,得m· =0,m· =0,即 取z1=1,所以m=( ,0,1),同理可得,平面AEB的一个法向量n=( ,1,1),所以cs= .所以二面角D-AE-B的平面角的余弦值为 .
2.在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,BD⊥DC,点E是BC的中点.将△ABD沿BD折起,使AB⊥AC,连接AE,AC,DE,得到三棱锥A-BCD.(1)求证:平面ABD⊥平面BCD;(2)若AD=1,二面角C-AB-D的余弦值为 ,求二面角B-AD-E的正弦值.
【解析】(1)因为AB⊥AD,AB⊥AC,AD∩AC=A,所以AB⊥平面ACD,因为CD⊂平面ACD,所以CD⊥AB,因为CD⊥BD,AB∩BD=B,所以CD⊥平面ABD,因为CD⊂平面BCD,所以平面ABD⊥平面BCD.
(2)AB⊥AD,AB⊥AC,所以二面角C-AB-D的平面角即为∠CAD.由(1)可知,CD⊥平面ABD.在Rt△CAD中,cs∠CAD= ,AD=1,故AC= ,平面图形中,设AB=x,则BD= ,易知Rt△ABD,Rt△DCB相似,得到 ,即 ,解得x= ,所以AB= ,BD= .
方法一:以DB,DC所在直线为x,y轴,过点D作平面BCD的垂线,以其为z轴,建立空间直角坐标系,易得A ,B( ,0,0),C(0, ,0),E ,平面ABD的一个法向量为m=(0,1,0),
设平面ADE的一个法向量n=(x,y,z), 令x= ,则y=-1,z=-1,所以n=( ,-1,-1),设所求二面角大小为θ,cs= ,所以sin θ= ,即二面角B-AD-E的正弦值为 .
方法二:取BD中点F,连接EF,因为EF与CD平行,故EF垂直于平面ABD,过点F作FQ与AD垂直,垂足为点Q,连接QE.因为EF垂直于平面ABD,AD在平面ABD内,故EF与AD垂直.所以AD⊥平面QEF,所以AD⊥QE,