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浙教版初中数学九年级上册期中测试卷（困难）（含答案解析） (1)
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这是一份浙教版初中数学九年级上册期中测试卷（困难）（含答案解析） (1)，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
浙教版初中数学九年级上册期中测试卷
考试范围：第一.二章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点(−1,0)，对称轴为直线x=1，下列结论：
①abc<0②b0时，−1
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
2. 课堂上，老师给出一道题：如图，将抛物线C：y=x2−6x+5在x轴下方的图象沿x轴翻折，翻折后得到的图象与抛物线C在x轴上方的图象记为G，已知直线l：y=x+m与图象G有两个公共点，求m的取值范围甲同学的结果是−554.下列说法正确的是( )
A. 甲的结果正确 B. 乙的结果正确
C. 甲、乙的结果合在一起才正确 D. 甲、乙的结果合在一起也不正确
3. 二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x
…
−1
0
1
2
…
y
…
m
2
2
n
…
且当x=32时，对应的函数值y<0.有以下结论：
①abc>0；②m+n<−203；③关于x的方程ax2+bx+c=0的负实数根在−12和0之间；④P1(t−1,y1)和P2(t+1,y2)在该二次函数的图象上，则当实数t>13时，y1>y2．
其中正确的结论是( )
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②③④
4. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的大致图象如图所示，顶点坐标为(−2,−9a)，下列结论：①4a+2b+c>0；②5a−b+c=0；③若方程a(x+5)(x−1)=−1有两个根x1和x2，且x1
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5. 如图所示为一个污水净化塔内部，污水从上方人口进入后流经形如等腰直角三角形的净化材料表面，流向如图中箭头所示，每一次水流流经三角形两腰的机会相同，经过四层净化后流入底部的5个出口中的一个.下列判断： ①5个出口的出水量相同; ②2号出口的出水量与4号出口的出水量相同; ③1，2，3号出口的出水量之比约为1:4:6; ④若净化材料损耗的速度与流经其表面的水量成正比，则更换最慢的一个三角形材料使用的时间约为更换最快的一个三角形材料使用时间的8倍.其中正确的判断有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
6. 二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，且a≠0)中的x与y的部分对应值如表：
x
−1
0
1
3
y
−1
3
5
3
有下列结论：
①ac<0；
②当x>1时，y的值随x值的增大而减小；
③x=3是方程ax2+(b−1)x+c=0的一个根；
④当−10．
小明从中任意选取一个结论，则选中正确结论的概率为( )
A. 1 B. 34 C. 12 D. 14
7. 同时抛掷两枚1元的硬币，菊花图案都朝上的概率是( )
A. 1/2 B. 1/3 C. 1/4 D. 1/5
8. 在数据1，−1，4，−4中任选两个数据，均是一元二次方程x2−3x−4=0的根的概率是( )
A. B. C. D.
9. 下列算式运算结果正确的概率是( )
①9=±3；②(−13)−2=9；③26÷23=6；④(−2016)2=2016；⑤a+a=a2．
A. 15 B. 25 C. 35 D. 45
10. 在一个不透明的盒子里装有5个分别写有数字−2，−1，0，1，2的小球，它们除数字不同外其余全部相同.现从盒子里随机取出一个小球，将该小球上的数字作为点P的横坐标，将该数的平方作为点P的纵坐标，则点P落在抛物线y=−x2+2x+5与x轴所围成的区域内(不含边界)的概率是．( )
A. 15 B. 25 C. 35 D. 45
11. 如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动(不与点A，B重合)，∠DAM=45°，点F在射线AM上，且AF=2BE，CF与AD相交于点G，连接EC、EF、EG.则下列结论：
①∠ECF=45°； ②△AEG的周长为(1+22)a； ③BE2+DG2=EG2；
④△EAF的面积的最大值是18a2； ⑤当BE=13a时，G是线段AD的中点．
其中正确的结论是( )
A. ①②③ B. ②④⑤ C. ①③④ D. ①④⑤
12. 如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为(1,n)，与x轴的一个交点B(3,0)，与y轴的交点在(0,−3)和(0,−2)之间.下列结论中：①abc>0；②−2
B. 2
C. 3
D. 4
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为(2,0)，若抛物线y=12x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是________．
14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−14(x+m)2+14m2−m的顶点为A，与y轴交于点B，则点B的坐标为______(用含m的代数式表示)；若作AC⊥AB，且∠ABC=∠ABO(C、O在AB的两侧)，设点C的坐标为(x,y)，则y关于x的函数关系式为______．
15. 从14，12，1，2，4五个数中任意取出一个数作为反比例函数y=12kx(k>0)中k的值．那么，一次函数y=−x+1与反比例函数y=12kx(k>0)的图象在第一象限的部分没有公共点的概率是______．
16. 如图所示的阴影部分是由抛物线y=−x2+4的像与x轴所围而成．现将背面完全相同，正面分别标有数−2，−1，0，1，2的5张卡片洗匀后，背面朝上，从中任取一张，将该卡片上的数作为点P的横坐标，将该数的相反数作为点P的纵坐标，则点P落在该阴影部分内(包含边界)的概率为______．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）
17. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过B(−2,6)，C(2,2)两点．
(1)记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；
(2)若直线y=−12x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B、C)部分有两个交点，求b的取值范围．
18. 如图所示为抛物线y1=x2−3的图象，且抛物线y2是由抛物线y1向右平移2个单位得到的．
(1)写出抛物线y2的函数表达式，并在直角坐标系中画出抛物线y2的图象;
(2)过点(0,a−3)(a为实数)作x轴的平行线，与抛物线y1，y2共有4个不同的交点，设这4个交点的横坐标分别是x1，x2，x3，x4．
①求a的取值范围;
②若x1
(1)经市场调查发现，当售价为每袋18元时，日均销售量为50袋，每袋售价每增加1元，日均销售量减少5袋．售价定为每袋多少元时，所得日均毛利润最大？最大日均毛利润为多少元？
(2)疫情期间，该商店分两批共购进2万袋同款口罩，进价不变．该商店将购进的第一批口罩a袋(8000≤a≤11200)做“买一送一”的促销活动，第二批口罩没有做促销活动，且这两批的售价相同．若这2万袋口罩全部售出后的总利润率为20%，则每袋口罩的售价可能是多少元？(毛利润=售价−进价，利润率=毛利润÷进价)
20. “十一”期间，老张在某商场购物后，参加了出口处的抽奖活动．抽奖规则如下：每张发票可摸球一次，每次从装有大小形状都相同的1个白球和2个红球的盒子中，随机摸出一个球，若摸出的是白球，则获得一份奖品；若摸出的是红球，则不获奖．
(1)求每次摸球中奖的概率；
(2)老张想：“我手中有两张发票，那么中奖的概率就翻了一倍．”你认为老张的想法正确吗？用列表法或画树形图分析说明．
21. 为弘扬中华民族传统文化，某市举办了中小学生“国学经典大赛”，比赛项目为：A.唐诗；B.宋词；C.论语；D.三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．
(1)小华参加“单人组”，他从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“论语”的概率是多少？
(2)小明和小红组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次．则恰好小明抽中“唐诗”且小红抽中“宋词”的概率是多少？小明和小红都没有抽到“三字经”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．
22. 在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n．
(1)请用列表或画树状图的方法表示出所有(m,n)可能的结果；
(2)若m，n都是方程x2−5x+6=0的解时，则小明获胜；若m，n都不是方程x2−5x+6=0的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？
23. 如图，有一个均匀的正二十面体形状的骰子，其中1个面标有“1“，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”，将这个骰子掷出后．
(1)“6”朝上的概率是多少？
(2)哪个数字朝上的概率最大？
24. 一个不透明的盒子里装有30个除颜色外其它均相同的球，其中红球有m个，白球有3m个，其它均为黄球．现小李从盒子里随机摸出一个球，若是红球，则小李获胜；小李把摸出的球放回盒子里摇匀，由小马随机摸出一个球，若为黄球，则小马获胜．
(1)当m=4时，求小李摸到红球的概率是多少？
(2)当m为何值时，游戏对双方是公平的？
25. 已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A(1,0)和点B(−3,0)，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．
(1)抛物线的解析式为______，抛物线的顶点坐标为______；
(2)如图1，连接OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD=1：2时，请求出点D的坐标；
(3)如图2，点E的坐标为(0,−1)，点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE=15°，连接PE，若∠PEG=2∠OGE，请求出点P的坐标；
(4)如图3，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定由抛物线开口方向、对称轴、与y轴的交点有关．
由对称轴和抛物线与y轴的交点判断①，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对其余所得结论进行判断．
【解答】
解：①对称轴位于x轴的右侧，则a，b异号，即ab<0．
抛物线与y轴交于正半轴，则c>0．
∴abc<0．
故①正确；
②∵抛物线开口向下，
∴a<0．
∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a=1，
∴b=−2a．
∵x=−1时，y=0，
∴a−b+c=0，
而b=−2a，
∴c=−3a，
∴b−c=−2a+3a=a<0，
即b
③∵x=−1时，y=0，
∴a−b+c=0，
而b=−2a，
∴3a+c=0．
故③正确；
④由抛物线的对称性质得到：抛物线与x轴的另一交点坐标是(3,0)．
∴当y>0时，−1
综上所述，正确的结论有4个．
故选：D．
2.【答案】C
【解析】解：令y=x2−6x+5=0，解得(1,0)，(5,0)
将点(1,0)，(5,0)代入直线y=x+m，得m=−1，−5；
∴−5
由y=x+my=−(x−3)2+4，消去y得到x2−5x+5+m=0，
当△=0时，25−20−4m=0，解得：m=54，
∴当m>54时，直线l:y=x+m与图象G有两个公共点，
综上所述，m>54或−5
当直线过抛物线与x轴的右侧交点时，恰有一个交点；直线y=x+m向上平移，在经过左侧交点之前均为两个交点；此时−554时，直线l:y=x+m与图象G有两个公共点，则可得到m的范围．
本题主要考查抛物线与直线的交点问题，熟练掌握抛物线的性质是本题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：将(0,2)，(1,2)代入y=ax2+bx+c得：
2=c2=a+b+c，解得b=−ac=2，
∴二次函数为：y=ax2−ax+2，
∵当x=32时，对应的函数值y<0，
∴94a−32a+2<0，
∴a<−83，
∴−a>83，即b>83，
∴a<0，b>0，c>0，
∴abc<0，故①不正确；
∵x=−1时y=m，x=2时y=n，
∴m=a+a+2=2a+2，n=4a−2a+2=2a+2，
∴m+n=4a+4，
∵a<−83，
∴m+n<−203，故②正确；
∵抛物线过(0,2)，(1,2)，
∴抛物线对称轴为x=12，
又∵当x=32时，对应的函数值y<0，
∴根据对称性：当x=−12时，对应的函数值y<0，
而x=0时y=2>0，
∴抛物线与x轴负半轴交点横坐标在−12和0之间，
∴关于x的方程ax2+bx+c=0的负实数根在−12和0之间，故③正确；
∵P1(t−1,y1)和P2(t+1,y2)在该二次函数的图象上，
∴y1=a(t−1)2−a(t−1)+2，y2=a(t+1)2−a(t+1)+2，
若y1>y2，则a(t−1)2−a(t−1)+2>a(t+1)2−a(t+1)+2，
即a(t−1)2−a(t−1)>a(t+1)2−a(t+1)，
∵a<0，
∴(t−1)2−(t−1)<(t+1)2−(t+1)，
解得t>12，故④不正确，
故选：B．
将(0,2)，(1,2)代入y=ax2+bx+c得b=−ac=2，可得二次函数为：y=ax2−ax+2，根据当x=32时，对应的函数值y<0，有a<−83，b>83，即得a<0，b>0，c>0，故①不正确；由m=2a+2，n=2a+2，结合a<−83，可得m+n<−203，故②正确；由抛物线过(0,2)，(1,2)，得抛物线对称轴为x=12，而当x=32时，对应的函数值y<0，可知当x=−12时，对应的函数值y<0，关于x的方程ax2+bx+c=0的负实数根在−12和0之间，故③正确；由y1=a(t−1)2−a(t−1)+2，y2=a(t+1)2−a(t+1)+2，知a(t−1)2−a(t−1)+2>a(t+1)2−a(t+1)+2时，t>12，故④不正确，
本题考查二次函数的综合应用，题目综合性较强，解题的关键是熟练掌握二次函数基本性质及图象特征，根据已知列方程或不等式．
4.【答案】B
【解析】解：∵抛物线的顶点坐标(−2,−9a)，
∴−b2a=−2，4ac−b24a=−9a，
∴b=4a，c=−5a，
∴抛物线的解析式为y=ax2+4ax−5a，
又由图可得抛物线开口向上a>0，
∴4a+2b+c=4a+8a−5a=7a>0，故①正确；
5a−b+c=5a−4a−5a=−4a<0，故②错误；
∵抛物线y=ax2+4ax−5a交x轴于(−5,0)，(1,0)，
∴若方程a(x+5)(x−1)=−1<0有两个根x1和x2，且x1
设方程ax2+bx+c=−1的两根分别为x3，x4，则同理x3+x4==−ba=−4aa=−4，
所以这四个根的和为−8，故④错误，
故选B．
根据二次函数的图象和性质逐一判断即可．
本题考查二次函数的图象和性质、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特征、抛物线与坐标轴的交点问题、二次函数与一元二次方程、一元二次方程的根与系数关系，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5.【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了可能性的大小问题，根据题意分别得出各出水口的出水量是解决问题的关键．根据出水量假设出第一次分流都为1，可以得出下一次分流的水量，依此类推得出最后得出每个出水管的出水量，进而得出答案．
【解答】
解：设从最上方流入的污水量为1．
①显然5个出口的出水量不全相同，故 ①错误;
②2号出口的出水量为116+316=14，4号出口的出水量为116+316=14，故 ②正确;
③1号出口的出水量为116，2号出口的出水量为14，3号出口的出水量为316+316=38，∴1，2，3号出口的出水量之比约为1:4:6，故 ③正确;
④∵1号与5号出口的出水量最少，为116，∴相应的三角形材料损耗速度最慢，∵第一次分流时流经相应净化材料表面的水量最多，为12，∴净化塔最上面的三角形材料损耗最快，∴更换最慢的一个三角形材料使用的时间约为更换最快的一个三角形材料使用时间的8倍，故 ④正确．
故正确的有3个.故选C．
6.【答案】B
【解析】解：由题意：a<0，c=3，
∴ac=−3<0，故①正确，
由题意抛物线的对称轴x=32，
∴当x>32时，y的值随x值的增大而减小，故②错误，
∵x=3时，y=3，
∴9a+3b+c=3，
∴9a+3(b−1)+c=0，
∴x=3是方程ax2+(b−1)x+c=0的一个根，故③正确．
∵x=−1时，y=−1，
∴a−b+c=−1，
∴a−(b−1)+c=0，
∴x=−1是方程ax2+(b−1)x+c=0的一个根，
∴当−10，故④正确．
所以选中一个正确的概率是34，
故选：B．
首先判断各个命题，再利用概率公式计算即可．
本题考查概率公式，二次函数的图象与性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7.【答案】C
【解析】
【分析】
本题是由两步完成的实验，我们把有菊花图案的一面看做正面，另一面是反面．则会有：正正，正反，反正，反反．四种结果．并且出现每种结果的机会相同，可以用列举法求概率．
用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【解答】
解：有正正，正反，反正，反反四种结果，菊花图案都朝上只有一种结果即：正正，
所以P(菊花图案都朝上)=14．
故选C．
8.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn.正确列举出：任意取两数有哪几种情况，是解决本题的关键．首先判断，数据1，−1，4，−4哪几个是方程的解．然后根据概率公式即可求解．
【解答】
解：在数据1，−1，4，−4中是一元二次方程x2−3x−4=0的根的有：4，−1.
在数据1，−1，4，−4中任选两个数据有：1，−1；1，4；1，−4；−1，4；−1，−4；4，−4共计6种情况，而均是一元二次方程x2−3x−4=0的根的只有−1，4两种情况．故均是一元二次方程x2−3x−4=0的根的概率是16.
故选A.
9.【答案】A
【解析】略
10.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了概率的简单计算能力，是一道列举法求概率的问题，属于基础题，可以直接应用求概率的公式：P(A)=mn.画出抛物线图象，确定各点横坐标所对应的纵坐标，与P点纵坐标比较即可．
【解答】
解：如图，
−2，−1，0，1，2的平方为4，1，0，1，4，
点P的坐标为(−2,4)，(−1,1)，(0,0)，(1,1)，(2,4)；
描出各点：−2<1−6，不合题意；
把x=−1代入解析式得：y1=2，1<2，故(−1,1)在该区域内；
把x=0代入解析式得：y2=5，0<5，故(0,0)在边界上，不在区域内；
把x=1代入解析式得：y3=6，1<6，故(1,1)在该区域内；
把x=2代入解析式得：y4=5，4<5，故(2,4)在该区域内．
所以5个点中有3个符合题意，点P落在抛物线y=−x2+2x+5与x轴所围成的区域内(不含边界)的概率是35．
故选C．
11.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，等腰直角三角形，二次函数的应用，二次函数的最值等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
①在BC上截取BH=BE，连接EH.证明△FAE≌△EHC(SAS)即可解决问题；
②③延长AD到H，使得DH=BE，则△CBE≌△CDH(SAS)，再证明△GCE≌△GCH(SAS)即可解决问题；
④设BE=x，则AE=a−x，AF=2x，得出面积的表达式，再根据偶次方的非负性得出最值；
⑤当BE=13a时，设DG=x，则EG=x+13a，利用勾股定理构建方程可得x=a2即可解决问题．
【解答】
解：如图1中，在BC上截取BH=BE，连接EH．
∵BE=BH，∠EBH=90°，
∴EH=2BE，∠EHB=45°，
∵AF=2BE，
∴AF=EH，
∵∠DAM=∠EHB=45°，∠BAD=90°，
∴∠FAE=∠EHC=135°，
∵BA=BC，BE=BH，
∴AE=HC，
∴△FAE≌△EHC(SAS)，
∴EF=EC，∠AEF=∠ECH，
∵∠ECH+∠CEB=90°，
∴∠AEF+∠CEB=90°，
∴∠FEC=90°，
∵EF=EC
∴∠ECF=∠EFC=45°，故①正确，
如图2中，延长AD到H，使得DH=BE，则△CBE≌△CDH(SAS)，
∴∠ECB=∠DCH，
∴∠ECH=∠BCD=90°，
∴∠ECG=∠GCH=45°，
∵CG=CG，CE=CH，
∴△GCE≌△GCH(SAS)，
∴EG=GH，
∵GH=DG+DH，DH=BE，
∴EG=BE+DG，故③错误，
∴△AEG的周长=AE+EG+AG=AE+AH=AD+DH+AE=AE+EB+AD=AB+AD=2a，故②错误，
设BE=x，则AE=a−x，AF=2x，
∴S△AEF=12⋅(a−x)×x=−12x2+12ax=−12(x2−ax+14a2−14a2)=−12(x−12a)2+18a2，
∵−12<0，
∴x=12a时，△AEF的面积的最大值为18a2.故④正确，
当BE=13a时，设DG=x，则EG=x+13a，
在Rt△AEG中，则有(x+13a)2=(a−x)2+(23a)2，
解得x=a2，
∴AG=GD，故⑤正确，
综上所述正确的结论是①④⑤．
故选：D．
12.【答案】B
【解析】解：①∵函数图象开口向上，
∴a>0，
∵对称轴在y轴右侧，a与b异号，
∴b<0，
∵函数图象与y轴交负半轴，
∴c<0，故abc>0，正确
②∵顶点坐标(1,n)，对称轴x=−b2a=1，
∴b=−2a<0，a=−b2，
∴B点(3,0)关于对称轴x=1对称点为(−1,0)，
∴当x=−1时，y=a−b+c=0，得c=32b，
∵−3
∴−2
④当x=1，时，y=a+b+c=n，
∵a=−b2，c=32b，
∴n=2b，
∴2c−a=72b，
∵b<0，
∴72b>4b，即2c−a>2n，错误．
故选：B．
①②根据二次函数图象开口方向，对称轴可求得a，b符号和关系，与y轴交点判断c的取值范围，③利用当x为1，−1时，y对应的值进行判断对错，④依据顶点坐标可以判断出系数与n关系式．
本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，函数图象对称性性质的使用，解题关键是找到各个系数与顶点坐标之间的关系．
13.【答案】−2
【分析】
本题考查了二次函数的性质，主要利用了联立两函数解析式确定交点个数的方法，根据图形求出有一个交点时的最大值与最小值是解题的关键．根据∠AOB=45°求出直线OA的解析式，然后与抛物线解析式联立求出有一个公共点时的k值，即为一个交点时的最大值，再求出抛物线经过点B时的k的值，即为一个交点时的最小值，然后写出k的取值范围即可．
【解答】
解：由图可知，∠AOB=45°，
∴直线OA的解析式为y=x，
联立y=xy=12x2+k,
消掉y得，
x2−2x+2k=0，
△=b2−4ac=(−2)2−4×1×2k=0，
即k=12时，抛物线与OA有一个交点，
此交点的横坐标为1，
∵点B的坐标为(2,0)，
∴OA=2，
∴点A的坐标为(2,2)，
∴交点在线段AO上；
当抛物线经过点B(2,0)时，12×4+k=0，
解得k=−2，
∴要使抛物线y=12x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，
实数k的取值范围是−2
【解析】解：延长CA，交y轴于点D，过点A作x轴的平行线，交y轴于点N，作CM⊥NA于M，如图，
在△ABC和△ABD中，
∠CAB=∠DAB=90°AB=AB∠CBA=∠DBA，
∴△ABC≌△ABD(ASA)，
∴AC=AD，
同理可得：△AMC≌△AND，
∴AM=AN，CM=DN．
∵抛物线y=−14(x+m)2+14m2−m的顶点为A，与y轴交于点B，
∴点A(−m,14m2−m)，点B(0,−m)，
∴AM=AN=m，ON=14m2−m，OB=m，
∴BN=m+(14m2−m)=14m2．
∵∠ABN=90°−∠BAN=∠CAM，∠ANB=∠CMA=90°，
∴△ABN∽△CAM，
∴BNAM=ANCM，
即：14m2m=mCM，
∴CM=4，
∴点C的坐标为(−2m,14m2−m−4)，
∴x=−2m，y=14m2−m−4，
∴m=−12x，
∴y=14⋅(−12x)2−(−12x)−4，
∴所求函数的解析式为：y=116x2+12x−4．
故答案为y=116x2+12x−4．
延长CA，交y轴于点D，过点A作x轴的平行线，交y轴于点N，作CM⊥NA于M.利用ASA证明△ABC≌△ABD，得出AC=AD，利用AAS证明△AMC≌△AND，得出AM=AN，CM=DN.根据函数解析式求出点A和点B的坐标，再证明△ABN∽△CAM，求出CM=4，那么点C的坐标为(−2m,14m2−m−4)，即x=−2m，y=14m2−m−4，将m=−12x代入y=14m2−m−4，即可求出y关于x的函数关系式．
本题考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，正确作出辅助线，求出点C的坐标是解题的关键．
15.【答案】35
【解析】解：由y=12kxy=−x+1可得−x+1=12kx，
整理得2kx2−2kx+1=0，
∵反比例函数的图象与一次函数图象在第一象限的部分没有公共点，
∴△=(−2k)2−4⋅(2k)⋅1<0，
解得：0
∴在第一象限的部分没有公共点的概率是35，
故答案为：35
由y=12kxy=−x+1可得−x+1=12kx，即2kx2−2kx+1=0，由两函数图象在第一象限没有公共点得出k的范围，据此利用概率公式求解可得．
本题考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．
16.【答案】35
【解析】解：由题意知，点P的坐标为(−2,2)，(−1,1)，(0,0)，(1,−1)，(2,−2)，
∵阴影部分在x轴上方，
∴(1,−1)，(2,−2)不在阴影部分内部，
当x=−2时，y=−x2+4=0<2，点(−2,2)不在阴影部分内；
当x=−1时，y=−x2+4=3>1，点(−1,1)在阴影部分内；
当x=0时，y=−x2+4=4>0，点(0,0)在阴影部分内；
∴点P落在该阴影部分内(包含边界)的概率为35，
故答案为：35．
首先根据题意求得所有点的坐标，由阴影部分是抛物线y=−x2+4在x轴上的部分与x轴所围而成，可得(1,−1)，(2,−2)不在阴影部分内部，然后分析剩余3个点即可求得答案．
此题考查了抛物线中点与抛物线的关系与古典概率的知识．题目综合性较强，解题时要注意数形结合思想的应用．
17.【答案】解：(1)把B(−2,6)，C(2,2)两点坐标代入得：4a−2b+2=64a+2b+2=2，
解这个方程组，得a=12b=−1，
∴抛物线的解析式为y=12x2−x+2；
∵y=12x2−x+2=12(x−1)2+32，
∴顶点D(1,32)，
∵B(−2,6)，C(2,2)，
∵直线BC为y=−x+4，
∴对称轴与BC的交点H(1,3)，
∴S△BDC=S△BDH+S△DHC=12×(3−32)⋅3+12×(3−32)⋅1=3．
(2)由y=−12x+by=12x2−x+2消去y得到x2−x+4−2b=0，
当△=0时，直线与抛物线相切，1−4(4−2b)=0，
∴b=158，
当直线y=−12x+b经过点C时，b=3，
当直线y=−12x+b经过点B时，b=5，
∵直线y=−12x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B、C)部分有两个交点，
∴158
(2)由y=−12x+by=12x2−x+2，当方程组只有一组解时求出b的值，当直线y=−12x+b经过点C时，求出b的值，当直线y=−12x+b经过点B时，求出b的值，由此即可解决问题．
本题考查待定系数法确定二次函数解析式、二次函数性质等知识，解题的关键是求出对称轴与直线BC交点H坐标，学会利用判别式确定两个函数图象的交点问题，属于中考常考题型．
18.【答案】解：(1)∵抛物线y2是由抛物线y1向右平移2个单位得到的，
∴y2=(x−2)2−3，
如图1所示；
(2)①∵y1=x2−3，y2=(x−2)2−3，
结合图象，由题意，知：a−3>−2，
∴a>1，
∴a的取值范围为：a>1；
②令y1=a−3，则x2−3=a−3 解得x=±a，
令y2=a−3，则(x−2)2−3=a−3，解得x=2±a，
因为x1
当0
当a>1时，a>2−a，
∴x3=a，x2=2−a，
∴x4−x3+x2−x1=4，
综上所述，x4−x3+x2−x1的最大值为4．
【解析】本题考查函数的综合问题，涉及待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，一元二次方程的解法和数形结合的思想，综合程度较高，需要学生利用数形结合的思想解决问题．
(1)根据抛物线平移的规律即可得到结论；
(2)根据函数解析式图象可知，若过点(0,a−3)(a为实数)作x轴的平行线，与函数y1、y2的图象共有4个不同的交点时，则a−3>−3且a≠1，再分别求出y1、y2分别等于a−3时x的值，分01时x1、x2、x3、x4的值，从而代入x4−x3+x2−x1可知最值情况，
19.【答案】解：(1)设每袋口罩的销售价格为x元，所得日均毛利润为y元，
由题意可得：
y=(x−12)[50−5(x−18)]=−5x2+200x−1680=−5(x−20)2+320=−5(x−20)2+320，
∵−5<0，
∴当x=20时，y有最大值320，
∴当销售价格定为每袋20元时，所得日均毛利润最大，最大日均毛利润为320元；
(2)由题意知这批口罩的利润为：20000×12×20%=48000(元)，
第一批口罩a袋，第二批口罩(20000−a)袋，
设每袋口罩的售价为m元，则(m−12)×12a−12×12a+(m−12)(20000−a)=48000，
∴m=57600040000−a，
∵8000≤a≤11200，
∴18≤m≤20，
∵m为整数，
∴每袋口罩的价格可能为18元或19元或20元．
【解析】(1)根据题意列出函数解析式即可，再根据二次函数的性质确定函数的最值；
(2)根据商店获得利润以及售出的袋数求出每袋利润，再根据a的取值范围，求出定价．
本题主要考查二次函数的应用，关键是根据题意列出函数关系式并掌握二次函数的性质．
20.【答案】解：(1)∵每次摸球活动共有3种结果，其中摸到白球的只有1种，
∴P(中奖)=13．
(2)答：老张的想法是错误的．
列表分析如下：
第一次第二次
白
红
红
白
(白，白)
(红，白)
(红，白)
红
(白，红)
(红，红)
(红，红)
红
(白，红)
(红，红)
(红，红)
或画树形图分析如图所示：
由图表或树形图可知：抽奖的结果共有9种，其中摸到白球的有5种，
∴P(中奖)=59
∵59≠13×2，
∴老张的想法是错误的．
【解析】(1)共有3种情况，摸中白球的情况有1种，所以每次摸球中奖的概率是13；
(2)老张的想法是错误的，此题属于两步完成的事件，可以采用列表法或树形图法说明即可．
此题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法或树形图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树形图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】解：(1)他从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率=14．
(2)画树状图为：
共有12种等可能的结果数；
其中恰好小明抽中“唐诗”且小红抽中“宋词”的结果数为1，小明和小红都没有抽到“三字经”的结果数为6；
所以恰好小明抽中“唐诗”且小红抽中“宋词”的概率=112
小明和小红都没有抽到“三字经”的概率=612=12
【解析】(1)直接利用概率公式求解；
(2)先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
22.【答案】解：(1)树状图如图所示：
(2)方程x2−5x+6=0的解为x=2或者3，
若m，n都是方程x2−5x+6=0的解时，
则m=2，n=2，或m=3，n=3，或m=2，n=3，或m=3，n=2
若m，n都不是方程x2−5x+6=0的解时，
则m=1，n=4，或m=4，n=4；
由树状图得：共有12个等可能的结果，m，n都是方程x2−5x+6=0的解的结果有4个，
m，n都不是方程x2−5x+6=0的解的结果有2个，
小明获胜的概率为412=13，小利获胜的概率为212=16，
∴小明获胜的概率大．
【解析】本题考查了列表法与树状图法、一元二次方程的解法以及概率公式；画出树状图是解题的关键．
(1)首先根据题意画出树状图，然后由树状图可得所有可能的结果；
(2)画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出m，n都是方程x2−5x+6=0的解和m，n都不是方程x2−5x+6=0的解的结果数，然后根据概率公式求解．
23.【答案】解：(1)显然标有数字“6“的面有20−1−2−3−4−5=5个
所以P(6朝上)=14；
(2)标有“5“和“6”的面各有5个，多于标有其他数字的面；
所以，P(5朝上)=P(6朝上)=14，为最大．
【解析】(1)根据概率的计算公式，易得标有数字“6“的面数，进而与总面数相比可得答案；
(2)根据可能性的大小的比较，比较标有各种数字的面数，进而可得答案．
此题考查概率的计算公式与可能性大小的比较，注意结合题意，分析情况的总数目与符合条件的数目．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24.【答案】解：(1)当m=4时，红球有4个、白球有12个、黄球有14个，
则小李摸到红球的概率是430=215；
(2)若要是双方摸到红球和黄球的概率相等，
则袋子中红球和黄球的数量相等，即m=30−m−3m，
解得：m=6，
即当m=6时，游戏对双方是公平的．
【解析】(1)由当m=4时，红球有4个、白球有12个、黄球有14个，用红球数量除以球的总数即可得；
(2)若要是双方摸到红球和黄球的概率相等知袋子中红球和黄球的数量相等，据此列出关于m的方程，解之可得．
本题主要考查游戏的公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
25.【答案】解：(1)y=−x2−2x+3；(−1,4)
(2)∵OB=OC，
∴∠CBO=45°，
∵S△CPD：S△BPD=1：2，
∴BD=23BC=23×32=22，
yD=BDsin∠CBO=2，
则点D(−1,2)；
(3)如图2，设直线PE交x轴于点H，
∵∠OGE=15°，∠PEG=2∠OGE=30°，
∴∠OHE=45°，
∴OH=OE=1，
则直线HE的表达式为：y=−x−1…②，
联立①②并解得：x=−1±172(舍去正值)，
故点P(−1−172,17−12)；
(4)不存在，理由：
连接BC，过点P作y轴的平行线交BC于点H，
直线BC的表达式为：y=x+3，
设点P(x,−x2−2x+3)，点H(x,x+3)，
则S四边形BOCP=S△OBC+S△PBC=12×3×3+12(−x2−2x+3−x−3)×3=8，
整理得：3x2+9x+7=0，
解得：△<0，故方程无解，
则不存在满足条件的点P.
【解析】解：(1)函数的表达式为：y=a(x−1)(x+3)=a(x2+2x−3)，
即：−3a=3，解得：a=−1，
故抛物线的表达式为：y=−x2−2x+3…①，
顶点坐标为(−1,4)；
故答案为y=−x2−2x+3；(−1,4)；
(2)见答案；
(3)见答案；
(4)见答案．
(1)函数的表达式为：y=a(x−1)(x+3)=a(x2+2x−3)，即可求解；
(2)S△CPD：S△BPD=1：2，则BD=23BC=23×32=22，即可求解；
(3)∠OGE=15°，∠PEG=2∠OGE=30°，则∠OHE=45°，故OH=OE=1，即可求解；
(4)利用S四边形BOCP=S△OBC+S△PBC=8，即可求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、一元二次方程应用、图象的面积计算等，难度不大．
浙教版初中数学九年级上册期中测试卷
考试范围：第一.二章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点(−1,0)，对称轴为直线x=1，下列结论：
①abc<0②b
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
2. 课堂上，老师给出一道题：如图，将抛物线C：y=x2−6x+5在x轴下方的图象沿x轴翻折，翻折后得到的图象与抛物线C在x轴上方的图象记为G，已知直线l：y=x+m与图象G有两个公共点，求m的取值范围甲同学的结果是−5
A. 甲的结果正确 B. 乙的结果正确
C. 甲、乙的结果合在一起才正确 D. 甲、乙的结果合在一起也不正确
3. 二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x
…
−1
0
1
2
…
y
…
m
2
2
n
…
且当x=32时，对应的函数值y<0.有以下结论：
①abc>0；②m+n<−203；③关于x的方程ax2+bx+c=0的负实数根在−12和0之间；④P1(t−1,y1)和P2(t+1,y2)在该二次函数的图象上，则当实数t>13时，y1>y2．
其中正确的结论是( )
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②③④
4. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的大致图象如图所示，顶点坐标为(−2,−9a)，下列结论：①4a+2b+c>0；②5a−b+c=0；③若方程a(x+5)(x−1)=−1有两个根x1和x2，且x1
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5. 如图所示为一个污水净化塔内部，污水从上方人口进入后流经形如等腰直角三角形的净化材料表面，流向如图中箭头所示，每一次水流流经三角形两腰的机会相同，经过四层净化后流入底部的5个出口中的一个.下列判断： ①5个出口的出水量相同; ②2号出口的出水量与4号出口的出水量相同; ③1，2，3号出口的出水量之比约为1:4:6; ④若净化材料损耗的速度与流经其表面的水量成正比，则更换最慢的一个三角形材料使用的时间约为更换最快的一个三角形材料使用时间的8倍.其中正确的判断有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
6. 二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，且a≠0)中的x与y的部分对应值如表：
x
−1
0
1
3
y
−1
3
5
3
有下列结论：
①ac<0；
②当x>1时，y的值随x值的增大而减小；
③x=3是方程ax2+(b−1)x+c=0的一个根；
④当−1
小明从中任意选取一个结论，则选中正确结论的概率为( )
A. 1 B. 34 C. 12 D. 14
7. 同时抛掷两枚1元的硬币，菊花图案都朝上的概率是( )
A. 1/2 B. 1/3 C. 1/4 D. 1/5
8. 在数据1，−1，4，−4中任选两个数据，均是一元二次方程x2−3x−4=0的根的概率是( )
A. B. C. D.
9. 下列算式运算结果正确的概率是( )
①9=±3；②(−13)−2=9；③26÷23=6；④(−2016)2=2016；⑤a+a=a2．
A. 15 B. 25 C. 35 D. 45
10. 在一个不透明的盒子里装有5个分别写有数字−2，−1，0，1，2的小球，它们除数字不同外其余全部相同.现从盒子里随机取出一个小球，将该小球上的数字作为点P的横坐标，将该数的平方作为点P的纵坐标，则点P落在抛物线y=−x2+2x+5与x轴所围成的区域内(不含边界)的概率是．( )
A. 15 B. 25 C. 35 D. 45
11. 如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动(不与点A，B重合)，∠DAM=45°，点F在射线AM上，且AF=2BE，CF与AD相交于点G，连接EC、EF、EG.则下列结论：
①∠ECF=45°； ②△AEG的周长为(1+22)a； ③BE2+DG2=EG2；
④△EAF的面积的最大值是18a2； ⑤当BE=13a时，G是线段AD的中点．
其中正确的结论是( )
A. ①②③ B. ②④⑤ C. ①③④ D. ①④⑤
12. 如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为(1,n)，与x轴的一个交点B(3,0)，与y轴的交点在(0,−3)和(0,−2)之间.下列结论中：①abc>0；②−2
B. 2
C. 3
D. 4
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为(2,0)，若抛物线y=12x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是________．
14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−14(x+m)2+14m2−m的顶点为A，与y轴交于点B，则点B的坐标为______(用含m的代数式表示)；若作AC⊥AB，且∠ABC=∠ABO(C、O在AB的两侧)，设点C的坐标为(x,y)，则y关于x的函数关系式为______．
15. 从14，12，1，2，4五个数中任意取出一个数作为反比例函数y=12kx(k>0)中k的值．那么，一次函数y=−x+1与反比例函数y=12kx(k>0)的图象在第一象限的部分没有公共点的概率是______．
16. 如图所示的阴影部分是由抛物线y=−x2+4的像与x轴所围而成．现将背面完全相同，正面分别标有数−2，−1，0，1，2的5张卡片洗匀后，背面朝上，从中任取一张，将该卡片上的数作为点P的横坐标，将该数的相反数作为点P的纵坐标，则点P落在该阴影部分内(包含边界)的概率为______．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）
17. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过B(−2,6)，C(2,2)两点．
(1)记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；
(2)若直线y=−12x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B、C)部分有两个交点，求b的取值范围．
18. 如图所示为抛物线y1=x2−3的图象，且抛物线y2是由抛物线y1向右平移2个单位得到的．
(1)写出抛物线y2的函数表达式，并在直角坐标系中画出抛物线y2的图象;
(2)过点(0,a−3)(a为实数)作x轴的平行线，与抛物线y1，y2共有4个不同的交点，设这4个交点的横坐标分别是x1，x2，x3，x4．
①求a的取值范围;
②若x1
(1)经市场调查发现，当售价为每袋18元时，日均销售量为50袋，每袋售价每增加1元，日均销售量减少5袋．售价定为每袋多少元时，所得日均毛利润最大？最大日均毛利润为多少元？
(2)疫情期间，该商店分两批共购进2万袋同款口罩，进价不变．该商店将购进的第一批口罩a袋(8000≤a≤11200)做“买一送一”的促销活动，第二批口罩没有做促销活动，且这两批的售价相同．若这2万袋口罩全部售出后的总利润率为20%，则每袋口罩的售价可能是多少元？(毛利润=售价−进价，利润率=毛利润÷进价)
20. “十一”期间，老张在某商场购物后，参加了出口处的抽奖活动．抽奖规则如下：每张发票可摸球一次，每次从装有大小形状都相同的1个白球和2个红球的盒子中，随机摸出一个球，若摸出的是白球，则获得一份奖品；若摸出的是红球，则不获奖．
(1)求每次摸球中奖的概率；
(2)老张想：“我手中有两张发票，那么中奖的概率就翻了一倍．”你认为老张的想法正确吗？用列表法或画树形图分析说明．
21. 为弘扬中华民族传统文化，某市举办了中小学生“国学经典大赛”，比赛项目为：A.唐诗；B.宋词；C.论语；D.三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．
(1)小华参加“单人组”，他从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“论语”的概率是多少？
(2)小明和小红组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次．则恰好小明抽中“唐诗”且小红抽中“宋词”的概率是多少？小明和小红都没有抽到“三字经”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．
22. 在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n．
(1)请用列表或画树状图的方法表示出所有(m,n)可能的结果；
(2)若m，n都是方程x2−5x+6=0的解时，则小明获胜；若m，n都不是方程x2−5x+6=0的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？
23. 如图，有一个均匀的正二十面体形状的骰子，其中1个面标有“1“，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”，将这个骰子掷出后．
(1)“6”朝上的概率是多少？
(2)哪个数字朝上的概率最大？
24. 一个不透明的盒子里装有30个除颜色外其它均相同的球，其中红球有m个，白球有3m个，其它均为黄球．现小李从盒子里随机摸出一个球，若是红球，则小李获胜；小李把摸出的球放回盒子里摇匀，由小马随机摸出一个球，若为黄球，则小马获胜．
(1)当m=4时，求小李摸到红球的概率是多少？
(2)当m为何值时，游戏对双方是公平的？
25. 已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A(1,0)和点B(−3,0)，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．
(1)抛物线的解析式为______，抛物线的顶点坐标为______；
(2)如图1，连接OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD=1：2时，请求出点D的坐标；
(3)如图2，点E的坐标为(0,−1)，点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE=15°，连接PE，若∠PEG=2∠OGE，请求出点P的坐标；
(4)如图3，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定由抛物线开口方向、对称轴、与y轴的交点有关．
由对称轴和抛物线与y轴的交点判断①，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对其余所得结论进行判断．
【解答】
解：①对称轴位于x轴的右侧，则a，b异号，即ab<0．
抛物线与y轴交于正半轴，则c>0．
∴abc<0．
故①正确；
②∵抛物线开口向下，
∴a<0．
∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a=1，
∴b=−2a．
∵x=−1时，y=0，
∴a−b+c=0，
而b=−2a，
∴c=−3a，
∴b−c=−2a+3a=a<0，
即b
③∵x=−1时，y=0，
∴a−b+c=0，
而b=−2a，
∴3a+c=0．
故③正确；
④由抛物线的对称性质得到：抛物线与x轴的另一交点坐标是(3,0)．
∴当y>0时，−1
综上所述，正确的结论有4个．
故选：D．
2.【答案】C
【解析】解：令y=x2−6x+5=0，解得(1,0)，(5,0)
将点(1,0)，(5,0)代入直线y=x+m，得m=−1，−5；
∴−5
由y=x+my=−(x−3)2+4，消去y得到x2−5x+5+m=0，
当△=0时，25−20−4m=0，解得：m=54，
∴当m>54时，直线l:y=x+m与图象G有两个公共点，
综上所述，m>54或−5
当直线过抛物线与x轴的右侧交点时，恰有一个交点；直线y=x+m向上平移，在经过左侧交点之前均为两个交点；此时−5
本题主要考查抛物线与直线的交点问题，熟练掌握抛物线的性质是本题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：将(0,2)，(1,2)代入y=ax2+bx+c得：
2=c2=a+b+c，解得b=−ac=2，
∴二次函数为：y=ax2−ax+2，
∵当x=32时，对应的函数值y<0，
∴94a−32a+2<0，
∴a<−83，
∴−a>83，即b>83，
∴a<0，b>0，c>0，
∴abc<0，故①不正确；
∵x=−1时y=m，x=2时y=n，
∴m=a+a+2=2a+2，n=4a−2a+2=2a+2，
∴m+n=4a+4，
∵a<−83，
∴m+n<−203，故②正确；
∵抛物线过(0,2)，(1,2)，
∴抛物线对称轴为x=12，
又∵当x=32时，对应的函数值y<0，
∴根据对称性：当x=−12时，对应的函数值y<0，
而x=0时y=2>0，
∴抛物线与x轴负半轴交点横坐标在−12和0之间，
∴关于x的方程ax2+bx+c=0的负实数根在−12和0之间，故③正确；
∵P1(t−1,y1)和P2(t+1,y2)在该二次函数的图象上，
∴y1=a(t−1)2−a(t−1)+2，y2=a(t+1)2−a(t+1)+2，
若y1>y2，则a(t−1)2−a(t−1)+2>a(t+1)2−a(t+1)+2，
即a(t−1)2−a(t−1)>a(t+1)2−a(t+1)，
∵a<0，
∴(t−1)2−(t−1)<(t+1)2−(t+1)，
解得t>12，故④不正确，
故选：B．
将(0,2)，(1,2)代入y=ax2+bx+c得b=−ac=2，可得二次函数为：y=ax2−ax+2，根据当x=32时，对应的函数值y<0，有a<−83，b>83，即得a<0，b>0，c>0，故①不正确；由m=2a+2，n=2a+2，结合a<−83，可得m+n<−203，故②正确；由抛物线过(0,2)，(1,2)，得抛物线对称轴为x=12，而当x=32时，对应的函数值y<0，可知当x=−12时，对应的函数值y<0，关于x的方程ax2+bx+c=0的负实数根在−12和0之间，故③正确；由y1=a(t−1)2−a(t−1)+2，y2=a(t+1)2−a(t+1)+2，知a(t−1)2−a(t−1)+2>a(t+1)2−a(t+1)+2时，t>12，故④不正确，
本题考查二次函数的综合应用，题目综合性较强，解题的关键是熟练掌握二次函数基本性质及图象特征，根据已知列方程或不等式．
4.【答案】B
【解析】解：∵抛物线的顶点坐标(−2,−9a)，
∴−b2a=−2，4ac−b24a=−9a，
∴b=4a，c=−5a，
∴抛物线的解析式为y=ax2+4ax−5a，
又由图可得抛物线开口向上a>0，
∴4a+2b+c=4a+8a−5a=7a>0，故①正确；
5a−b+c=5a−4a−5a=−4a<0，故②错误；
∵抛物线y=ax2+4ax−5a交x轴于(−5,0)，(1,0)，
∴若方程a(x+5)(x−1)=−1<0有两个根x1和x2，且x1
设方程ax2+bx+c=−1的两根分别为x3，x4，则同理x3+x4==−ba=−4aa=−4，
所以这四个根的和为−8，故④错误，
故选B．
根据二次函数的图象和性质逐一判断即可．
本题考查二次函数的图象和性质、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特征、抛物线与坐标轴的交点问题、二次函数与一元二次方程、一元二次方程的根与系数关系，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5.【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了可能性的大小问题，根据题意分别得出各出水口的出水量是解决问题的关键．根据出水量假设出第一次分流都为1，可以得出下一次分流的水量，依此类推得出最后得出每个出水管的出水量，进而得出答案．
【解答】
解：设从最上方流入的污水量为1．
①显然5个出口的出水量不全相同，故 ①错误;
②2号出口的出水量为116+316=14，4号出口的出水量为116+316=14，故 ②正确;
③1号出口的出水量为116，2号出口的出水量为14，3号出口的出水量为316+316=38，∴1，2，3号出口的出水量之比约为1:4:6，故 ③正确;
④∵1号与5号出口的出水量最少，为116，∴相应的三角形材料损耗速度最慢，∵第一次分流时流经相应净化材料表面的水量最多，为12，∴净化塔最上面的三角形材料损耗最快，∴更换最慢的一个三角形材料使用的时间约为更换最快的一个三角形材料使用时间的8倍，故 ④正确．
故正确的有3个.故选C．
6.【答案】B
【解析】解：由题意：a<0，c=3，
∴ac=−3<0，故①正确，
由题意抛物线的对称轴x=32，
∴当x>32时，y的值随x值的增大而减小，故②错误，
∵x=3时，y=3，
∴9a+3b+c=3，
∴9a+3(b−1)+c=0，
∴x=3是方程ax2+(b−1)x+c=0的一个根，故③正确．
∵x=−1时，y=−1，
∴a−b+c=−1，
∴a−(b−1)+c=0，
∴x=−1是方程ax2+(b−1)x+c=0的一个根，
∴当−1
所以选中一个正确的概率是34，
故选：B．
首先判断各个命题，再利用概率公式计算即可．
本题考查概率公式，二次函数的图象与性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7.【答案】C
【解析】
【分析】
本题是由两步完成的实验，我们把有菊花图案的一面看做正面，另一面是反面．则会有：正正，正反，反正，反反．四种结果．并且出现每种结果的机会相同，可以用列举法求概率．
用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【解答】
解：有正正，正反，反正，反反四种结果，菊花图案都朝上只有一种结果即：正正，
所以P(菊花图案都朝上)=14．
故选C．
8.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn.正确列举出：任意取两数有哪几种情况，是解决本题的关键．首先判断，数据1，−1，4，−4哪几个是方程的解．然后根据概率公式即可求解．
【解答】
解：在数据1，−1，4，−4中是一元二次方程x2−3x−4=0的根的有：4，−1.
在数据1，−1，4，−4中任选两个数据有：1，−1；1，4；1，−4；−1，4；−1，−4；4，−4共计6种情况，而均是一元二次方程x2−3x−4=0的根的只有−1，4两种情况．故均是一元二次方程x2−3x−4=0的根的概率是16.
故选A.
9.【答案】A
【解析】略
10.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了概率的简单计算能力，是一道列举法求概率的问题，属于基础题，可以直接应用求概率的公式：P(A)=mn.画出抛物线图象，确定各点横坐标所对应的纵坐标，与P点纵坐标比较即可．
【解答】
解：如图，
−2，−1，0，1，2的平方为4，1，0，1，4，
点P的坐标为(−2,4)，(−1,1)，(0,0)，(1,1)，(2,4)；
描出各点：−2<1−6，不合题意；
把x=−1代入解析式得：y1=2，1<2，故(−1,1)在该区域内；
把x=0代入解析式得：y2=5，0<5，故(0,0)在边界上，不在区域内；
把x=1代入解析式得：y3=6，1<6，故(1,1)在该区域内；
把x=2代入解析式得：y4=5，4<5，故(2,4)在该区域内．
所以5个点中有3个符合题意，点P落在抛物线y=−x2+2x+5与x轴所围成的区域内(不含边界)的概率是35．
故选C．
11.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，等腰直角三角形，二次函数的应用，二次函数的最值等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
①在BC上截取BH=BE，连接EH.证明△FAE≌△EHC(SAS)即可解决问题；
②③延长AD到H，使得DH=BE，则△CBE≌△CDH(SAS)，再证明△GCE≌△GCH(SAS)即可解决问题；
④设BE=x，则AE=a−x，AF=2x，得出面积的表达式，再根据偶次方的非负性得出最值；
⑤当BE=13a时，设DG=x，则EG=x+13a，利用勾股定理构建方程可得x=a2即可解决问题．
【解答】
解：如图1中，在BC上截取BH=BE，连接EH．
∵BE=BH，∠EBH=90°，
∴EH=2BE，∠EHB=45°，
∵AF=2BE，
∴AF=EH，
∵∠DAM=∠EHB=45°，∠BAD=90°，
∴∠FAE=∠EHC=135°，
∵BA=BC，BE=BH，
∴AE=HC，
∴△FAE≌△EHC(SAS)，
∴EF=EC，∠AEF=∠ECH，
∵∠ECH+∠CEB=90°，
∴∠AEF+∠CEB=90°，
∴∠FEC=90°，
∵EF=EC
∴∠ECF=∠EFC=45°，故①正确，
如图2中，延长AD到H，使得DH=BE，则△CBE≌△CDH(SAS)，
∴∠ECB=∠DCH，
∴∠ECH=∠BCD=90°，
∴∠ECG=∠GCH=45°，
∵CG=CG，CE=CH，
∴△GCE≌△GCH(SAS)，
∴EG=GH，
∵GH=DG+DH，DH=BE，
∴EG=BE+DG，故③错误，
∴△AEG的周长=AE+EG+AG=AE+AH=AD+DH+AE=AE+EB+AD=AB+AD=2a，故②错误，
设BE=x，则AE=a−x，AF=2x，
∴S△AEF=12⋅(a−x)×x=−12x2+12ax=−12(x2−ax+14a2−14a2)=−12(x−12a)2+18a2，
∵−12<0，
∴x=12a时，△AEF的面积的最大值为18a2.故④正确，
当BE=13a时，设DG=x，则EG=x+13a，
在Rt△AEG中，则有(x+13a)2=(a−x)2+(23a)2，
解得x=a2，
∴AG=GD，故⑤正确，
综上所述正确的结论是①④⑤．
故选：D．
12.【答案】B
【解析】解：①∵函数图象开口向上，
∴a>0，
∵对称轴在y轴右侧，a与b异号，
∴b<0，
∵函数图象与y轴交负半轴，
∴c<0，故abc>0，正确
②∵顶点坐标(1,n)，对称轴x=−b2a=1，
∴b=−2a<0，a=−b2，
∴B点(3,0)关于对称轴x=1对称点为(−1,0)，
∴当x=−1时，y=a−b+c=0，得c=32b，
∵−3
∴−2
④当x=1，时，y=a+b+c=n，
∵a=−b2，c=32b，
∴n=2b，
∴2c−a=72b，
∵b<0，
∴72b>4b，即2c−a>2n，错误．
故选：B．
①②根据二次函数图象开口方向，对称轴可求得a，b符号和关系，与y轴交点判断c的取值范围，③利用当x为1，−1时，y对应的值进行判断对错，④依据顶点坐标可以判断出系数与n关系式．
本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，函数图象对称性性质的使用，解题关键是找到各个系数与顶点坐标之间的关系．
13.【答案】−2
【分析】
本题考查了二次函数的性质，主要利用了联立两函数解析式确定交点个数的方法，根据图形求出有一个交点时的最大值与最小值是解题的关键．根据∠AOB=45°求出直线OA的解析式，然后与抛物线解析式联立求出有一个公共点时的k值，即为一个交点时的最大值，再求出抛物线经过点B时的k的值，即为一个交点时的最小值，然后写出k的取值范围即可．
【解答】
解：由图可知，∠AOB=45°，
∴直线OA的解析式为y=x，
联立y=xy=12x2+k,
消掉y得，
x2−2x+2k=0，
△=b2−4ac=(−2)2−4×1×2k=0，
即k=12时，抛物线与OA有一个交点，
此交点的横坐标为1，
∵点B的坐标为(2,0)，
∴OA=2，
∴点A的坐标为(2,2)，
∴交点在线段AO上；
当抛物线经过点B(2,0)时，12×4+k=0，
解得k=−2，
∴要使抛物线y=12x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，
实数k的取值范围是−2
【解析】解：延长CA，交y轴于点D，过点A作x轴的平行线，交y轴于点N，作CM⊥NA于M，如图，
在△ABC和△ABD中，
∠CAB=∠DAB=90°AB=AB∠CBA=∠DBA，
∴△ABC≌△ABD(ASA)，
∴AC=AD，
同理可得：△AMC≌△AND，
∴AM=AN，CM=DN．
∵抛物线y=−14(x+m)2+14m2−m的顶点为A，与y轴交于点B，
∴点A(−m,14m2−m)，点B(0,−m)，
∴AM=AN=m，ON=14m2−m，OB=m，
∴BN=m+(14m2−m)=14m2．
∵∠ABN=90°−∠BAN=∠CAM，∠ANB=∠CMA=90°，
∴△ABN∽△CAM，
∴BNAM=ANCM，
即：14m2m=mCM，
∴CM=4，
∴点C的坐标为(−2m,14m2−m−4)，
∴x=−2m，y=14m2−m−4，
∴m=−12x，
∴y=14⋅(−12x)2−(−12x)−4，
∴所求函数的解析式为：y=116x2+12x−4．
故答案为y=116x2+12x−4．
延长CA，交y轴于点D，过点A作x轴的平行线，交y轴于点N，作CM⊥NA于M.利用ASA证明△ABC≌△ABD，得出AC=AD，利用AAS证明△AMC≌△AND，得出AM=AN，CM=DN.根据函数解析式求出点A和点B的坐标，再证明△ABN∽△CAM，求出CM=4，那么点C的坐标为(−2m,14m2−m−4)，即x=−2m，y=14m2−m−4，将m=−12x代入y=14m2−m−4，即可求出y关于x的函数关系式．
本题考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，正确作出辅助线，求出点C的坐标是解题的关键．
15.【答案】35
【解析】解：由y=12kxy=−x+1可得−x+1=12kx，
整理得2kx2−2kx+1=0，
∵反比例函数的图象与一次函数图象在第一象限的部分没有公共点，
∴△=(−2k)2−4⋅(2k)⋅1<0，
解得：0
∴在第一象限的部分没有公共点的概率是35，
故答案为：35
由y=12kxy=−x+1可得−x+1=12kx，即2kx2−2kx+1=0，由两函数图象在第一象限没有公共点得出k的范围，据此利用概率公式求解可得．
本题考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．
16.【答案】35
【解析】解：由题意知，点P的坐标为(−2,2)，(−1,1)，(0,0)，(1,−1)，(2,−2)，
∵阴影部分在x轴上方，
∴(1,−1)，(2,−2)不在阴影部分内部，
当x=−2时，y=−x2+4=0<2，点(−2,2)不在阴影部分内；
当x=−1时，y=−x2+4=3>1，点(−1,1)在阴影部分内；
当x=0时，y=−x2+4=4>0，点(0,0)在阴影部分内；
∴点P落在该阴影部分内(包含边界)的概率为35，
故答案为：35．
首先根据题意求得所有点的坐标，由阴影部分是抛物线y=−x2+4在x轴上的部分与x轴所围而成，可得(1,−1)，(2,−2)不在阴影部分内部，然后分析剩余3个点即可求得答案．
此题考查了抛物线中点与抛物线的关系与古典概率的知识．题目综合性较强，解题时要注意数形结合思想的应用．
17.【答案】解：(1)把B(−2,6)，C(2,2)两点坐标代入得：4a−2b+2=64a+2b+2=2，
解这个方程组，得a=12b=−1，
∴抛物线的解析式为y=12x2−x+2；
∵y=12x2−x+2=12(x−1)2+32，
∴顶点D(1,32)，
∵B(−2,6)，C(2,2)，
∵直线BC为y=−x+4，
∴对称轴与BC的交点H(1,3)，
∴S△BDC=S△BDH+S△DHC=12×(3−32)⋅3+12×(3−32)⋅1=3．
(2)由y=−12x+by=12x2−x+2消去y得到x2−x+4−2b=0，
当△=0时，直线与抛物线相切，1−4(4−2b)=0，
∴b=158，
当直线y=−12x+b经过点C时，b=3，
当直线y=−12x+b经过点B时，b=5，
∵直线y=−12x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B、C)部分有两个交点，
∴158
(2)由y=−12x+by=12x2−x+2，当方程组只有一组解时求出b的值，当直线y=−12x+b经过点C时，求出b的值，当直线y=−12x+b经过点B时，求出b的值，由此即可解决问题．
本题考查待定系数法确定二次函数解析式、二次函数性质等知识，解题的关键是求出对称轴与直线BC交点H坐标，学会利用判别式确定两个函数图象的交点问题，属于中考常考题型．
18.【答案】解：(1)∵抛物线y2是由抛物线y1向右平移2个单位得到的，
∴y2=(x−2)2−3，
如图1所示；
(2)①∵y1=x2−3，y2=(x−2)2−3，
结合图象，由题意，知：a−3>−2，
∴a>1，
∴a的取值范围为：a>1；
②令y1=a−3，则x2−3=a−3 解得x=±a，
令y2=a−3，则(x−2)2−3=a−3，解得x=2±a，
因为x1
当0
当a>1时，a>2−a，
∴x3=a，x2=2−a，
∴x4−x3+x2−x1=4，
综上所述，x4−x3+x2−x1的最大值为4．
【解析】本题考查函数的综合问题，涉及待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，一元二次方程的解法和数形结合的思想，综合程度较高，需要学生利用数形结合的思想解决问题．
(1)根据抛物线平移的规律即可得到结论；
(2)根据函数解析式图象可知，若过点(0,a−3)(a为实数)作x轴的平行线，与函数y1、y2的图象共有4个不同的交点时，则a−3>−3且a≠1，再分别求出y1、y2分别等于a−3时x的值，分0
19.【答案】解：(1)设每袋口罩的销售价格为x元，所得日均毛利润为y元，
由题意可得：
y=(x−12)[50−5(x−18)]=−5x2+200x−1680=−5(x−20)2+320=−5(x−20)2+320，
∵−5<0，
∴当x=20时，y有最大值320，
∴当销售价格定为每袋20元时，所得日均毛利润最大，最大日均毛利润为320元；
(2)由题意知这批口罩的利润为：20000×12×20%=48000(元)，
第一批口罩a袋，第二批口罩(20000−a)袋，
设每袋口罩的售价为m元，则(m−12)×12a−12×12a+(m−12)(20000−a)=48000，
∴m=57600040000−a，
∵8000≤a≤11200，
∴18≤m≤20，
∵m为整数，
∴每袋口罩的价格可能为18元或19元或20元．
【解析】(1)根据题意列出函数解析式即可，再根据二次函数的性质确定函数的最值；
(2)根据商店获得利润以及售出的袋数求出每袋利润，再根据a的取值范围，求出定价．
本题主要考查二次函数的应用，关键是根据题意列出函数关系式并掌握二次函数的性质．
20.【答案】解：(1)∵每次摸球活动共有3种结果，其中摸到白球的只有1种，
∴P(中奖)=13．
(2)答：老张的想法是错误的．
列表分析如下：
第一次第二次
白
红
红
白
(白，白)
(红，白)
(红，白)
红
(白，红)
(红，红)
(红，红)
红
(白，红)
(红，红)
(红，红)
或画树形图分析如图所示：
由图表或树形图可知：抽奖的结果共有9种，其中摸到白球的有5种，
∴P(中奖)=59
∵59≠13×2，
∴老张的想法是错误的．
【解析】(1)共有3种情况，摸中白球的情况有1种，所以每次摸球中奖的概率是13；
(2)老张的想法是错误的，此题属于两步完成的事件，可以采用列表法或树形图法说明即可．
此题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法或树形图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树形图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】解：(1)他从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率=14．
(2)画树状图为：
共有12种等可能的结果数；
其中恰好小明抽中“唐诗”且小红抽中“宋词”的结果数为1，小明和小红都没有抽到“三字经”的结果数为6；
所以恰好小明抽中“唐诗”且小红抽中“宋词”的概率=112
小明和小红都没有抽到“三字经”的概率=612=12
【解析】(1)直接利用概率公式求解；
(2)先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
22.【答案】解：(1)树状图如图所示：
(2)方程x2−5x+6=0的解为x=2或者3，
若m，n都是方程x2−5x+6=0的解时，
则m=2，n=2，或m=3，n=3，或m=2，n=3，或m=3，n=2
若m，n都不是方程x2−5x+6=0的解时，
则m=1，n=4，或m=4，n=4；
由树状图得：共有12个等可能的结果，m，n都是方程x2−5x+6=0的解的结果有4个，
m，n都不是方程x2−5x+6=0的解的结果有2个，
小明获胜的概率为412=13，小利获胜的概率为212=16，
∴小明获胜的概率大．
【解析】本题考查了列表法与树状图法、一元二次方程的解法以及概率公式；画出树状图是解题的关键．
(1)首先根据题意画出树状图，然后由树状图可得所有可能的结果；
(2)画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出m，n都是方程x2−5x+6=0的解和m，n都不是方程x2−5x+6=0的解的结果数，然后根据概率公式求解．
23.【答案】解：(1)显然标有数字“6“的面有20−1−2−3−4−5=5个
所以P(6朝上)=14；
(2)标有“5“和“6”的面各有5个，多于标有其他数字的面；
所以，P(5朝上)=P(6朝上)=14，为最大．
【解析】(1)根据概率的计算公式，易得标有数字“6“的面数，进而与总面数相比可得答案；
(2)根据可能性的大小的比较，比较标有各种数字的面数，进而可得答案．
此题考查概率的计算公式与可能性大小的比较，注意结合题意，分析情况的总数目与符合条件的数目．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24.【答案】解：(1)当m=4时，红球有4个、白球有12个、黄球有14个，
则小李摸到红球的概率是430=215；
(2)若要是双方摸到红球和黄球的概率相等，
则袋子中红球和黄球的数量相等，即m=30−m−3m，
解得：m=6，
即当m=6时，游戏对双方是公平的．
【解析】(1)由当m=4时，红球有4个、白球有12个、黄球有14个，用红球数量除以球的总数即可得；
(2)若要是双方摸到红球和黄球的概率相等知袋子中红球和黄球的数量相等，据此列出关于m的方程，解之可得．
本题主要考查游戏的公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
25.【答案】解：(1)y=−x2−2x+3；(−1,4)
(2)∵OB=OC，
∴∠CBO=45°，
∵S△CPD：S△BPD=1：2，
∴BD=23BC=23×32=22，
yD=BDsin∠CBO=2，
则点D(−1,2)；
(3)如图2，设直线PE交x轴于点H，
∵∠OGE=15°，∠PEG=2∠OGE=30°，
∴∠OHE=45°，
∴OH=OE=1，
则直线HE的表达式为：y=−x−1…②，
联立①②并解得：x=−1±172(舍去正值)，
故点P(−1−172,17−12)；
(4)不存在，理由：
连接BC，过点P作y轴的平行线交BC于点H，
直线BC的表达式为：y=x+3，
设点P(x,−x2−2x+3)，点H(x,x+3)，
则S四边形BOCP=S△OBC+S△PBC=12×3×3+12(−x2−2x+3−x−3)×3=8，
整理得：3x2+9x+7=0，
解得：△<0，故方程无解，
则不存在满足条件的点P.
【解析】解：(1)函数的表达式为：y=a(x−1)(x+3)=a(x2+2x−3)，
即：−3a=3，解得：a=−1，
故抛物线的表达式为：y=−x2−2x+3…①，
顶点坐标为(−1,4)；
故答案为y=−x2−2x+3；(−1,4)；
(2)见答案；
(3)见答案；
(4)见答案．
(1)函数的表达式为：y=a(x−1)(x+3)=a(x2+2x−3)，即可求解；
(2)S△CPD：S△BPD=1：2，则BD=23BC=23×32=22，即可求解；
(3)∠OGE=15°，∠PEG=2∠OGE=30°，则∠OHE=45°，故OH=OE=1，即可求解；
(4)利用S四边形BOCP=S△OBC+S△PBC=8，即可求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、一元二次方程应用、图象的面积计算等，难度不大．
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