高考数学二轮专题训练高考大题专项练15函数与导数c组课件

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1.已知函数f(x)=ex+ln(x+1)+asin x.(1)当a=0时,求f(x)在(0,f(0))处的切线方程;(2)若f(x)≥1对任意x∈[0,π]恒成立,求实数a的取值范围.
【解析】(1)当a=0时,f(x)=ex+ln(x+1),所以f(0)=1,因为f′(x)= ,所以所求切线的斜率k=f′(0)=e0+1=2,所以f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y=2x+1.(2)因为当x∈[0,π]时,f(x)=ex+ln(x+1)+asin x≥1成立.当a≥0时, 因为x∈［0,π］,所以sin x≥0,所以f(x)=ex+ln(x+1)+asin x≥ex+ln(x+1)≥1,所以f(x)≥1.当a<0时, f′(x)=ex+ +acs x,
令g(x)=ex+ +acs x,则g′(x)=ex- -asin x,因为当x∈[0,π]时,ex≥1, ≤1,-asin x≥0,所以g′(x)≥0,所以g(x)在[0,π]上单调递增,即f′(x)在[0,π]上单调递增,又f′(0)=2+a,①当 a≥-2时,f′(x)≥f′(0)=2+a≥0,所以 f(x)在x∈[0,π]上单调递增;又f(0)=1,所以f(x)≥f(0)=1恒成立,
②当a<-2时,因为g(0)=2+a<0,g(π)>0,所以g(0)·g(π)<0,即f′(0)·f′(π)<0,因为f′(x)在[0,π]上单调递增,所以存在唯一的零点x0∈(0,π),使得f′(x)=0,所以当x∈(0,x0)时,f′(x)<0,所以 f(x)在x∈[0,x0]上单调递减,f(x0)2.已知函数f(x)=aexln x,(其中e=2.718 28…是自然对数的底数),g(x)=x2+xln a,a>0.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)设函数h(x)=g(x)-f(x),若h(x)>0对任意的x∈(0,1)恒成立,求实数a的取值范围.
【解析】(1)因为f(x)=aexln x,所以f′(x)=aex ,x∈ .令k(x)=ln x+ ,则k′(x)= ,当x∈(0,1)时,k′(x)<0,函数k(x)单调递减;当x∈ 时,k′(x)>0,函数k(x)单调递增.所以k(x)≥k(1)=1>0,又因为a>0,ex>0,所以f′(x)>0,f(x)在定义域 上单调递增.
(2)由h(x)>0得g(x)-f(x)>0,即aexln x0,函数H(x)单调递增,且当x∈ 时,H(x)>0,当x∈ 时,H(x)<0,若aex≥1>x,则H ≥0>H(x),