物理必修 第三册3 电势差与电场强度的关系学案

电势差与电场强度的关系

必备知识·自主学习

一、电势差与电场强度的关系

(1)因为每个台阶都是一样高的,所以10×0.2 m=2 m就是两人的高度差(如图甲所示)。在匀强电场中能否用电场强度乘以距离得到两点间的电势差?

(2)如图乙是初中地理中的等高线图(图中数字的单位是m),请同学们结合图乙探究以下几个问题:

①小山坡的左边a和右边b哪一边的地势更陡些?

②如果把一个球从山坡左、右两边滚下(不考虑摩擦),哪边的加速度更大?

③现在把图乙看成是描述电势高低的等势线,图中数字的单位是V,a和b哪一边电势降落得快?哪一边的电场强度大?

提示:(1)不能。(2)①b　②b　③b　b

1.关系:在匀强电场中,两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向的距离的乘积。

2.关系式:U=Ed。

3.适用条件:匀强电场,d是沿电场方向两点间的距离。

二、从电势差的角度理解电场强度

1.表达式:E=。

2.物理意义:在匀强电场中,电场强度的大小等于两点间的电势差与两点沿电场强度方向的距离的比值。也就是说,电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势。

3.电场强度的另一个单位:伏每米,符号V/m,1 N/C=1 V/m。

(1)公式U=Ed适用于所有电场。 (×)

(2)由U=Ed可知,匀强电场中两点间的电势差与这两点的距离成正比。 (×)

(3)由公式E=可知,电场强度与电势差U成正比。 (×)

(4)匀强电场的电场强度值等于沿电场线方向每单位长度上的电势差值。 (√)

(5)在匀强电场中,任意两点间的电势差等于电场强度与这两点间距离的乘积。 (×)

关键能力·合作学习

知识点一　电势差与电场强度的关系

1.匀强电场中电场强度与电势差的关系:

(1)推导:如图所示的匀强电场中,把一点电荷q从A移到B,电场力做的功为WAB=qE··cosθ=qE·=qEd,因此,WAB=qUAB=qEd,则E=。

(2)结论:匀强电场中,电场强度等于沿电场强度方向每单位距离上的电势差。

2.应用U=Ed解决问题应注意以下五点:

(1)此式只适用于匀强电场,对非匀强电场可定性讨论。

(2)d是电场中两点在电场方向上的距离。

(3)由公式E=知,在匀强电场中,电场强度等于沿电场强度方向每单位距离上的电势差。

(4)单位“V/m”与“N/C”是相等的。

(5)公式说明了匀强电场中的电势分布是均匀的。

【典例】如图所示为一个水平的匀强电场,在电场内某水平面上作一个半径为

10 cm的圆,在圆周上取如图所示的A、B、C三点,已知A、B两点间电势差为

1 350 V。求匀强电场的电场强度大小。

【解析】由题图知A、B两点在匀强电场方向上的距离d=r+=0.15 m,所以匀强电场的电场强度E==9 000 V/m。

答案:9 000 V/m

(教材二次开发·P37【练习与应用】T2改编)如图所示,两平行金属板A、B间为一匀强电场,A、B相距10 cm,C、D为电场中的两点(其中C点在金属板A上),且CD=5 cm,CD连线和电场强度方向成60°角。已知匀强电场的电场强度E为2×104 V/m,方向竖直向下,求:

(1)电子从D点移到C点电场力做的功;

(2)若A板接地,D点电势为多少。

【解析】(1)由题意,D→C电场力做正功,W=qELCDcos60°=1.6×10-19

×2×104×5×10-2× J=8×10-17J

(2)A、D间电势差为UAD=ELCDcos60°=500 V,

由UAD=φA-φD,φA=0得φD=-500 V

答案:(1)8×10-17J　(2)-500 V

【加固训练】

如图所示,有竖直向下的匀强电场,A、B两等势面间距离为5 cm,电势差为25 V,在电场中P点固定放置电量为5×10-9 C的负点电荷,此时电场中有一点电场强度为零,此点在P点的              (　　)

A.上方30 cm处   B.下方30 cm处

C.上方25 cm处   D.下方25 cm处

【解析】选B。匀强电场的场强E== V/m=500 V/m,设距P点L处的电场强度为零,则k=9×109× V/m=500 V/m,故L=0.3 m,负点电荷在L处的电场竖直向上,该点在电场中P点的下方,B正确。

知识点二　匀强电场性质的应用

1.在匀强电场中,沿任意一个方向,电势降落都是均匀的,故在同一直线上相同间距的两点间电势差相等,如图甲AB=BC,则UAB=UBC。

2.在匀强电场中,相互平行且相等的线段两点间的电势差相等。如图乙AB∥CD且AB=CD,则UAB=UCD。

3.确定电场方向的方法:先由等分法确定电势相等的点,画出等势面(线),然后根据电场线与等势面(线)垂直画出电场线,且电场线的方向由电势高的等势面(线)指向电势低的等势面(线)。

【典例】 (多选)(2018·全国卷Ⅱ)如图,同一平面内的a、b、c、d四点处于匀强电场中,电场方向与此平面平行,M为a、c连线的中点,N为b、d连线的中点。一电荷量为q(q>0)的粒子从a点移动到b点,其电势能减小W1;若该粒子从c点移动到d点,其电势能减小W2。下列说法正确的是              (　　)

A.此匀强电场的场强方向一定与a、b两点连线平行

B.若该粒子从M点移动到N点,则电场力做功一定为

C.若c、d之间的距离为L,则该电场的场强大小一定为

D.若W1=W2,则a、M两点之间的电势差一定等于b、N两点之间的电势差

【解析】选B、D。由于题目没有说明W1、W2的数量关系,故无法确定各点的电势高低,无法确定等势线,也就无法确定场强方向,选项A错误。W1=qUab=q(φa-φb),W2=qUcd=q(φc-φd),匀强电场中M、N为ac和bd的中点,所以φM=,φN=,可得UMN=φM-φN==,WMN=qUMN=

q(φM-φN)=,选项B正确。无法确定电场强度是否沿cd方向,所以无法确定电场强度的大小是否为,选项C错误。若W1=W2,即Uab=Ucd,故φa-φb=φc-φd,所以φa-φc=φb-φd,又因为UaM=,UbN=,则UaM=UbN,选项D正确。

在匀强电场中,由公式U=Ed得出“一式二结论三拓展”

(1)一式:E==,其中d是沿电场线方向上的距离。

(2)二结论:

结论1:匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC=,如图甲所示。

结论2:匀强电场中若两线段AB∥CD,且AB=CD,则UAB=UCD(或φA-φB=φC-φD),如图乙所示。

(3)三拓展:

拓展1:在匀强电场中,不与电场线垂直的同一条直线上两点间的电势差与两点间的距离成正比。如图甲所示,有=。

拓展2:不在同一等势线上两点的电势差U=Elcosθ,U与两点间距离l成正比。

拓展3:在非匀强电场(如图乙所示)中,若AB=BC,有UAB>UBC。

1.如图所示是匀强电场中的一组等势面,若A、B、C、D相邻两点间的距离为2 cm,A和P点间的距离为1.5 cm,则该电场的电场强度E和P点的电势φP分别为 (　　)

A.500 V/m,-2.5 V   B. V/m,-2.5 V

C.500 V/m,2.5 V   D. V/m,2.5 V

【解析】选B。匀强电场中电势均匀降落,根据U=Ed,可求得φP=φA=-2.5 V,

E== V/m= V/m。故B正确。

2.(多选)(2020·滨州高二检测)如图所示,实线为电场线,虚线为等势线,且AB=BC,电场中A、B、C三点的电场强度分别为EA、EB、EC,电势分别为φA、φB、φC,AB、BC间的电势差分别为UAB、UBC,则下列关系中正确的有              (　　)

A.φA>φB>φC    B.EA>EB>EC

C.UAB<UBC     D.UAB=UBC

【解析】选A、C。沿电场线方向,电势越来越低,所以A点电势最高,C点电势最低,A正确;电场线越密集的地方电场强度越强,由题图可知,C点电场强度最强,A点电场强度最弱,B错误;由于BC间的电场强度大于AB间的电场强度,由U=Ed可知,UAB<UBC,C正确,D错误。

【加固训练】

如图所示,一电场的电场线分布关于y轴(沿竖直方向)对称,O、M、N是y轴上的三个点,且OM=MN。P点在y轴右侧,MP⊥ON。则下列说法正确的是              (　　)

A.M点的电势与P点的电势相同

B.将负点电荷由O点移动到P点,静电力做正功

C.M、N两点间的电势差大于O、M两点间的电势差

D.M、N两点间的电势差小于O、M两点间的电势差

【解析】选D。根据电场线和等势面的关系画出等势面,可以判断出M点的电势比P点的电势高,A错误;将负点电荷由O点移到P点,静电力做负功,B错误;由题图可知,OM间的电场强度大于MN间的电场强度,故根据U=Ed进行定性分析可知UMN<UOM,C错误,D正确。

【拓展例题】考查内容:等分法的综合应用

【典例】

(多选)一匀强电场的方向平行于xOy平面,平面内a、b、c三点的位置如图所示,三点的电势分别为10 V、17 V、26 V。下列说法正确的是 (　　)

A.电场强度的大小为2.5 V/cm

B.坐标原点处的电势为1 V

C.电子在a点的电势能比在b点的低7 eV

D.电子从b点运动到c点,电场力做功为9 eV

【解析】选A、B、D。如图所示,设ac之间的d点电势与b点相同,则==,所以d点的坐标为(3.5 cm,6 cm),过c点作等势线bd的垂线,由几何关系可得cf的长度为3.6 cm。 电场强度的大小E===2.5 V/cm,故A正确;因为Oacb是矩形,所以有Uac=UOb,解得坐标原点O处的电势为1 V ,故B正确;a点电势比b点电势低7 V,电子带负电,所以电子在a点的电势能比在b点的电势能高7 eV,故C错误;b点电势比c点电势低9 V,电子从b点运动到c点,电场力做功为9 eV,故D正确。

情境·模型·素养

天空中有两块乌云,它们之间的竖直距离为1.0×103 m,水平相距5.0×103 m。受气流影响,两块乌云均以10 m/s的速率沿水平方向互相靠近。

当一块乌云位于另一块乌云正下方时,云间电场强度达到1.0×106 V/m。若此时两块云间的电场可视为匀强电场,这时空气恰被击穿而变成导体,两块乌云通过空气放电,形成闪电。

探究:

(1)两块乌云即将放电时云间的电势差为多大?

(2)地面观察者看到闪电后8.0 s才听到雷声,则闪电发生点离观察者多远?(声音在空气中的传播速度约为340 m/s)

【解析】(1)当一块乌云位于另一块乌云正下方时,两块乌云间的距离为d=1.0×103 m。两块乌云间的电势差为:

U=Ed=1.0×106×1.0×103 V=1.0×109 V。

(2)光传播到地面所需的时间可以忽略不计,声音在空气中以3.4×102 m/s的速度传播,所以闪电发生点离观察者的距离为:s=vt=3.4×102 m/s×8.0 s=2.72×103 m

答案:(1)1.0×109 V　(2)2.72×103 m

如果空气中的电场很强,使得气体分子中带正、负电荷的微粒所受的相反的静电力很大,以至于分子破碎,于是空气中出现了可以自由移动的电荷,那么空气变成了导体。这种现象叫作空气的“击穿”。已知高铁上方的高压电接触网的

电压为27.5 kV,阴雨天时当雨伞伞尖周围的电场强度达到2.5×104 V/m时空气就有可能被击穿。

探究:乘客阴雨天打伞站在站台上时,伞尖与高压电接触网的安全距离至少为多少?

【解析】根据U=Ed可得安全距离至少为

dmin== m=1.1 m。

答案:1.1 m

课堂检测·素养达标

1.如图所示,a、b、c、d是匀强电场中的四个点,它们正好是一个矩形的四个顶点,电场线与矩形所在平面平行。已知a点的电势为20 V,b点的电势为24 V,d点的电势为4 V,由此可知c点的电势为 (　　)

A.4 V　　　　　 B.8 V

C.12 V    D.24 V

【解析】选B。在匀强电场中将某一线段等分的同时就将该线段两端的电势差等分,可将bd,ac连线,连线的交点的电势是b、d电势和的一半,也是a、c电势和的一半,已知a点的电势为20 V,b点的电势为24 V,d点的电势为4 V,那么对角线的交点电势就是14 V,也是a、c电势和的一半,那么c点的电势就是8 V,故B正确,A、C、D错误。

2.在光滑绝缘的水平面上,存在一个水平方向的范围足够大的匀强电场,电场强度大小为E,在水平面上有一个半径为R的圆周,其中PQ为直径,C为圆周上的一点。在O点将一带正电的小球以相同的速率向各个方向水平射出时,小球可以到达圆周的任何点,但小球到达C点时的速率最大。已知PQ与PC间的夹角为θ=30°,则关于该电场强度的方向及P、C两点间的电势差大小判断正确的是

(　　)

A.电场强度的方向为由O指向C,UPC=

B.电场强度的方向为由P指向C,UPC=

C.电场强度的方向为由O指向C,UPC=3ER

D.电场强度的方向为由P指向C,UPC=ER

【解析】选A。带正电小球从O到C,根据动能定理qUOC=ΔEk沿电场线方向电势降低最快,所以电场线从O指向C,如图

PM⊥OM,则PC沿电场线方向上的距离为CM=PC·cos30°=R·=R,沿电场线方向电势降低,则UPC=E·CM=,A正确,B、C、D错误。故选A。

3.(2020·济南高二检测)如图所示,实线为电场线,虚线表示等势面,φa=50 V,φc=20 V,则a、c连线的中点b的电势φb (　　)

A.等于35 V   B.大于35 V

C.小于35 V　　　 D.等于15 V

【解析】选C。由电场线的疏密可知,Ea>Eb>Ec,则a、b间的平均电场强度大于b、c间的平均电场强度,由公式U=Ed可以判断Uab>Ubc,所以φb<=35 V,则C正确,A、B、D错误。

4.(2020·济宁高二检测)一带正电的质点,电荷量为q=2.0×10-9 C,在静电场中由a点移到b点,在这一过程中,除电场力外,其他力做的功为6.0×10-5 J,质点的动能增加了8.0×10-5 J,则a、b两点间的电势差Uab为 (　　)

A.3.0×104 V　　　　　 B.1.0×104 V

C.4.0×104 V     D.7.0×104 V

【解析】选B。设此过程中,电场力对质点的功为Wab,由动能定理可知:W外+Wab=ΔEk

即Wab=ΔEk-W外=2.0×10-5 J

则a、b两点间的电势差为:Uab==1.0×104 V。

则B正确,A、C、D错误。

5.如图所示,水平放置的平行板电容器A、B间为一匀强电场,M、N为电场中的两点,其连线与两极板垂直,且MN=2 cm,已知电子在M点受到的电场力大小为2.4×10-15 N,方向指向A板,A板接地。

(1)求M、N两点的电势差;

(2)若M点距A板1 cm,电子在N点的电势能为多少?

【解析】(1)电子在M点时,根据电场强度的定义,有E=,代入数据解得E=1.5×104 N/C,所以M、N两点的电势差为:UMN=EdMN=300 V

(2)A、N的电势差为

UAN=EdAN=450 V

因A板的电势为φA=0 V,

所以根据UAN=φA-φN

解得φN=-450 V

电子在N点的电势能为

Ep=qφN=7.2×10-17 J

答案:(1)300 V　(2)7.2×10-17 J

　【加固训练】

为使带负电的点电荷q在一匀强电场中沿直线匀速地由A运动到B,必须对该电荷施加一个恒力F,如图所示,若AB=0.4 m,α=37°,q=-3×10-7 C,F=1.5×

10-4 N,A点电势φA=100 V(不计重力,sin37°=0.6,cos37°=0.8)

(1)静电力的大小和方向?

(2)q在由A到B的过程中电势能是怎样变化的?

【解析】(1)电荷受力如图:

由平衡知识可知,电荷所受静电力应与F方向相反,大小相同,故F′=F=1.5×

10-4 N。

(2)q在由A到B的过程中,静电力做负功,电势能增加。

答案:见解析