【暑假分层作业】第08练 二元一次方程组及其解法-2022年七年级数学（人教版）（答案及解析）

这是一份【暑假分层作业】第08练 二元一次方程组及其解法-2022年七年级数学（人教版）（答案及解析），共22页。试卷主要包含了二元一次方程，二元一次方程组的定义，二元一次方程组的解法等内容，欢迎下载使用。
第08练 二元一次方程组及其解法


知识点一、二元一次方程：
（1）二元一次方程的定义
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程
（2）二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
（3）二元一次方程有无数解．求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．

知识点二、二元一次方程组的定义：
（1）二元一次方程组的定义：
由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．
（2）二元一次方程组也满足三个条件：
①方程组中的两个方程都是整式方程．
②方程组中共含有两个未知数．
③每个方程都是一次方程．

知识点三、二元一次方程组的解法：
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用{x=ax=b的形式表示．






















一、单选题
1．方程组的解是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由2x-y=5可得y=2x-5，将方程y=2x-5代入方程3x＋4y＝2进行求解，得到x的值，再将x的值代入y=2x-5求解即可．
【详解】
解：由2x-y=5可得y=2x-5
将方程y=2x-5代入方程3x＋4y＝2得：3x＋4（2x-5）＝2，
解得：x＝2，
将x＝2代入方程y=2x-5得：y=2×2-5=-1，
∴该方程组的解为
故选：B．
【点睛】
此题考查了二元一次方程组的求解能力，关键是能根据题目选择合适的消元方法进行计算．
2．已知关于x，y的方程组的解为，则关于方程组的解为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
将方程组变形，结合题意得出，即可求出x，y的值．
【详解】
解：方程组变形为，
设则，
和的方程组的解是，
∴，
，
解得，故A正确．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．弄清题意是解本题的关键．
3．若二元一次联立方程式的解为，则之值（       ）
A． B． C．7 D．13
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出二元一次方程组的解，然后代入代数式求解即可．
【详解】
解：解方程组
得
因为二元一次方程组的解为，
所以a=1，b=12，
所以a+b=13．
故选D．
【点睛】
题目主要考查解二元一次方程组，求代数式的值，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题关键．
4．已知关于，的方程组的解互为相反数，则的值为（       ）
A．63 B．7 C．－7 D．－63
【答案】D
【解析】
【分析】
根据相反数的定义得到x=-y，代入第一个方程求出x、y的值，再代入第二个方程求出m．
【详解】
解：∵方程组的解互为相反数，
∴x=-y，
∵3x+4y=7，
∴-3y+4y=7，得y=7，
∴x=-7，
∴m=5x-4y=-35-28=-63，
故选：D．
【点睛】
此题考查了解二元一次方程组的解法，正确理解题意得到x=-y是解题的关键．
5．已知关于，的方程组，则下列结论中正确的是：①当时方程组的解是方程的解；②当时，；③当，则a的值为1或；④不论a取什么实数，的值始终不变．（       ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】B
【解析】
【分析】
①把a看作已知数表示出方程组的解，把代入求出x与y的值，代入方程检验即可；
②令求出a的值，即可作出判断；
③把x与y代入中计算得到结果，判断即可；
④令求出a的值，判断即可．
【详解】
解：，
据题意得：，
解得：，
把代入方程得：，
当时，，，
把，代入得：左边，右边，
所以，是方程的解，故①正确；
当时，，
即，故②正确；
当时，，即或3，故③错误
，无论a为什么实数，的值始终不变为-9，故④正确．
∴正确的结论是：①②④，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．如果是方程组的解，则a2008+2b2008的值为（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
将方程组的解代入方程组可得关于a、b的二元一次方程组，再求解方程组即可求解．
【详解】
解：∵是方程组的解，
∴，
①＋②得，a＝1，
将a＝1代入①得，b＝1，
∴a2008＋2b2008＝1＋2＝3，
故选：C．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组是解题的关键．

二、填空题
7．对于实数，规定新运算：，其中是常数．若，，则= ___________．
【答案】9
【解析】
【分析】
先根据题意得到关于a、b的二元一次方程组，求出a、b的值，然后根据进行求解即可．
【详解】
解：由题意得：，
解得，
∴，
故答案为：9．
【点睛】
本题主要考查了新定义下的实数运算，解二元一次方程组，正确理解题意求出a、b的值是解题的关键．
8．若x＝a，y＝b是方程组的解，则______．
【答案】3
【解析】
【分析】
先解方程组求出x和y的值，然后代入计算即可．
【详解】
解：，
①+②×4，得
11x=22，
∴x=2．
把代入②，得
4-y=5，
∴y=-1，
∵x＝a，y＝b是方程组的解，
∴a=2，b=-1，
∴4-1=3．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了加减消元法求解二元一次方程组，需要注意的是运用这种方法需满足其中一个未知数的系数相同或互为相反数，若不具备这种特征，则根据等式的性质将其中一个方程变形或将两个方程都变形，使其具备这种形式．
9．若与互为相反数，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意，得到，然后利用非负数的性质，求出x、y的值，再代入计算，即可得到答案．
【详解】
解：∵与互为相反数，
∴，
∴，，
联合两个方程，解得，
∴
故答案为：-1．
【点睛】
本题考查了相反数的定义，绝对值的非负性，解题的关键是熟练运用非负数的性质进行解题．
10．如图，在平面直角坐标系中，对正方形及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一种实数，将得到的点先向右平移个单位，再向上平移个单位（，），得到正方形及其内部的点，其中点，的对应点分别为，，则______，______，______．若正方形内部的一个点经过上述操作后得到的对应点与点重合，则点的坐标为______．

【答案】，，2，（1，4）
【解析】
【分析】
首先根据点A到，B到的点的坐标可得方程组，，解可得a、m、n的值，设F点的坐标为(x，y)，点、点F重合可列出方程组，再解可得F点坐标．
【详解】
解：将点A(-3，0)的横、纵坐标都乘以实数a，再将得到的点向右平移m个单位，向上平移n个单位后的坐标为：（- 3a + m， n），
又知点的坐标为（-1，2），
∴，
解得，
将点B (3，0)的横、纵坐标都乘以实数a，再将得到的点向右平移m个单位，向上平移n个单位后的坐标为：（3a + m，n），
又知点的坐标为（2，2），
∴，
①+②得：2m= 1，
解得，
将代入②得：，
解得，
∴正方形进行的操作为：把每个点的横、纵坐标都乘以实数，再将得到的点向右平移个单位，向上平移2个单位，
设点F的坐标为（x，y），依题意得，
解得，
∴点F的坐标为（1，4）．
故答案为：，，2，（1，4）．
【点睛】
此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，根据点的坐标列出方程组．
11．对于x、y定义一种新运算“※”：，其中a、b为常数，等式右边是通常的加法和乘法的运算，已知，，那么_______．
【答案】13
【解析】
【分析】
利用题中的新定义化简已知等式求出a与b的值，即可确定出所求．
【详解】
解：根据题中的新定义得：，
①×2﹣②得：7a=35，
解得：a=5，
把a=5代入①得：b=1，
则2×5+3×1=13．
故答案为13．
【点睛】
本题考查了解二元一次方程组，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
12．已知关于x，y的二元一次方程组有下列说法：①当x与y相等时，解得k＝﹣4；②当x与y互为相反数时，解得k＝3；③若4x•8y＝32，则k＝11；④无论k为何值，x与y的值一定满足关系式x＋5y＋12＝0，其中正确的序号是_____．
【答案】①②③④
【解析】
【分析】
用代入消元法先求出方程组的解，①根据x＝y列出方程，求出a即可判断；②根据互为相反数的两个数的和为0，列出方程，求出a即可判断；③把底数统一化成a，等式左右两边的底数相同时，指数也相同，得到x，y的方程，把方程组的解代入求出a；④在原方程中，我们消去a，即可得到x，y的关系．
【详解】
解：，
由②得：x＝2y+k+6③，
把③代入①中，得：y＝④，
把④代入③中，得：x＝，
∴原方程组的解为．
①当x与y相等时，x＝y，
即＝，
解得：k＝﹣4，
∴①正确；
②∵方程的两根互为相反数，
∴x+y＝0，
即+＝0，
解得：k＝3，
∴②正确；
③4x•8y＝32，
∴（22）x•（23）y＝25，
∴22x•23y＝25，
∴22x+3y＝25，
∴2x+3y＝5，
将方程组的解代入得：
2×+3×＝5，
解得：k＝11，
∴③正确；
④，
①﹣②×2得x+5y＝﹣12，
即x+5y+12＝0．
∴④正确．
综上所述，①②③④都正确．
故答案为：①②③④．
【点睛】
本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，解一元一次方程，熟练掌握用加减法求解二元一次方程组是解题的关键．
三、解答题
13．解二元一次方程组：．
【答案】
【解析】
【分析】
利用加减消元法即可求解．
【详解】
，
①×2+②得：5x=10，解得x=2；
将x=2代入①中，得y=-1,
∴方程组的解为：．
【点睛】
本题考查了解二元一次方程组的知识，掌握加减消元法、代入消元法是解答本题的关键．
14．解方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
利用两个整式加减消元或者代入消元来解二元一次方程组；
(1)

②式×3+①式得，x=3，
将x=3，代入①式得，y=，
故方程组的解为；
(2)

②式化简后得，4x-y=5 ③，
①式×3+③式得，x=2，
将x=2代入①得，y=3，
故方程组的解为．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握整式加减消元或代入消元是解题的关键．
15．北京冬奥会、冬残奥会期间，大批的大学生志愿者参与服务工作，为双奥的成功举办做出巨大贡献．同时，“绿色办奥”是北京冬奥会、冬残奥会四大办奥理念之一．期间，节能与清洁能源车辆占全部赛事保障车辆的84.9%，为历届冬奥会最高．冬奥会开幕式当天，北京大学组织本校全体参与开幕式活动的志愿者统一乘车去国家体育场鸟巢，若单独调配36座新能源客车若干辆，则有2人没有座位；若只调配22座新能源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位．
(1)计划调配36座新能源客车多少辆？北京大学共有多少名志愿者？
(2)若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？
【答案】(1)计划调配36座新能源客车6辆，北京大学共有218名志愿者；
(2)调配36座新能源客车3辆，调配22座新能源客车5辆．
【解析】
【分析】
（1）根据题意，找到等量关系式，列一元一次方程求解即可；
（2）由（1）得，志愿者有218人，根据题意，列二元一次方程，找整数解即可．
(1)
解：设计划调配36座新能源客车x辆，则调配22座新能源客车（x+4）辆，
由题意，得
36x+2=22（x+4）-2
解得x=6
则志愿者的人数为：36x+2=36×6+2=218
答：计划调配36座新能源客车6辆，北京大学共有218名志愿者．
(2)
解：设调配36座新能源客车a辆，则调配22座新能源客车b辆，
由题意，得
36a+22b=218
∴18a+11b=109
∵a，b为正整数
∴当a=3，b=5时， 既保证每人有座，又保证每车不空座
答：调配36座新能源客车3辆，调配22座新能源客车5辆．
【点睛】
本题考查一元一次方程和二元一次方程的实际应用，根据题意找到等量关系式是解决问题的关键．
16．将1到2021之间的所有奇数按顺序排成下图：

记Pmn表示第m行第n个数，如P23表示第2行第3个数是17．
(1)P45＝　 　；
(2)若Pmn＝2021，则m＝　 　，n＝　 　；
(3)将表格中的4个阴影格子看成一个整体（“T”字）并平移，所覆盖的4个数之和能否等于200？若能，求出4个数中的最大数；若不能，请说明理由．
【答案】(1)45；
(2)169，3；
(3)覆盖的4个数之和能等于200
【解析】
【分析】
（1）根据题意可知P45表示第4行第5个数，每行都有6个数，所有的数字都是奇数，然后即可计算出相应的值；
（2）根据题意，可以得到2[6（m﹣1）+n]﹣1＝2021，然后m为整数，1≤n≤6，即可得到m、n的值；
（3）先判断，然后设4个阴影格子中的数分别为2n﹣3、2n﹣1、2n+1、2n+11，即可列出相应的方程，然后求解即可说明理由．
(1)
解：（1）由题意可得，
P45＝2×（6×3+5）﹣1＝45，
故答案为：45；
(2)
解：∵Pmn＝2021，
∴2[6（m﹣1）+n]﹣1＝2021，
∴12m+2n﹣13＝2021，
∵m为正整数，1≤n≤6，
∴m＝169，n＝3，
故答案为：169，3；
(3)
解：所覆盖的4个数之和能等于200，
理由：设4个阴影格子中的数分别为2n﹣3、2n﹣1、2n+1、2n+11，
由题意可得（2n﹣3）+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n+11）＝200，
解得：n＝24，
∴所覆盖的4个数之和能等于200．
【点睛】
此题考查了数字类规律的运算，有理数的混合运算，解一元一次方程，正确理解数字的排列规律并应用是解题的关键．
17．对于任意的实数，，规定运算“”如下：．
(1)当，时，求的值；
(2)若，，求与的值．
【答案】(1)-5
(2)的值为2，的值为2
【解析】
【分析】
（1）根据规定运算“※”，进行计算即可解答；
（2）根据题意可得关于a，b的二元一次方程组，然后进行计算即可解答．
(1)
当a=3，b=4时，
∴1※（-2）
=3×1+4×（-2）
=3+（-8）
=-5，
∴1※（-2）的值为-5；
(2)
∵5※3=16，2※（-3）=-2，
∴，
①+②得：2a+5a=14
解得a=2，
把a=2代入①得：10+3b=16，
解得b=2，
∴原方程组的解为，
∴a的值为2，b的值为2．
【点睛】
本题考查了实数的运算，解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程的步骤，以及理解材料中规定的运算是解题的关键．
18．备解二元一次方程组，现系数“”印刷不清楚．
(1)李宁同学把“”当成3，请你帮助李宁解二元一次方程组；
(2)数学老师说：“你猜错了”，该题标准答案的结果x、y是一对相反数，你知道原题中“”是 ．
【答案】(1)
(2)5
【解析】
【分析】
（1）将方程组中的两个方程相加消掉未知数y，得到x的一元一次方程，求出x的值，把x的值代入第一个方程，求出y的值，即得方程组的解；
（2）用x-y=4与x+y=0组成方程组，求出x、y的值，把x、y的值代入*x+y=8，求出*的值．
(1)
，
①+②得，4x=12，
∴x=3，
把x=3代入①，得，3-y=4，
∴y=-1，
∴；
(2)
，
①+②，得，2x=4，
∴x=2，
把x=2代入①，得，2+y=0，
∴y=-2，
∴，
∴，
∴．
故答案为：5．
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程的解，解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程的解的定义，运用加减消元法解二元一次方程组，是解决问题的关键．








1．定义新运算：对于任意实数a，b都有a※b＝am－bn，等式右边是通常的减法和乘法运算．若3※2＝5，1※（－2）＝－1，则（－3）※1的值为（     ）
A．－2 B．－4 C．－7 D．－11
【答案】A
【解析】
【分析】
按照定义新运算的法则，先求出m和n的值，再把算式转化为有理数运算即可．
【详解】
解：根据题意，3※2＝5，1※（－2）＝－1，得，
，
解得，，
则（－3）※1=（-3）×1-1×（-1）=-2，
故选：A．
【点睛】
本题考查了定义新运算，二元一次方程组和有理数混合计算，解题关键是根据定义新运算法则把两个等式转化为二元一次方程组，求出m、n的值．

2．已知关于x，y的方程组给出下列结论：正确的有_____．（填序号）
①当时，方程组的解也是的解；②无论a取何值，x，y的值不可能是互为相反数；③x，y都为正整数的解有3对
【答案】①②
【解析】
【分析】
①将a=1代入方程组的解，求出方程组的解，即可做出判断；
②将a看做已知数求出方程组的解表示出x与y，即可做出判断；
③将a看做已知数求出方程组的解表示出x与y，即可判断正整数解；
【详解】
解关于x，y的方程组得
①当时，原方程组的解是，此时是的解，故①正确；
②原方程组的解是，∴，即无论a取何值，x，y的值不可能是互为相反数，故②正确；
③x，y都为正整数，则，解得，正整数解分别是当时，故只有两组，故③错误；
故答案为①②
【点睛】
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
3．阅读以下内容：
已知有理数m，n满足m+n＝3，且求k的值．
三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：
甲同学：先解关于m，n的方程组，再求k的值；
乙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求k的值；
丙同学：先解方程组，再求k的值．
（1）试选择其中一名同学的思路，解答此题；
（2）在解关于x，y的方程组时，可以用①×7﹣②×3消去未知数x，也可以用①×2+②×5消去未知数y．求a和b的值．
【答案】（1）见解析；（2）a和b的值分别为2，5．
【解析】
【分析】
（1）分别选择甲、乙、丙，按照提示的方法求出k的值即可；
（2）根据加减消元法的过程确定出a与b的值即可．
【详解】
解：（1）选择甲，，
①×3﹣②×2得：5m＝21k﹣8，
解得：m＝，
②×3﹣①×2得：5n＝2﹣14k，
解得：n＝，
代入m+n＝3得：＝3，
去分母得：21k﹣8+2﹣14k＝15，
移项合并得：7k＝21，
解得：k＝3；
选择乙，
，
①+②得：5m+5n＝7k﹣6，
解得：m+n＝，
代入m+n＝3得：＝3，
去分母得：7k﹣6＝15，
解得：k＝3；
选择丙，
联立得：，
①×3﹣②得：m＝11，
把m＝11代入①得：n＝﹣8，
代入3m+2n＝7k﹣4得：33﹣16＝7k﹣4，
解得：k＝3；
（2）根据题意得：，
解得：，
检验符合题意，
则a和b的值分别为2，5．
【点睛】
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
4．[阅读材料]
善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程变形：，
即，
把方程代入得：，
所以，
将代入得，
所以原方程组的解为．
[解决问题]
（1）模仿小明的“整体代换”法解方程组，
（2）已知x，y满足方程组，求的值．
【答案】（1）原方程组的解为；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据题意，利用整体的思想进行解方程组，即可得到答案；
（2）根据题意，利用整体的思想进行解方程组，即可得到答案．
【详解】
解：
将方程变形得:
把方程代入得:，
所以
将代入得，
所以原方程组的解为；
，
把方程变形，得到，
然后把代入，得，
∴，
∴；
【点睛】
本题考查了方程组的“整体代入”的解法．整体代入法，就是变形组中的一个方程，使该方程左边变形为另一个方程的左边的倍数加一个未知数的形式，整体代入，求出一个未知数，再代入求出另一个未知数．