高考数学二轮复习4.1等差数列与等比数列课件

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等差数列与等比数列的基本量的求解【思考】 如何求解等差数列与等比数列的基本量?例1已知{an}是各项均为正数的等比数列, a1=2,a3=2a2+16.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=lg2an.求数列{bn}的前n项和.
解 (1)设{an}的公比为q,由题设得2q2=4q+16,即q2-2q-8=0,解得q=-2(舍去)或q=4.因此{an}的通项公式为an=2×4n-1=22n-1.(2)由(1)得bn=(2n-1)lg22=2n-1,因此数列{bn}的前n项和为1+3+…+2n-1=n2.
题后反思等差数列、等比数列的通项公式、求和公式中一共包含a1,n,d(q),an与Sn这五个量.已知其中的三个,就可以求其余的两个.因为a1,d(q)是两个基本量,所以等差数列与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量,再根据通项公式、求和公式构建这两者的方程(组),通过解方程(组)求其值,这也是方程思想在数列问题中的体现.
对点训练1(1)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3=5,a7=13,则S10=　　　　　. (2)(2020全国Ⅲ,文17)设等比数列{an}满足a1+a2=4,a3-a1=8.①求{an}的通项公式;②记Sn为数列{lg3an}的前n项和.若Sm+Sm+1=Sm+3,求m.
等差数列与等比数列的判定与证明【思考】 证明数列{an}是等差数列或等比数列的基本方法有哪些?例2已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=4an-1+1(n≥2),且a1=1,bn=an+1-2an.(1)求证:数列{bn}是等比数列;(2)若 ,求证:数列{cn}是等差数列.
题后反思1.证明数列{an}是等差数列的两种基本方法:(1)利用定义,证明an+1-an(n∈N*)为常数;(2)利用等差中项,证明2an=an-1+an+1(n≥2).2.证明数列{an}是等比数列的两种基本方法:
(1)求数列{an}的通项公式;(2)求证:数列{bn-an}为等比数列.
等差数列与等比数列性质的应用【思考】 常用的等差数列、等比数列的性质有哪些?例3(1)已知等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a8a13=64,则lg2a1+lg2a2+…+lg2a20=　　　　　. (2)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1+a3+a5+a7+a9=10, ,则S10的值为　　　　　. 
解析 (1)由等比数列的性质可得a10a11=a8a13,所以a10a11+a8a13=2a10a11=64,得a10a11=32.又lg2a1+lg2a2+…+lg2a20=lg2(a1·a2·a3·…·a20)=lg2[(a1·a20)·(a2·a19)·(a3·a18)…(a10·a11)]=lg2(a10·a11)10=lg23210=50.(2)设{an}的公差为d.因为a1+a3+a5+a7+a9=5a5=10,所以a5=2.
题后反思等差数列与等比数列的性质多与其下标有关,解题需多注意观察,发现其联系,加以应用.(1)等差数列的性质:①an=am+(n-m)d(n,m∈N*);②若m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*);③设等差数列{an}的前n项和为Sn,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也成等差数列.(2)等比数列的性质:①an=amqn-m(m,n∈N*);②若m+n=p+q,则am·an=ap·aq(m,n,p,q∈N*);③若等比数列{an}的公比不为-1,前n项和为Sn,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也成等比数列.
对点训练3(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S4=8,S8=20,则a13+a14+a15+a16=(　　)A.12B.8C.20D.16
解析 (1)∵S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差数列,S4=8,S8=20,∴S8-S4=12,S12-S8=16,S16-S12=20,∴a13+a14+a15+a16=20.
等差数列、等比数列的综合问题【思考】 解决等差数列、等比数列的综合问题的基本思路是怎样的?例4设{an}是等差数列,{bn}是等比数列,公比大于0.已知a1=b1=3,b2=a3,b3=4a2+3.(1)求{an}和{bn}的通项公式;
题后反思等差数列和等比数列的综合问题,涉及的知识面很广,题目的变化也很多,但是只要抓住基本量a1,d(q),充分运用方程、函数、转化等数学思想方法,合理运用相关知识,就能解决这类问题.
对点训练4等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S10=0,S15=25,则nSn的最小值为　　　　　. 
1.(2020全国Ⅰ,文10)设{an}是等比数列,且a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,则a6+a7+a8=(　　)A.12B.24C.30D.32
2.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“诸葛亮领八员将,每将又分八个营,每营里面排八阵,每阵先锋有八人,每人旗头俱八个,每个旗头八队成,每队更该八个甲,每个甲头八个兵.”则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有(　　)
解析 由题意,得将官、营、阵、先锋、旗头、队长、甲头、士兵依次成等比数列,且首项为8,公比也是8,所以将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有
3.在等比数列{an}中,a1+a2=1,a5+a6=16,则a9+a10=　　　　　. 
解析 设等比数列{an}的公比为q,则a5+a6=q4(a1+a2)=16,又a1+a2=1,因此q4=16,所以a9+a10=q8(a1+a2)=256.
解析 由S5=10,得a3=2,因此2-2d+(2-d)2=-3,即d=3,故a9=2+3×6=20.
6.若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于　　　　　.