初中数学华师大版九年级上册21.3 二次根式的加减同步练习题

第8讲 二次根式的加减法

       【学习目标】

1、理解并掌握同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算；

2、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.

        【基础知识】

考点一、同类二次根式

1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.

考点诠释：

　　(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；

　　(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.

2.合并同类二次根式

　　合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)

考点诠释：

　　(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；

　　(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式.

考点二、二次根式的加减

1.二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其

中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.

考点诠释：

（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.            

（2）二次根式加减运算的步骤：

　　1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；

　　2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；

　　3)合并同类二次根式.

考点三、二次根式的混合运算

　　二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.

考点诠释：

　　(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；

　　(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；

　　(3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式.

   【考点剖析】

考点一：同类二次根式

例1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）

A．    B．   C．   D．

【思路】直接利用同类二次根式的定义分别化简二次根式求出答案．

【答案】B．

【解析】

A、=3，与不是同类二次根式，故此选项错误；

B、=，与，是同类二次根式，故此选项正确；

C、=2，与不是同类二次根式，故此选项错误；

D、==，与不是同类二次根式，故此选项错误

【总结】此题主要考查了同类二次根式，正确化简二次根式是解题关键．

举一反三：

【变式】如果两个最简二次根式和是同类二次根式，那么、的值是(    )

A.=2，=1 　B.=1，=2   C. =1，=-1 　D. =1，=1

【答案】D.

根据题意，得

解之，得，故选D.

考点二：二次根式的加减运算

例2．计算

（1）  4﹣+．

（2）  ．

【答案】解：(1) 原式=4×﹣3+2

=2﹣3+2

=．

（2）原式=2+3﹣2

=．

【总结】一定要注意二次根式的加减要做到先化简，再合并.

举一反三：

【变式】计算:

【答案】

考点三：二次根式的混合运算

例3．计算:

(1) (+)×；            

 (2)   

【思路】二次根式的混合运算要注意公式的灵活运用.

【答案】       

(1)(+)×=×+×=+=;

(2)

=.

【总结】二次根式仍然满足整式的运算规律,所以直接可用整式的运算规律．

例4、计算： 已知，则=_______,=________.

【答案】1；10.

【解析】

【总结】数学运算包含着很多技巧性的东西，技巧运用得好计算就很简便而且准确.

举一反三：

【变式】已知求的值。

【答案】

所以原式=

        【真题演练】

一.选择题

　1. 下列二次根式，不能与合并的是（　　）

　　A．　　　 B． 　　　C． 　　　D．

【答案】B.

【解析】=2，

A、=4，能合并，故本选项错误；

B、=3，不能合并，故本选项正确；

C、==，能合并，故本选项错误；

D、﹣=﹣5，能合并，故本选项错误．故选B．

2.下面说法正确的是（ ）

　　A. 被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式

　　B. 与是同类二次根式

　　C. 与不是同类二次根式

　　D. 同类二次根式是根指数为2的根式

【答案】A

 3.下列计算中，正确的是（　　）

　　A．　　　　 B．

　　C．　 　　　 D．

【答案】B

【解析】

 4. 若，则的值等于（ ）

　　A. 4 　　　B. 　　　C. 2　　　 D.

【答案】C

【解析】先化简再解方程。原式=，即，

 5.计算等于（    ）

A．7   B.   C.1   D.

【答案】B

【解析】原式=

6.下列计算正确的是（  ）

A.    B.   C.   D.

【答案】D

二. 填空题

7．化简基础训练：

　　__________；__________；__________；__________；

　　__________；__________；__________；__________；

【答案】；

8.如果+=0，那么=　        ．

【答案】　

【解析】∵+=0，而≥0，≥0；

∴a=1，b=2

∴原式=．

9. 当_________时，最简二次根式可以合并。

【答案】6  

【解析】

10. 一个三角形的三边长分别为，，，则它的周长是________cm.

【答案】

【解析】

11. （遵义）计算的结果是　     　．

 12. =________________.

【答案】﹣2．

【解析】原式=﹣3=﹣2．

三 综合题

13.（长春二模）计算：．

【解析】

解：原式=2+2+5=4+5．

14.化简求值：，其中.

【解析】==

代入得，原式=

15.（江西校级模拟）已知x=，y=，求的值．

【解析】

解：∵x=，y=，

∴

=

=

=

=

=﹣．

       【过关检测】

一.选择题

　  1. （钦州）下列运算正确的是（　　）

A．a+a=2a B．a6÷a3=a2 C．+= D．（a﹣b）2=a2﹣b2

　【答案】A.

【解析】A、a+a=（1+1）a=2a，故本选项正确；

B、a6÷a3=a6﹣3≠a2，故本选项错误；

C、+=2+=3≠，故本选项错误；

D、（a﹣b）2=a2+2ab+b2≠a2﹣b2，故本选项错误．

 2. 与不是同类二次根式的是（ ）

　　A. 　　　B. 　　　C. 　　　D.

　【答案】A

 3.（平南县校级月考）若，则x的值等于（　　）

　　A. 4 　　　B. 　　　C. 2　　　 D.

【答案】C

【解析】先化简再解方程，原式=，即，.故选C．

 4. 下列各式中运算正确的是（      ）

A.     B.

C.         D.

【答案】A

5.的运算结果是（  ）

A． 0    B.   C.    D.

【答案】B

【解析】注意运算技巧。

原式===

6. 等腰三角形两边分别为和，那么这个三角形的周长是（   ）

A.                  B.

C.或    D.

【答案】B

【解析】注意:分类讨论腰分别是和两种情况,但是当腰为时，，

所以这种情况不存在，只有腰为一种情况，即.

二. 填空题

7.若最简二次根式与是同类二次根式，则.

【答案】1；1

【解析】，所以

8.与无法合并，这种说法是__________的（填“正确”或“错误”）.

【答案】错误

9.设则的值是_________

【答案】

10. （哈尔滨）计算2﹣的结果是　    　．

【答案】﹣2．

【解析】原式=2×﹣3=﹣3=﹣2.

11. 长方形的宽为，面积为，则长方形的长约为_______（精确到0.1）.

【答案】 2.8

【解析】长=

12.已知x＝，则的值等于____________.

【答案】4

【解析】化简x＝，得， ，代入原式=4

三 综合题

13.计算：

【解析】

             =

            =

           =

           =

14.（无锡期末）若x，y为实数，且．

求的值．

【解析】解：由二次根式的有意义，得，

解得x=，故y=，

∴原式=﹣

15．已知的整数部分为，小数部分为求的值.

【解析】因为的整数部分为，小数部分为

       所以，

      原式==,代入后原式=