高考数学二轮专题训练2.32课时突破立体几何解答题第2课时空间角空间距离的计算问题课件

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考向一　利用空间向量计算异面直线所成的角与线面角命题角度1　求异面直线所成的角【典例】1.已知正四面体ABCD中,所有的棱长为4,点O是△ABC的中心,将△DAO绕直线DO旋转一周,则在旋转过程中,求直线DA与直线BC所成角的余弦的最大值.
【解析】因为 又因为点O是△ABC的中心,所以OD⊥BC,所以 =0,所以因为 当且仅当 ∥ ,且 与 同向时取等号.设 与 所成角为θ,
所以所以cs θ≤ ,所以直线DA与直线BC所成角的余弦的最大值是 .
2.(2020·新乡一模)如图,在正四棱锥V-ABCD中,二面角V-BC-D为60°,E为BC的中点.(1)证明:BC=VE;(2)已知F为直线VA上一点,且F与A不重合,若异面直线BF与VE所成角为60°,求
【解析】(1)设V在底面的射影为O.则O为正方形ABCD的中心,如图,连接OE,因为E为BC的中点,所以OE⊥BC.在正四棱锥V-ABCD中,VB=VC,则VE⊥BC,所以∠VEO为二面角V-BC-D的平面角,则∠VEO=60°.在Rt△VOE中,VE=2OE,又AB=BC=2OE,所以BC=VE.
(2)取AB的中点G,以O为坐标原点,分别以 为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系O-xyz,设AB=2,则V(0,0, ),E(0,1,0),B(1,1,0),A(1,-1,0), =(1,-1,- ), =(1,1,- ), =(0,1,- ).设 =λ (λ≠1),则 = - =(λ-1,-λ-1,- λ+ ),
从而|cs< , >|= = =cs 60°,整理得λ2+10λ-11=0,解得λ=-11(λ=1舍去),故 =11.
命题角度2　求线面角【典例】(2020·新高考全国Ⅰ卷)如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD⊥底面ABCD,设平面PAD与平面PBC的交线为l.(1)证明:l⊥平面PDC;(2)已知PD=AD=1,Q为l上的点,求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.
【解析】(1)因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥AD.又底面ABCD为正方形,所以AD⊥DC,又DC∩PD=D,DC,PD⊂平面PDC,所以AD⊥平面PDC.因为AD∥BC,AD⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,所以AD∥平面PBC,由平面PAD与平面PBC的交线为l,可得l∥AD.因此l⊥平面PDC.
(2)以D为坐标原点, 的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.则D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,1), =(0,1,0), =(1,1,-1).由(1)可设Q(a,0,1),则 =(a,0,1),设n=(x,y,z)是平面QCD的一个法向量,则 即 可取n=(-1,0,a).所以
设PB与平面QCD所成角为θ,则sin θ= 因为 ,当且仅当a=1时等号成立,所以PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为 .
【探究延伸】本例条件不变,求NB1与平面MB1D所成的角的正弦值.【解析】由例题解析知M(1,0,2),B1(0, ,3),D(0,0,0),N(-1, ,2).所以 =(1,0,1), , ,设NB1与平面MB1D所成的角为α,平面MB1D的一个法向量m= ,则 所以 所以可取m= ,所以sin α=
【素养提升】向量法求异面直线所成的角的关注点(1)公式:设异面直线m,n所成的角为θ,a,b分别是异面直线m,n的方向向量,则cs θ= ;(2)关键:找出两异面直线的方向向量;(3)提醒:两条异面直线所成角的范围是 ,而两向量的夹角的范围是 ,应注意加以区分.
【变式训练】1.(2020·石家庄二模)已知三棱锥P-ABC中,△ABC为等腰直角三角形,AB=AC=1,PB=PC= ,设点E为PA中点,点D为AC中点,点F为PB上一点,且PF=2FB.(1)证明:BD∥平面CEF;(2)若PA⊥AC,求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.
【解析】(1)如图.连接PD交CE于G点,连接FG,因为点E为PA的中点,点D为AC的中点,所以点G为△PAC的重心,则PG=2GD,因为PF=2FB,所以FG∥BD,又因为FG⊂平面CEF,BD⊄平面CEF,所以BD∥平面CEF;
(2)因为AB=AC,PB=PC,PA=PA,所以△PAB≌△PAC,因为PA⊥AC,所以PA⊥AB,可得PA=2,又因为AB⊥AC,则以AB,AC,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系A-xyz,
则A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2),E(0,0,1), =(-1,1,0), =(-1,0,2), =(0,-1,1).设平面PBC的一个法向量为n=(x,y,z),由 取z=1,得n=(2,2,1).设直线CE与平面PBC所成角为θ,则sin θ=所以直线CE与平面PBC所成角的正弦值为 .
2.(2020·潍坊二模)如图(1)五边形ABCDE中,ED=EA,AB∥CD,CD=2AB,∠EDC=150°,将△EAD沿AD折到△PAD的位置,得到四棱锥P-ABCD,如图(2),点M为线段PC的中点,且BM⊥平面PCD.(1)求证:平面PAD⊥平面ABCD;(2)若直线PC与AB所成角的正切值为 ,求直线BM与平面PDB所成角的正弦值.
【解析】(1)取PD的中点N,连接AN,MN,则MN∥CD,MN= CD.又AB∥CD,AB= CD,所以MN∥AB,MN=AB,则四边形ABMN为平行四边形,所以AN∥BM,又BM⊥平面PCD,所以AN⊥平面PCD,所以AN⊥PD,AN⊥CD.由ED=EA,即PD=PA及N为PD的中点,可得△PAD为等边三角形,所以∠PDA=60°,又∠EDC=150°,所以∠CDA=90°,所以CD⊥AD,所以CD⊥平面PAD,CD⊂平面ABCD,所以平面PAD⊥平面ABCD.
(2)AB∥CD,所以∠PCD为直线PC与AB所成的角,由(1)可得∠PDC=90°,所以tan∠PCD= ,所以CD=2PD,设PD=1,则CD=2,PA=AD=AB=1,取AD的中点O,连接PO,过O作AB的平行线,可建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则
所以所以 =(1,1,0), 设n=(x,y,z)为平面PBD的法向量,则 取x=3,则 为平面PBD的一个法向量,因为则直线BM与平面PDB所成角的正弦值为 .
【加练备选】(2020·日照一模)如图,已知四边形ABCD为等腰梯形,BDEF为正方形,平面BDEF⊥平面ABCD,AD∥BC,AD=AB=1,∠ABC=60°.(1)求证:平面CDE⊥平面BDEF;(2)点M为线段EF上一动点,求BD与平面BCM所成角正弦值的取值范围.
【解析】(1)在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=1,∠ABC=60°,所以∠BAD=∠CDA=120°,∠ADB=30°,∠CDB=90°.即BD⊥CD.又因为平面BDEF⊥平面ABCD,平面BDEF∩平面ABCD=BD,CD⊂平面ABCD,所以CD⊥平面BDEF,因为CD⊂平面CDE,所以平面CDE⊥平面BDEF.
(2)由(1)知,分别以直线DB,DC,DE为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设EM=m(0≤m≤ ),则 设平面BMC的法向量为 所以
令x= ,则y=3,z= -m,所以平面BMC的一个法向量为n=( ,3, -m).设BD与平面BCM所成角为θ,所以所以当m=0时,取最小值 ,当m= 时,取最大值 ,故BD与平面BCM所成角正弦值的取值范围为 .
考向二　求二面角(规范解答)【典例】(2020·全国Ⅰ卷)如图,D为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心,AE为底面直径,AE=AD.△ABC是底面的内接正三角形,P为DO上一点,PO= DO.(1)证明:PA⊥平面PBC;(2)求二面角B-PC-E的余弦值.
【思维流程图】(1)设出圆O的半径→各线段的长度→PA⊥PC,PA⊥PB→PA⊥平面PBC;(2)建系,写坐标→求出平面PBC及平面PCE的法向量→二面角B-PC-E的余弦值.
【规范解答】(1)不妨设圆O的半径为1,OA=OB=OC=1,AE=AD=2,AB=BC=AC= ,DO= ……………………………………………………………………3分在△PAC中,PA2+PC2=AC2,故PA⊥PC,同理可得PA⊥PB,又PB∩PC=P,故PA⊥平面PBC.………………………………………………6分
(2)建立如图所示的空间直角坐标系,则有故 …………………………8分
设平面PBC的法向量为m=(x,y,z),则 可取m=(0, ,1),同理可求得平面PCE的法向量为n=( ,- ,-2 ),………………10分故cs= 由图知二面角B-PC-E为锐角,所以二面角B-PC-E的余弦值为 .……………………………………………………………………………………12分
【素养提升】求二面角的常用方法1.几何方法:一找二证三计算,即先找出二面角的平面角,再证明(一、二往往同时进行),最后在三角形内计算.2.空间向量法:求两个平面的法向量,利用两向量的夹角公式求解.
【变式训练】1.如图,在三棱锥P-ABC中,已知AC=2,AB=BC=PA= ,顶点P在平面ABC上的射影为△ABC的外接圆圆心.(1)证明:平面PAC⊥平面ABC;(2)若点M在棱PA上, =λ,且二面角P-BC-M的余弦值为 ,试求λ的值.
【解析】(1)如图,设AC的中点为O,连接PO, 由题意,得BC2+AB2=AC2,则△ABC为直角三角形,点O为△ABC的外接圆圆心. 又点P在平面ABC上的射影为△ABC的外接圆圆心,所以PO⊥平面ABC, 又PO⊂平面PAC,所以平面PAC⊥平面ABC.
(2)由(1)可知PO⊥平面ABC,所以PO⊥OB,PO⊥OC,OB⊥AC,于是以OC,OB,OP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则O(0,0,0),C(1,0,0),B(0,1,0),A(-1,0,0),P(0,0,1),由题意知 =λ ,λ∈[0,1], =(1,0,1),M(λ-1,0,λ), =(1,-1,0), =(1,0,-1), =(2-λ,0,-λ).
设平面MBC的法向量为m=(x1,y1,z1),则 得 令x1=1,得y1=1,z1= ,即设平面PBC的法向量为n=(x2,y2,z2),由 得 令x2=1,得y2=1,z2=1,即n=(1,1,1),
cs= 解得λ= ,M ,即M为PA的中点.
2.(2020·泰安一模)在四边形ABCP中,AB=BC= ,∠P= ,PA=PC=2;如图,将△PAC沿AC边折起,连接PB,使PB=PA.(1)求证:平面ABC⊥平面PAC;(2)若F为棱AB上一点,且AP与平面PCF所成角的正弦值为 ,求二面角F-PC-A的大小.
【解析】(1)在△PAC中,PA=PC=2,∠P= ,所以△PAC为正三角形,且AC=2,在△ABC中,AB=BC= ,所以△ABC为等腰直角三角形,且AB⊥BC,取AC的中点O,连接OB,OP,所以OB⊥AC,OP⊥AC,因为OB=1,OP= ,PB=PA=2,所以PB2=OB2+OP2,所以OP⊥OB,因为OP∩AC=O,AC,OP⊂平面PAC,所以OB⊥平面PAC.因为OB⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面PAC.
(2)以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则A(0,-1,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0, ), =(1,1,0), =(0,1, ), =(0,-1, ), =(0,-2,0),设 (0= 所以sin< ,n>= 所以,二面角B-B1E-D的正弦值为 .
(3)依题意, =(-2,2,0).由(2)知n=(1,-1,2)为平面DB1E的一个法向量,于是cs< ,n>= 所以,直线AB与平面DB1E所成角的正弦值为 .
4.(2020·德州一模)如图,在四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD= AD,E,M分别为棱AD,PD的中点,PA⊥CD.(1)证明:平面MCE∥平面PAB;(2)若二面角P-CD-A的大小为45°,求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.
【解析】(1)因为点E为AD的中点,BC= AD,AD∥BC,所以四边形ABCE为平行四边形,即EC∥AB.因为E,M分别为棱AD,PD的中点,EM∥AP.EM∩EC=E,所以平面MCE∥平面PAB.
(2)如图所示. 因为PA⊥AB,PA⊥CD,AB与CD为相交直线,所以AP⊥平面ABCD,不妨设AD=2,则BC=CD= AD=1.
以与AD垂直的直线为x轴,AD所在直线为y轴,AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系,设AP=h,A(0,0,0),D(0,2,0),C(-1,2,0),P(0,0,h),从而 面PCD的法向量记为m= 则 令y1=1,则z1= ,m=
又面ACD的法向量为 二面角P-CD-A的大小为45°. 解得h=2,所以 所以 设平面PCE的法向量为n=
令y2=2,则x2=2,z2=1.所以n= .设直线PA与平面PCE所成角为θ,则sin θ=
5.如图①:在平行四边形ABCD中,BD⊥CD,BE⊥AD,将△ABD沿对角线BD折起,使AB⊥BC,连接AC,EC,得到如图②所示三棱锥A-BCD.(1)证明:BE⊥平面ADC;(2)若ED=1,二面角C-BE-D的平面角的正切值为 ,求直线BD与平面ADC所成角的正弦值.
【解析】(1)在平行四边形ABCD中,BD⊥CD,则AB⊥BD.在三棱锥A-BCD中,因为AB⊥BC,BC∩BD=B.所以AB⊥平面BCD,所以AB⊥CD.又BD⊥CD,AB∩BD=B,所以CD⊥平面ABD.又BE⊂平面ABD,所以CD⊥BE.因为BE⊥AD,AD∩CD=D,所以BE⊥平面ADC.(2)由(1)知BE⊥平面ADC,因为EC⊂平面ADC,所以BE⊥EC,又BE⊥ED,所以∠DEC即为二面角C-BE-D的平面角,即tan∠DEC=
因为CD⊥平面ABD,AD⊂平面ABD.所以CD⊥AD,故tan∠DEC= 又ED=1.所以AB=CD= .在平行四边形ABCD,∠ADB=∠DBC,∠BED=∠BDC=90°,所以△DEB与△BDC为相似三角形,则 设BD=m(m>0),解得BC= 故 解得m= ,所以BD= ,BC=3.
过点D作DF∥AB,以D为坐标原点, 的方向为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图所示.则D(0,0,0),A( ,0, ),C(0, ,0),B( ,0,0),所以 设平面ADC的法向量为n=(x,y,z),
得n=(2 ,0,- ).设直线BD与平面ADC所成角为θ,sin θ=|cs< ,n>|= 即直线BD与平面ADC所成角的正弦值为 .
6.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AD∥BC,AB=BC=PA=1,AD=2,∠PAD=∠DAB=∠ABC=90°,点E在棱PC上,且CE=λCP.(1)求证:CD⊥AE;(2)是否存在实数λ,使得二面角C-AE-D的余弦值为 ?若存在,求出实数λ的值;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)过点C作CF∥AB交AD于点F,因为AB=BC=1,AD=2,∠DAB=∠ABC=90°,AD∥BC,所以四边形ABCF为正方形,且AF=FD=1,AC= .在Rt△CFD中,CD= ,在△ACD中,因为CD2+AC2=4=AD2,所以CD⊥AC.因为∠PAD=90°,所以PA⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD.因为PA,AC⊂平面PAC,且PA∩AC=A,所以CD⊥平面PAC,所以CD⊥AE.
(2)因为∠PAD=90°,所以PA⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以PA⊥平面ABCD.所以PA⊥CD,PA⊥AB,以点A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系,A(0,0,0),P(0,0,1),C(1,1,0),D(0,2,0), =(-1,1,0), =(0,2,0), 假设存在实数λ使得二面角C-AE-D的余弦值为 ,
因为点E在棱PC上,所以λ∈[0,1].设E(x,y,z),因为 所以(x-1,y-1,z)=λ(-1,-1,1),所以E(1-λ,1-λ,λ),则 =(1-λ,1-λ,λ),因为CD⊥平面PAC,所以平面AEC的一个法向量为n= =(-1,1,0),设平面AED的一个法向量为m=(x1,y1,z1),