人教版 (2019)2 向心力学案

第2节　向心力

1．向心力

(1)定义：做匀速圆周运动的物体所受的总指向圆心的合力。

(2)方向：始终指向圆心，与线速度方向垂直。

(3)对于做匀速圆周运动的物体，物体的速度大小不发生改变，因此，所受合力只改变速度的方向。

(4)效果力：向心力由某个力或者几个力的合力提供，是根据力的作用效果命名的。

2．向心力的大小

(1)在探究向心力大小的表达式的实验中，为了研究向心力大小与物体的质量、速度和轨道半径的关系，运用的实验方法是控制变量法；现将小球分别放在两边的槽内，为探究小球受到的向心力大小与角速度大小的关系，做法是：在小球运动半径相等(填“相等”或“不相等”)的情况下，用质量相同(填“相同”或“不相同”)的钢球做实验。

(2)向心力大小的表达式：Fn＝mω2r或Fn＝m。

3．变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点

(1)变速圆周运动

变速圆周运动所受合力并不指向运动轨迹的圆心，合力一般产生两个方面的效果：

①合力F跟圆周相切的分力Ft，改变线速度的大小，Ft与v同向时，线速度越来越大，反向时线速度越来越小。

②合力F指向圆心的分力Fn，提供物体做圆周运动所需的向心力，改变线速度的方向。

(2)一般曲线运动

①定义：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动。

②处理方法：可以把曲线分割为许多很短的小段，质点在每小段的运动都可以看作圆周运动的一部分。这样，在分析质点经过曲线上某位置的运动时，就可以采用圆周运动的分析方法进行处理。

典型考点一　　　对向心力的理解

1．(多选)下列关于向心力的说法中，正确的是(　　)

A．物体由于做圆周运动而产生了一个向心力

B．向心力只改变做圆周运动物体的线速度的方向，不改变线速度的大小

C．做匀速圆周运动物体的向心力，一定等于其所受的合力

D．做匀速圆周运动物体的向心力是恒力

答案　BC

解析　力是改变物体运动状态的原因，因为有向心力物体才做圆周运动，而不是因为做圆周运动才产生向心力，故A错误；向心力始终与线速度方向垂直，只改变线速度的方向不改变线速度的大小，故B正确；在匀速圆周运动中，物体的向心力一定等于其所受的合力，但该力方向不断变化，是变力，故C正确，D错误。

典型考点二　　　向心力的来源

2．(多选)如图所示，用长为L的细线拴住一个质量为M的小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向的夹角为θ，关于小球的受力情况，下列说法中正确的是(　　)

A．小球受到重力、线的拉力和向心力三个力

B．向心力是线对小球的拉力和小球所受重力的合力

C．向心力的大小等于细线对小球拉力的水平分量

D．向心力的大小等于Mgtanθ

答案　BCD

解析　对于匀速圆周运动，向心力是物体实际受到的所有力的指向圆心的合力，受力分析时不能再说物体受到向心力，故A错误，B正确；再根据力的合成求出合力大小，故C、D正确。

典型考点三　　　实验探究向心力大小的表达式

3. 用如图所示的实验装置来探究小球做圆周运动所需向心力的大小Fn与质量m、角速度ω和半径r之间的关系，转动手柄使长槽和短槽分别随变速轮塔匀速转动，槽内的球就做匀速圆周运动。横臂的挡板对球的压力提供了向心力，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒下降，从而露出标尺，标尺上的红白相间的等分格显示出两个小球所受向心力的比值。请回答相关问题：

(1)在研究向心力的大小Fn与质量m、角速度ω和半径r之间的关系时我们主要用到了物理学中的________。

A．理想实验法    B．等效替代法

C．控制变量法    D．演绎法

(2)图中是在研究向心力的大小与________的关系。

A．质量m    B．角速度ω

C．半径r

(3)若图中标尺上红白相间的等分格显示出两个小球所受向心力的比值为1∶9，运用圆周运动知识可以判断与皮带连接的变速轮塔对应的半径之比为(　　)

A．1∶9    B．3∶1 

C．1∶3    D．1∶1

答案　(1)C　(2)B　(3)B

解析　(1)研究向心力Fn与质量m、角速度ω、半径r的关系，需要先控制某些量不变，研究另外两个物理量的关系，采用控制变量法，应选C。

(2)图中所展示的是两球质量相同，转动半径相同，皮带围绕在不同半径的转轮上，其角速度不同，验证的是向心力的大小与角速度ω的关系，应选B。

(3)由向心力公式Fn＝mω2r＝m2r，皮带速度v一定，球的转动半径r相同，两球质量m相同，则FnR2＝常数，变速轮塔对应的半径之比为3∶1，应选B。

典型考点四　　　向心力公式的理解和应用

4．(多选)如图所示，质量相等的A、B两物体紧贴在匀速转动的圆筒的竖直内壁上，随圆筒一起做匀速圆周运动，则下列关系中正确的有(　　)

A．线速度vA>vB

B．运动周期TA>TB

C．它们受到的摩擦力fA>fB

D．筒壁对它们的弹力NA>NB

答案　AD

解析　因为两物体做匀速圆周运动的角速度ω相等，又rA>rB，所以vA＝rAω>vB＝rBω，A正确；因为ω相等，所以周期T相等，B错误；因竖直方向物体受力平衡，有f＝mg，故fA＝fB，C错误；筒壁对物体的弹力提供物体做匀速圆周运动的向心力，所以NA＝mrAω2>NB＝mrBω2，D正确。

5．甲为游乐园中“空中飞椅”的游戏设施，它的基本装置是将绳子上端固定在转盘的边缘上，绳子的下端连接座椅，人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋。若将人和座椅看成一个质点，则可简化为如图乙所示的物理模型，其中P为处于水平面内的转盘，可绕竖直转轴OO′转动，设绳长l＝10 m，质点的质量m＝60 kg，转盘静止时质点与转轴之间的距离d＝4.0 m，转盘逐渐加速转动，经过一段时间后质点与转盘一起做匀速圆周运动，此时绳与竖直方向的夹角θ＝37°，不计空气阻力及绳重，且绳不可伸长，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10 m/s2，求质点与转盘一起做匀速圆周运动时：

(1)绳子拉力的大小；

(2)转盘角速度的大小。

答案　(1)750 N　(2) rad/s

解析　(1)如图所示，对人和座椅进行受力分析，图中F为绳子的拉力，在竖直方向：

Fcos37°－mg＝0

解得F＝＝750 N。

(2)人和座椅在水平面内做匀速圆周运动，重力和绳子拉力的合力提供向心力，

根据向心力公式有mgtan37°＝mω2r

r＝d＋lsin37°

联立解得ω＝ ＝ rad/s。

典型考点五　　　变速圆周运动和一般曲线运动问题

6.长沙市橘子洲湘江大桥桥东有一螺旋引桥，供行人上下桥。假设一行人沿螺旋线自外向内运动，如图所示。已知其走过的弧长s与时间t成正比。则关于该行人的运动，下列说法正确的是(　　)

A．行人运动的线速度越来越大

B．行人所受的合力大小不变

C．行人运动的角速度越来越小

D．行人所受的向心力越来越大

答案　D

解析　依题意s＝kt，可知该行人运动的线速度大小不变，A错误；由微元法将行人沿螺旋线运动的每一小段视为圆周运动的一部分，轨道半径逐渐减小，其向心力Fn＝m越来越大，线速度大小不变，在沿轨迹切线方向的分力为0，故所受合力即为向心力，也越来越大，B错误，D正确；运动的角速度ω＝越来越大，C错误。

7. 一根长为0.8 m的绳子，当受到7.84 N的拉力时被拉断。若在此绳的一端拴一个质量为0.4 kg的物体，使物体以绳子的另一端为圆心在竖直面内做圆周运动，当物体运动到最低点时绳子恰好断裂。g取9.8 m/s2，求物体运动至最低点时的角速度和线速度的大小。

答案　3.5 rad/s　2.8 m/s

解析　当物体运动到最低点时，物体受重力mg、绳子拉力FT，合力充当向心力，

根据向心力公式得FT－mg＝mω2r，

又由牛顿第三定律可知，绳子受到的拉力和绳子拉物体的力大小相等，

绳子被拉断时受到的拉力为FT′＝7.84 N，

故FT＝7.84 N，

所以，绳子被拉断时物体的角速度为

ω＝ ＝  rad/s＝3.5 rad/s，

物体的线速度大小为v＝ωr＝3.5×0.8 m/s＝2.8 m/s。

1．下列关于向心力的说法中，正确的是(　　)

A．物体开始做圆周运动后，过一段时间后就会受到向心力

B．向心力与重力、弹力、摩擦力一样，是一种特定的力，它只有在物体做圆周运动时才产生

C．向心力既可以改变物体运动的方向，又可以改变物体运动的快慢

D．向心力可以是重力、弹力、摩擦力等力中某一个力，也可以是这些力中某几个力的合力

答案　D

解析　物体做圆周运动的同时就会受到向心力，A错误。向心力与重力、弹力、摩擦力不一样，它是效果力，可以是某一个力，也可以是某几个力的合力，也可以是某一个力的分力，B错误，D正确。向心力方向始终与速度方向垂直，只改变速度的方向，不改变速度的大小，故C错误。

2．某质点从a到c沿曲线做加速运动，在b点所受合力F的方向可能是(　　)

答案　D

解析　质点从a到c做曲线运动，根据轨迹可知合力与运动方向不在一条直线上，且合力的方向指向曲线内侧，A、B图中的F指向曲线的外侧，故A、B错误；质点从a到c做加速曲线运动，质点所受合力在与曲线相切方向的分力与速度方向相同，故C错误，D正确。

3．某同学为感受向心力的大小与哪些因素有关，做了一个小实验：绳的一端拴一小球，手牵着在空中甩动，使小球在水平面内做圆周运动(如图所示)，则下列说法中正确的是(　　)

A．保持绳长不变，增大角速度，绳对手的拉力将不变

B．保持绳长不变，增大角速度，绳对手的拉力将增大

C．保持角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将不变

D．保持角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将减小

答案　B

解析　由向心力的表达武Fn＝mω2r可知，保持绳长不变，增大角速度，向心力增大，绳对手的拉力将增大，A错误，B正确；保持角速度不变，增大绳长，向心力增大，绳对手的拉力将增大，C、D错误。

4．(多选)如图所示，一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O点为圆心做圆周运动，运动中提供小球所需向心力的是(　　)

A．绳的拉力

B．重力和绳拉力的合力

C．重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力

D．绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力

答案　CD

解析　如图所示，对小球进行受力分析，它受重力和绳子拉力的作用，向心力是指向圆心方向的合力。因此，提供小球所需向心力的可以说是小球所受合力沿绳方向的分力，也可以说是各力沿绳方向的分力的合力，故选C、D。

5．未来的星际航行中，宇航员长期处于零重力状态，为缓解这种状态带来的不适，有人设想在未来的航天器上加装一段圆柱形“旋转舱”，如图所示。当旋转舱绕其轴线匀速旋转时，宇航员站在旋转舱内圆柱形侧壁上，可以受到与他站在地球表面时相同大小的支持力。为达到上述目的，下列说法正确的是(　　)

A．旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越大

B．旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越小

C．宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越大

D．宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越小

答案　B

解析　旋转舱对宇航员的支持力提供宇航员做圆周运动的向心力，即FN＝mω2r，解得ω＝ ，若宇航员受到的支持力与他站在地面上时受到的支持力大小相等，则FN＝mg，故ω＝，则旋转舱的半径越大，角速度就应越小，与宇航员的质量无关，B正确。

6．质量为m的飞机，以速率v在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，空气对飞机作用力的大小等于(　　)

A．m    B．m

C．m    D．mg

答案　A

解析　空气对飞机的作用力有两个作用效果，其一：竖直方向的分力使飞机克服重力作用；其二：水平方向的分力提供向心力，使飞机可在水平面内做匀速圆周运动。对飞机的受力情况进行分析，如图所示。飞机受到重力mg、空气对飞机的作用力F，两力的合力为Fn，方向沿水平方向指向圆心。由题意可知，重力mg与Fn垂直，故F＝，又Fn＝m，联立解得F＝m ，A正确。

7．如图所示，物体A、B随水平圆盘绕轴匀速转动，物体B在水平方向所受的作用力有(　　)

A．圆盘对B及A对B的摩擦力，两力都指向圆心

B．圆盘对B的摩擦力指向圆心，A对B的摩擦力背离圆心

C．圆盘对B及A对B的摩擦力和向心力

D．圆盘对B的摩擦力和向心力

答案　B

解析　以A为研究对象，B对A的静摩擦力指向圆心，提供A做圆周运动的向心力，根据牛顿第三定律，A对B有背离圆心的静摩擦力；以A、B组成的整体为研究对象，圆盘对B一定施加指向圆心的静摩擦力，以提供A、B整体做圆周运动的向心力，B正确。

8．如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动。当圆筒的角速度增大以后，物体仍然随圆筒一起匀速转动而未滑动，则下列说法正确的是(　　)

A．物体所受弹力增大，摩擦力也增大了

B．物体所受弹力增大，摩擦力减小了

C．物体所受弹力和摩擦力都减小了

D．物体所受弹力增大，摩擦力不变

答案　D

解析　物体随圆筒一起匀速转动时，受到三个力的作用：重力G、筒壁对它的弹力FN和筒壁对它的摩擦力f(如图所示)。其中G和f是一对平衡力，筒壁对它的弹力FN提供它做匀速圆周运动的向心力。当圆筒匀速转动时，不管其角速度多大，只要物体随圆筒一起匀速转动而未滑动，则物体所受的摩擦力f大小始终等于其重力。而根据向心力公式可知FN＝Fn＝mω2r，当角速度ω变大时，FN也变大。故D正确。

9．如图所示，在光滑杆上穿着两个质量分别为m1、m2的小球，且m1＝2m2，用细线把两球连起来，当杆匀速转动时，两小球刚好能与杆保持无相对滑动，此时两小球到转轴的距离r1与r2之比为(　　)

A．1∶1    B．1∶ 

C．2∶1    D．1∶2

答案　D

解析　两个小球绕共同的圆心做匀速圆周运动，它们之间的拉力互为向心力，角速度相同。设绳的拉力大小为FT，两球转动的角速度为ω，则：FT＝m1ω2r1，FT＝m2ω2r2，由上述两式得r1∶r2＝1∶2，D正确。

10. 如图所示，质量为m的物体，沿半径为r的圆轨道自A点滑下，A与圆心O等高，滑至B点(B点在O点正下方)时的速度为v。已知物体与轨道间的动摩擦因数为μ，求物体在B点所受的摩擦力大小。

答案　μm

解析　物体由A滑到B的过程中，受到重力、轨道弹力及摩擦力的作用，做圆周运动。物体在B点的受力情况如图所示，其中轨道弹力FN与重力G＝mg的合力提供物体做圆周运动的向心力，由向心力公式得FN－mg＝，得FN＝mg＋，则滑动摩擦力为Ff＝μFN＝μm。

11. 长为L的细线，拴一质量为m的小球，一端固定于O点，让小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，当摆线L与竖直方向的夹角为α时，求：

(1)细线的拉力F大小；

(2)小球运动的线速度的大小；

(3)小球运动的角速度及周期。

答案　(1)　(2)　

(3) 　2π

解析　做匀速圆周运动的小球受力如图所示，小球受重力mg和细线的拉力F的作用。

(1)因为小球在水平面内做匀速圆周运动，所以小球受到的合力沿水平方向指向圆心O′。

由平行四边形定则得小球受到的合力大小为mgtanα，

细线对小球的拉力大小为：F＝。

(2)由向心力公式得：mgtanα＝，

由几何关系得r＝Lsinα，

所以，小球做匀速圆周运动的线速度的大小为

v＝。

(3)小球运动的角速度

ω＝＝＝ ，

小球运动的周期T＝＝2π 。

12. 在一根长为L的不计质量的细杆中点B和末端C各连一质量为m的小球甲和乙，如图所示，杆可以在竖直平面内绕固定点A转动，将杆拉到某位置放开，末端乙球摆到最低位置时，杆BC受到的拉力刚好等于乙球重力的2倍。重力加速度为g。求：

(1)乙球通过最低点时的线速度大小；

(2)杆AB段此时受到的拉力大小。

答案　(1)　(2)3.5mg

解析　(1)乙球通过最低点时，Fn＝TBC－mg

故2mg－mg＝m

得乙球通过最低点时的线速度大小为：v乙＝。

(2)以甲球为研究对象，甲球通过最低点时做圆周运动的向心力Fn′＝TAB－mg－2mg

故TAB－3mg＝m且v甲＝vC

得杆AB段此时受到的拉力大小为：TAB＝3.5mg。