2020-2021学年24.2直角三角形的性质同步达标检测题

第14讲 直角三角形的性质

       【学习目标】

1、掌握直角三角形的性质3及其推论

2、能利用直角三角形的性质3定理及其推论进行有关的计算和证明。

3、经历“实践（动手操作）—探索—发现—猜想—证明”的过程，培养学生的数形结合思想方法和数学建模能力，体会演绎推理的严谨性和“转化”思想解决实际问题中的应用。

        【基础知识】

直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半.

   【考点剖析】

考点一：直角三角形斜边上的中线与斜边的关系。

例1．探究1 直角三角形斜边上的中线与斜边的关系。

探究1 直角三角形斜边上的中线与斜边的关系。

实验探究操作步骤：

①把矩形ABCD图片的两条对角线画出来；

②沿着对角线剪去图形的一半，得到一个直角三角形；

③观察这个直角三角形，找出发现归纳结论。

提出猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

证明猜想  已知：如图在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BO是斜边AC上的中线.

求证：BO=AC

证明：延长BO至点D,使BO=DO,连结CD,AD

∵ BO是斜边AC上的中线

∴ AO=CO   又∵BO=DO

所以四边形ABCD是平行四边形

又∵∠ABC＝90°

∴ 四边形ABCD是矩形

∴ AC=BD

∴BO=BD=AC

归纳结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

【试一试】：能不能用直角三角的性质3去解决问题1呢？

探究2  直角三角形中30角所对的直角边与斜边的关系。

   实验探究操作步骤：

①     准备好两个全等的含30角的直角三角形；

②     把相等的边拼在一起组成平面图形；

③     思考有几种拼法？将你的结论归纳总结。

得出猜想：直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半.

证明猜想：已知：如图 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A=30°.

求证：BC=AB

证明：作斜边AB上的中线CD,则

CD=AB=BD

∵∠A=30°  ∴∠B=60°

∴△CDB是等边三角形

∴BC=BD=AB

归纳结论：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半.

例2．已知直角三角形两条直角边的 长分别为1cm和cm。求斜边上中线的长。

解：设斜边上的中线长为cm.

根据勾股定理得

=+

解得=1

答：斜边上的中线长为1cm。

【变式】如图是某商店营业大厅自动扶梯的示意图。自动扶梯AB的倾斜角为30，大厅两层之间的距离为6米。你能算出自动扶梯AB的长吗？

解：在Rt△ABC中，

∵∠BAC=30°,BC=6米

所以AB=2BC=12米

答：自动扶梯AB的长为12米。

        【真题演练】

一、选择题

1.在直角三角形中,若斜边上的中线长为6,则斜边长为 (　　)

A.3       B.6    C.12      D.无法确定

【答案】.C

2.如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,CD是斜边AB上的高,若AD=3 cm,则斜边AB的长为 (　　)

图1

A.3 cm           B.6 cm

C.9 cm           D.12 cm

【解析】D　∵CD是斜边AB上的高,

∴∠ADC=90°.

∵∠A=60°,∠ACB=90°,

∴∠B=180°-∠ACB-∠A=30°,∠ACD=180°-∠ADC-∠A=30°.

∵AD=3cm,∴AC=2AD=6cm,

∴AB=2AC=12cm.故选D.

3.如图2,在△ABC中,AH⊥BC于点H,E,D,F分别是AB,BC,AC的中点.如果ED=5 cm,那么FH的长为 (　　)

图2

A.5 cm           B.6 cm

C.10 cm           D.不能确定

【答案】.A

4.如图3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的高,CE为AB边上的中线,AD=2,CE=5,则CD的长为 (　　)

图3

A.2       B.3   C.4   D.2

【答案】C　

【解析】在Rt△ABC中,CE为AB边上的中线,所以CE=AB=AE.因为CE=5,AD=2,所以DE=3.因为CD为AB边上的高,所以在Rt△CDE中,CD==4.故选C.

5.如图4,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,DE垂直平分斜边AC,交AB于点D,E是垂足,连结CD.若BD=1,则AC的长是              (　　)

图4

A.2      B.2    C.4    D.4

【答案】A　

【解析】∵在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,∴∠ACB=60°.

∵DE垂直平分斜边AC,∴AD=CD,

∴∠ACD=∠A=30°,∴∠DCB=60°-30°=30°.在Rt△DBC中,∠B=90°,∠DCB=30°,

BD=1,∴CD=2BD=2.

由勾股定理,得BC==.

在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,BC=,

∴AC=2BC=2.故选A.

6.如图5,一根竹竿AB斜靠在竖直的墙上,P是AB的中点,A'B'表示竹竿AB沿墙上下滑动过程中的某个位置,则在竹竿AB滑动过程中              (　　)

图5

A.下滑时,OP的长增大

B.上升时,OP的长减小

C.无论怎样滑动,OP的长不变

D.只要滑动,OP的长就变化

【答案】C　

【解析】∵AO⊥BO,P是AB的中点,

∴OP=AB,∴在滑动的过程中,OP的长不变.故选C.

二、填空题

7.如图6,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线.若∠A=26°,则∠BDC的度数为　     　. 

图6

【答案】52°

【解析】∵∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,∴BD=CD=AD,∴∠DCA=∠A=26°,

∴∠BDC=∠A+∠DCA=26°+26°=52°.

8.如图7,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D,E分别是AB,AC的中点,F是AD的中点.若AB=8,则EF=　　　　. 

图7

【答案】2

【解析】在Rt△ABC中,∵D是AB的中点,∴AD=BD=CD=AB=4.∵F,E分别是AD,AC的中点,∴EF是△ACD的中位线,∴EF=CD=2.

9.如图8,在△ABC中,∠C=90°,∠ABC=60°,BD平分∠ABC交AC于点D.若AD=6,则CD=　　　　. 

图8

【答案】3 

【解析】∵∠C=90°,∠ABC=60°,∴∠A=30°.∵BD平分∠ABC,∴∠CBD=∠ABD=∠A=30°,∴BD=AD=6,∴CD=BD=×6=3.

10.如图9,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D在线段BC上,且∠B=30°,∠ADC=60°,BC=3,则BD的长度为　　　　.

图9

【答案】2　

【解析】∵∠C=90°,∠ADC=60°,∴∠DAC=30°,∴CD=AD,即AD=2CD.∵∠B=30°,∠ADC=60°,∴∠BAD=30°,∴BD=AD,∴BD=2CD.∵BC=3,∴CD+2CD=3,∴CD=,∴BD=2,故答案为2.

11.如图10,在等边三角形ABC中,BC=2,D是AB的中点,过点D作DF⊥AC于点F,过点F作FE⊥BC于点E,则BE的长为　　　　. 

图10

【答案】   

【解析】∵△ABC为等边三角形,∴∠A=∠C=60°,AB=AC=BC=2.

∵DF⊥AC,FE⊥BC,∴∠AFD=∠CEF=90°,∴∠ADF=∠CFE=30°,∴AF=AD,CE=CF.

∵D是AB的中点,∴AD=AB=1,∴AF=,∴CF=,∴CE=,∴BE=BC-CE=2-=,故答案为.

12.如图11,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=8 cm,D是AB的中点.现将△BCD沿BA方向平移1 cm,得到△EFG,FG交AC于点H,则GH的长等于　　　　 cm.

图11

【答案】3

【解析】∵在△ABC中,∠ACB=90°,AB=8cm,D是AB的中点,

∴AD=BD=DC=AB=4cm.

又∵△EFG是由△BCD沿BA方向平移1cm得到的,∴GH∥DC,GD=1cm,

∴△AGH∽△ADC,∴=,

即=,

解得GH=3(cm).

13.如图12,BD⊥OA于点D,交射线OC于点P,PD=1,∠B=30°,若点P到OB的距离为1,则OP的长为　　　　. 

图12

【答案】2

【解析】 如图,过点P作PE⊥OB于点E.

∵点P到OB的距离为1,∴PE=1.

∵PD=1,∴PD=PE.

又∵PD⊥OA,PE⊥OB,

∴点P在∠AOB的平分线上,

即∠POD=∠POE.

∵∠B=30°,BD⊥OA,∴∠BOD=60°,∴∠POE=∠BOD=30°,

∴OP=2PE=2.故答案为2.

三、解答题

14.已知:如图13,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥BC,DE⊥AB,垂足分别为D,E.若AE=2,求BE的长.

                                                         图13

【答案】解:∵AB=AC,∠BAC=120°,

∴∠B=∠C=×(180°-120°)=30°.

∵AD⊥BC,∴∠DAE=90°-∠B=60°.

∵DE⊥AB,∴∠ADE=90°-∠DAE=30°,

∴在Rt△ADE中,AD=2AE=4.

∵在Rt△ABD中,∠B=30°,

∴AB=2AD=8,

∴BE=AB-AE=8-2=6.

15.已知:如图14,∠ABC=∠ADC=90°,O是线段AC的中点.

(1)求证:OB=OD;

(2)若∠ACD=30°,OB=6,求△AOD的周长.

                                                            图14

【答案】解:(1)证明:∵∠ABC=∠ADC=90°,O是AC的中点,

∴OB=AC,OD=AC,∴OB=OD.

(2)∵OB=6,OD=OB,∴OD=6.

∵∠ADC=90°,O为AC的中点,

∴OA=OD=6,AC=2OD=12.

∵∠ACD=30°,∠ADC=90°,

∴AD=AC=6,即OA=AD=OD=6,

∴△AOD的周长是OA+AD+OD=6+6+6=18.

16.已知:如图15,∠ABC=∠ADC=90°,E,F分别是AC,BD的中点.求证:EF⊥BD.

                                                              图15

【答案】证明:如图,连结DE,BE.

∵∠ABC=∠ADC=90°,E为AC的中点,

∴BE=AC,DE=AC,

∴BE=DE.

又∵F为BD的中点,∴EF⊥BD.

17.如图16,在△ABC中,∠ABC=90°,BD为AC边上的中线,过点C作CE∥AB,与BD的延长线交于点E.

求证:∠A=∠E.(请用三种方法证明)

                                                              图16

【答案】证明:(方法不唯一)方法1:∵在△ABC中,∠ABC=90°,BD为AC边上的中线,

∴BD=AD=AC,∴∠A=∠ABD.

∵CE∥AB,∴∠ABD=∠E,∴∠A=∠E.

方法2:∵CE∥AB,∴∠ABC+∠ECB=180°.

∵∠ABC=90°,

∴∠ECB=90°,∠A+∠ACB=90°,

∴∠E+∠EBC=90°.

∵在△ABC中,∠ABC=90°,BD为AC边上的中线,

∴CD=BD=AC,∴∠ACB=∠EBC,

∴∠A=∠E.

方法3:∵在△ABC中,∠ABC=90°,BD为AC边上的中线,

∴CD=BD=AC,∴∠DCB=∠DBC.

∵CE∥AB,∴∠ABC+∠ECB=180°.

∵∠ABC=90°,∴∠ECB=90°,

∴∠ABC=∠ECB,

∴180°-∠ABC-∠DCB=180°-∠ECB-∠DBC,即∠A=∠E.

方法4:∵在△ABC中,∠ABC=90°,BD为AC边上的中线,

∴BD=CD=AC,∴∠DBC=∠DCB.

∵CE∥AB,∴∠ABC+∠ECB=180°.

∵∠ABC=90°,∴∠ECB=90°,

∴∠ABC=∠ECB,

∴∠ABC-∠DBC=∠ECB-∠DCB,

即∠ABD=∠ECD.

又∵∠ADB=∠EDC,∴∠A=∠E.