2021-2022学年江苏省常州市八校高一（下）调研数学试卷（5月份）（Word解析版）

这是一份2021-2022学年江苏省常州市八校高一（下）调研数学试卷（5月份）（Word解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省常州市八校高一（下）调研数学试卷（5月份） 题号一二三四总分得分       一、单选题（本大题共8小题，共40分）已知复数，则它的共轭复数在复平面上对应的点落在(    )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限棱台不具备的性质是(    )A. 两底面相似 B. 侧面都是梯形
C. 侧棱都相等 D. 侧棱延长后都交于一点在空间中，下列条件中不能推出四边形为平行四边形的是(    )A. 一组对边平行且相等 B. 两组对边分别相等
C. 两组对边分别平行 D. 对角线相互平分如图正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形中的长度为(    )A.
B.
C.
D. 已知，，若，，则的值为(    )A.  B.  C.  D. 中，，，，为中点，则长为(    )A.  B.  C.  D. 如图平面四边形中，，，则可表示为(    )
 A.  B.  C.  D. 如图在三棱锥中，为中点，为中点，点在上，若直线平面，则的值为(    )A.
B.
C.
D.  二、多选题（本大题共4小题，共20分）设为实数，已知直角三角形中，，则的可能取值为(    )A.  B.  C.  D. 下列条件中，一定能推出三角形为等腰三角形的有(    )A.
B.
C.
D. 且设、、、是空间中四个不同的点，下列命题中正确的是(    )A. 若与共面，则与共面
B. 若与是异面直线，则与也是异面直线
C. 若，，则
D. 若，，则如图，正方体中，，分别为棱和的中点，则下列说法正确的是(    )A. 平面
B. 平面
C. 异面直线与所成角为
D. 平面截正方体所得截面为等腰梯形
  三、填空题（本大题共4小题，共20分）设为两个不共线的向量，，若，，三点共线，则的值为______．一正方体的展开图如图所示，则在原来的正方体中，直线与的位置关系为______填平行、相交、异面．
 三棱锥中，所有棱长都相等，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为______．已知，则的值为______． 四、解答题（本大题共6小题，共70分）已知，，的夹角是，计算：
计算，；
求和的夹角的余弦值．已知复数，其中为虚数单位．
若是纯虚数，求实数的值；
若，是关于的实系数方程的一个复数根，求实数，的值．在空间四边形中，，分别是，的中点，，分别边，上的点，且求证：
点，，，四点共面；
直线，，相交于一点．
三棱柱中，侧棱底面．
若，求证：平面平面；
若平面平面，求证：．
如图，，、、分别为线段、、中点，且、、三点不共线．求证：平面平面．
现代传媒大厦是我市最高的标志性建筑．某学习小组要完成两个实习作业：验证百度地图测距的正确性及测算传媒大厦的高度．如图龙城大道沿线的水平路面上有两点其中指向正西方向，首先利用百度地图测距功能测出长度为，接着在飞龙路沿线选定水平路面上可直接测距的两点，测得，，，，学习小组根据上述条件计算出长度，并将其与的实际长度进行比较，若误差介于米米之间，则认为百度地图测距是正确的．
通过计算说明百度地图测距是否正确？
如图，小组在处测得现代传媒大厦楼顶在西偏北方向上，且仰角，在处测得楼顶在西偏北方向上，通过计算得，，若百度地图测出的是准确的，请根据以上数据测算出传媒大厦的高度．精确到米
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
，
它的共轭复数在复平面上对应的点落在第四象限．
故选：．
根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的几何意义，属于基础题．
 2.【答案】 【解析】解：根据棱台的定义，由平行于棱锥底面的平面截棱锥，截面与底面之间的部分叫棱台．
棱台的两底面是相似多边形；侧面的上下底边平行；侧棱延长后交于一点，故A、、成立，
不一定成立，
故选：．
根据棱台的定义，由平行于棱锥底面的平面截棱锥，截面与底面之间的部分叫棱台，依次判断可得答案．
本题考查棱台的性质．
 3.【答案】 【解析】解：因为过两平行直线或相交直线有且只有一个平面，所以选项中四边形为平面图形，
再由平行四边形的判定定理可知中的四边形为平行四边形；由空间四边形的概念可知B错误．
故选：．
先根据过两平行直线或相交直线有且只有一个平面，再由平行四边形的判定定理可判断；由空间四边形概念可判断．
本题考查了平行四边形的判定定理和空间四边形概念，属于基础题．
 4.【答案】 【解析】解：根据题意，作出原图：

，，
，
故选：．
画出原图，利用勾股定理求即可．
本题考查平面图形的直观图，属于基础题．
 5.【答案】 【解析】解：因为，，
所以，且，
故，所以；
因为，所以；
故
．
故选：．
根据条件，由求解即可．
本题考查的知识要点：三角恒等变换，和角的正弦，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 6.【答案】 【解析】解：在中，，，，
所以，
在中，利用余弦定理：，
解得：．
故选：．
直接利用余弦定理，三角函数的值的应用求出结果．
本题考查的知识要点：余弦定理，三角函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属基础题．
 7.【答案】 【解析】解：
，
又，，
，
故选：．
根据平面向量基本定理，向量线性运算即可求解．
本题考查平面向量基本定理，向量线性运算，属基础题．
 8.【答案】 【解析】解：连接，交于，连接，如图，

平面，平面平面，
，
点，分别为棱，的中点．
是的重心，
．
故选：．
连接，交于，连接，由平面，得到，由点，分别为棱，的中点，得到是的重心，由此能求出结果．
本题考查线面平行，考查学生的推理能力，属于中档题．
 9.【答案】 【解析】解：根据题意，，则，
若是直角，则，解可得，
若是直角，则，无解；
若是直角，则，解可得，
故或，
故选：．
根据题意，按、、为直角分种情况讨论，求出的值，综合可得答案．
本题考查向量数量积的计算，涉及向量垂直的判断，属于基础题．
 10.【答案】 【解析】解：对于，因为，可得，由，解得，即，可得三角形为等腰三角形，故A正确；
对于，因为，
整理可得，可得，或，即三角形为等腰三角形或直角三角形，故B错误；
对于，由于，可得，
可得，即，
可得，或，
所以或，三角形不一定是等腰三角形，故C错误；
对于，由，得，
又，
所以，则，即，
所以，三角形为等边三角形，也属于等腰三角形，故D正确．
故选：．
利用余弦定理化角为边变形后判断，利用正弦定理化边为角变形判断，利用正弦定理化角为边变形判断．
本题考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．
 11.【答案】 【解析】解：对于选项A，若与共面，则，，，是四点共面，则与共面，正确；
对于选项B，若与是异面直线，则，，，四点不共面，则与是异面直线，正确；
如图，空间四边形中，，，则与不一定相等，故C错误；
对于，当，，，四点共面时显然成立，
当，，，四点不共面时，取的中点，连接、，则，，，

平面，，故D正确．
故选：．
利用平面的性质可判断，利用空间四边形及线面垂直的判定定理可判断．
本题考查了平面的性质和线面垂直的判定定理，属于基础题．
 12.【答案】 【解析】【分析】本题考查空间中直线与平面位置关系的判定，考查空间角的求法，属于中档题．
利用反证法思想判断；由直线与平面平行的判定判断；求解异面直线所成角判断；找出平面截正方体所得截面，由判断．【解答】解：对于，假设平面，则，又，且与相交，可得平面，而平面，与过一点有且只有一条直线与一个平面垂直矛盾，则与平面不垂直，故A错误；
，分别为棱和的中点，，
平面，平面，平面，故B正确；
，可得，又易知面，，，，，平面，，，即异面直线与所成角为，故C正确；
连接，，可得，即四边形为平面截正方体所得截面，
由正方体的结构特征求得，则平面截正方体所得截面为等腰梯形，故D正确．
故选：．  13.【答案】 【解析】解：为两个不共线的向量，，
，
若，，三点共线，，，求得，
故答案为：．
由题意，先求出，根据，可得，由此求得的值．
本题主要考查两个向量共线的性质，三点共线的性质，属于基础题．
 14.【答案】异面 【解析】解：如图，是展开图还原后的正方体，

由于平面，平面，，平面，
所以直线与是异面直线．
故答案为：异面．
把展开图折叠为正方体，再由直线间的位置关系判断．
本题考查了空间中直线与直线位置关系的判断，属于基础题．
 15.【答案】 【解析】解：如图，取中点，连接，因为、分别为、的中点，则为三角形的中位线，所以，
所以直线与所成的角即为直线与直线所成角，
因为三棱锥的棱长全相等，设棱长为，则，
在等边三角形中，因为为的中点，所以为边上的高，
所以，
则，
在三角形中，．
所以，直线与直线所成角的余弦值为．

故答案为：．
题目要求解的是两条异面直线所成角的余弦值，且给出了棱的中点，可以想到再找的中点，连接两中点，得到，则直线与直线所成角转化为直线与直线所成角，在三角形中运用余弦定理可求的余弦值，则直线与直线所成角的余弦值可求．
本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力．在立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧，这个技巧就是通过三角形的中位线找平行线，如果试题的已知中涉及到多个中点，则找中点是出现平行线的关键技巧，属中档题．
 16.【答案】 【解析】解：因为，
所以，
，
，
，
，
由得，
．
由已知利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式，两角和的余弦公式可得，，由两式可得，进而利用两角差的余弦公式即可求解的值．
本题考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式，两角和的余弦公式，两角差的余弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和方程思想，属于中档题．
 17.【答案】解：由题可得，
，所以；
，
设和的夹角为，
所以． 【解析】利用数量积的定义可求出，先求出，即可得出；
先求出，根据向量夹角关系即可求出．
本题考查了平面向量数量积和两个向量的夹角运算，属于基础题．
 18.【答案】解：是纯虚数，
，且，
解得．
若，则，
是关于的实系数方程的一个复数根，
，
，
，解得，
即，． 【解析】根据纯虚数的定义求解．
由的值求出，代入方程即可求出实数，的值．
本题主要考查了复数的运算，属于基础题．
 19.【答案】证明：如图所示，
空间四边形中，，分别是，的中点，
；
又．
，
，
E、、、四点共面；
设与交于点，
平面
在平面内，
同理在平面内，且平面平面，
点在直线上，
直线，，相交于一点． 【解析】利用三角形的中位线平行于第三边和平行线分线段成比例定理，
得到、都平行于，由平行线的传递性得到，
根据两平行线确定一平面得出证明；
利用分别在两个平面内的点在这两个平面的交线上，即可证明．
本题考查了三角形的中位线性质、平行线分线段成比例定理、直线的平行性的传递性、确定平面的条件以及三线共点的应用问题．
 20.【答案】证明：平面，平面，
，
，，
平面，平面，
平面，
又平面，平面平面；
过作于，
平面平面，平面平面，
平面，平面，
，
，平面，，
平面，平面，
． 【解析】利用绩面垂直、面面垂直的判定定理能证明平面平面；
利用面面垂直的性质及线面垂直的判定定理可得平面，由此能证明．
本题考查线面垂直、面面垂直的判定与性质等基础知识，考查空间思维能力、运算求解能力，是中档题．
 21.【答案】证明：，分别为，中点，
，又，，
，
设平面，平面，
，
，分别为，中点，
，，
，，
，
，平面，，，，
平面平面． 【解析】利用线面平行的判定定理及面面平行的判定定理即得．
本题考查面面平行，考查学生的推理能力，属于中档题．
 22.【答案】解：设，等腰中，，
在中，，，，可得，
由正弦定理得，解得，
在中，由余弦定理得，
，，
，
百度地图测距是准确的；
中，由正弦定理可得，
设，，
中由余弦定理可得，
，
，
由解得，
所以，，
中，，
答：测算出传媒大厦高度约为米． 【解析】设，利用正弦定理可得，然后在中，利用余弦定理求出，进而可求出；
利用正弦定理，余弦定理结合条件列方程可求出，，然后在中可求得结果．
本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．