福建省龙岩市上杭县2021-2022学年八年级下学期期末教学质量检查数学试题(word版含答案)

这是一份福建省龙岩市上杭县2021-2022学年八年级下学期期末教学质量检查数学试题(word版含答案)，共36页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
龙岩市上杭县2021-2022学年八年级下学期期末教学质量检查
数学试题
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（4分）下列各式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（4分）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．1，1， B．6，24，25 C．6，8，10 D．5，12，13
3．（4分）下表中记录了甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩的平均分与方差，要从中选出一位同学参加数学竞赛，最合适的是（　　）

甲
乙
丙
丁
平均分
95
98
95
98
方差S2
1.5
1.2
0.5
0.2
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．+＝ B．＝4 C．÷＝3 D．＝﹣3
5．（4分）一个直角三角形有两条边分别是3cm、4cm，则第三条边的长度是（　　）
A．5cm B．cm C．5cm或cm D．以上都不对
6．（4分）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（　　）

A．x2+62＝102 B．（10﹣x）2+62＝x2
C．x2+（10﹣x）2＝62 D．x2+62＝（10﹣x）2
7．（4分）如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为菱形，则应添加的条件是（　　）

A．AB∥DC B．AD＝BC C．AC⊥BD D．AC＝BD
8．（4分）一次函数y＝kx+b的x与y的部分对应值如表所示，根据表中数值分析．下列结论正确的是（　　）
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
5
2
﹣1
﹣4
…
A．y随x的增大而增大
B．一次函数y＝kx+b的图象经过一、二、四象限
C．方程kx+b＝2的解是x＝﹣4
D．当x＞0时，kx+b＜0
9．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为（　　）

A．4 B．3 C．3或者4 D．3或者6
10．（4分）已知动点H以每秒x厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从A﹣B﹣C﹣D﹣E﹣F的路径匀速运动，相应的△HAF的面积S（cm2）关于时间t（s）的关系图象如图2，已知AF＝8cm，则下列说法正确的有几个（　　）

①动点H的速度是2cm/s；
②BC的长度为3cm；
③当点H到达D点时△HAF的面积是8cm2；
④b的值为14；
⑤在运动过程中，当△HAF的面积是30cm2时，点H的运动时间是3.75s和10.25s．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分.）
11．（4分）若二次根式有意义，则x的取值范围是 　 　．
12．（4分）已知x＝﹣1，则x2+2x﹣1＝　 　．
13．（4分）如图，在▱ABCD中，∠DAO＝60°，AB＝8，点A（﹣3，0），则点C的坐标为 　 　．

14．（4分）一次函数y＝kx+b的图象于x轴、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4），点C，D分别是OA，AB的中点，P是OB上一动点．当△DPC周长最小时，点P的坐标为 　 　．

15．（4分）在正方形网格中，A、B、C、D均为格点，则∠BAC﹣∠DAE＝　 　．

16．（4分）如图，▱ABCD中，CD＝2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF．下列结论正确的是 　 　．（把所有正确结论的序号都填在横线上）：
①∠ABC＝2∠ABF；
②EF＝BF；
③S四边形DEBC＝2S△EFB；
④∠CFE＝4∠DEF．

三、解答题（本题共9个小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（8分）计算：×﹣（3.14﹣π）0﹣|1﹣|．
18．（8分）如图，在▱ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，求证：AE＝CF．

19．（8分）已知一次函数图象经过点（3，5），（﹣4，﹣9）．
（1）求这个一次函数解析式，并画出这个函数图象；
（2）判断点P（m+1，2m+1）是否在这函数图象上，请说明理由．

20．（8分）如图，已知△ABC．
（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）；
①作线段AC的垂直平分线，交AC于点M；
②连接BM，在BM的延长线上取一点D，使MD＝MB，连接AD、CD．
（2）在（1）条件下满足AC＝2BM，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．

21．（8分）2021年2月25日，习总书记在全国脱贫攻坚总结表彰大会上宣布我国脱贫攻坚战取得全面胜利．某县为了积极助力脱贫攻坚工作，推进了农村电子商务发展，将甲、乙两村特产“脐橙”放到某电商平台进行销售（每箱脐橙规格一致），该平台从甲、乙两村各抽取15户进行了抽样调查，并对每户每月销售的脐橙箱数（用x表示）进行了数据收集、整理、分析，部分信息如下：
甲村卖出的脐橙箱数为400≤x＜500的数据有：400，490，460，450，470；
平均数、中位数、众数如表所示
村名
平均数
中位数
众数
甲村
488
m
590
乙村
474
460
560
乙村卖出的脐橙箱数为400≤x＜500的数据有：400，450，480，460．
脐橙箱数
甲村
乙村
x＜300
0
1
300≤x＜400
3
a
400≤x＜500
5
4
500≤x＜600
5
5
x≥600
2
b
根据以上信息，解答下列问题：
（1）表中a＝　 　，b＝　 　，m＝　 　．
（2）你认为甲村、乙村两村中哪个村的脐橙卖得更好？请说明理由．（写出一条理由即可）
（3）在该电商平台进行销售的甲村、乙村两村村民共360户，若该电商平台把每月的脐橙销售量在450≤x＜600范围内的村民列为重点培养对象，估计两村共有多少户村民会被列为重点培养对象？
22．（10分）如图，四边形ABCD是菱形，E是AB的中点，AC的垂线EF交AD于点M，交CD的延长线于点F．
（1）求证：AM＝AE；
（2）连接CM，DF＝2．
①求菱形ABCD的周长；
②若∠ADC＝2∠MCF，求ME的长．

23．（10分）北京冬奥会期间，某商店为专注冬奥的商机决定购进A、B两款“冰墩墩、雪容融”纪念品，若购进A款纪念品4件，B款纪念品6件，需要960元；若购进A款纪念品2件，B款纪念品5件，需要640元．已知销售每件A种纪念品每件可获利润30元，B种纪念品每件可获利润20元．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定购进两种纪念品共100件，考虑到资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不能超过9920元，那么商店该如何进货使得获利最大？最大利润是多少元？
24．（12分）已知正方形ABCD的对角线AC、BD交于O，M是AO上一点．
（1）如图1，AQ⊥DM于点N，交BO于点Q．
①求证：OM＝OQ；
②若DQ＝DC，求证：QN+NM＝MD．
（2）如图2，M是AO的中点，线段EF（点E在点F的左边）在直线BD上运动，连接AF、ME，若AB＝4，EF＝，直接写出AF+ME的最小值．

25．（14分）如图，直线l1：y＝kx﹣2k+1经过定点C，分别交x轴，y轴于A，B两点，直线l2经过O，C两点，点D在l2上．
（1）①直接写出点C的坐标为 　 　；②求直线l2的解析式；
（2）如图1，若S△BOC＝2S△BCD，求点D的坐标；
（3）如图2，直线l3经过D，E（0，﹣）两点，分别交x轴的正半轴、l1于点P，F，若PE＝PF，∠EDO＝45°，求k的值．


龙岩市上杭县2021-2022学年八年级下学期期末教学质量检查
数学试题参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（4分）下列各式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．
【解答】解：＝3，故A不符合题意；
＝，故B不符合题意；
是最简二次根式，故C符合题意；
＝＝，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
2．（4分）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．1，1， B．6，24，25 C．6，8，10 D．5，12，13
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．
【解答】解：A、12+12＝（）2，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
B、62+242≠252，不符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意；
C、62+82＝102，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
D、52+122＝132，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
3．（4分）下表中记录了甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩的平均分与方差，要从中选出一位同学参加数学竞赛，最合适的是（　　）

甲
乙
丙
丁
平均分
95
98
95
98
方差S2
1.5
1.2
0.5
0.2
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】先找到四人中平均数大的，即成绩好的；再从平均成绩好的人中选择方差小，即成绩稳定的，从而得出答案．
【解答】解：由表知四位同学中乙、丁的平均成绩较好，
又丁的方差小于乙，
所以丁的成绩好且稳定，
故选：D．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
4．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．+＝ B．＝4 C．÷＝3 D．＝﹣3
【分析】利用二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的性质对B、D进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断．
【解答】解：A、与不能合并，所以A选项错误；
B、原式＝2，所以B选项错误；
C、原式＝＝3，所以A选项准确；
D、原式＝3，所以D选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
5．（4分）一个直角三角形有两条边分别是3cm、4cm，则第三条边的长度是（　　）
A．5cm B．cm C．5cm或cm D．以上都不对
【分析】利用分类讨论的思想可知，此题有两种情况：一是当这个直角三角形的两直角边分别为3cm，4cm时；二是当这个直角三角形的一条直角边为3cm，斜边为4cm时．然后利用勾股定理即可求得答案．
【解答】解：当这个直角三角形的两直角边分别为3cm，4cm时，
则该三角形的斜边的长为：＝5（cm）．
当这个直角三角形的一条直角边为3cm，斜边为4cm时，
则该三角形的另一条直角边的长为：＝（cm）．
故选：C．
【点评】此题主要考查学生对勾股定理的理解和掌握，注意分类讨论得出是解题关键．
6．（4分）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（　　）

A．x2+62＝102 B．（10﹣x）2+62＝x2
C．x2+（10﹣x）2＝62 D．x2+62＝（10﹣x）2
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，利用勾股定理列出方程即可．
【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+62＝（10﹣x）2．
故选D．
【点评】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
7．（4分）如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为菱形，则应添加的条件是（　　）

A．AB∥DC B．AD＝BC C．AC⊥BD D．AC＝BD
【分析】连AC，BD，根据三角形中位线的性质得到EF∥AC，EF＝AC；HG∥AC，HG＝AC，即有四边形EFGH为平行四边形，当AB∥DC和AB＝DC，只能判断四边形EFGH为平行四边形；当AC⊥BD，只能判断四边形EFGH为矩形；当AC＝BD，可判断四边形EFGH为菱形．
【解答】解：∵E、F、G、H为四边形ABCD各中点，
∴EF∥AC，EF＝AC；HG∥AC，HG＝AC，
∴四边形EFGH为平行四边形，
要使四边形EFGH为菱形，则EF＝EH，
而EH＝AC，
∴AC＝BD．
当AB∥DC和AB＝DC，只能判断四边形EFGH为平行四边形，故A、B选项错误；
当AC⊥BD，只能判断四边形EFGH为矩形，故C选项错误；
当AC＝BD，可判断四边形EFGH为菱形，故D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的判定定理：邻边相等的平行四边形是菱形．也考查了平行四边形的判定以及三角形中位线的性质．
8．（4分）一次函数y＝kx+b的x与y的部分对应值如表所示，根据表中数值分析．下列结论正确的是（　　）
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
5
2
﹣1
﹣4
…
A．y随x的增大而增大
B．一次函数y＝kx+b的图象经过一、二、四象限
C．方程kx+b＝2的解是x＝﹣4
D．当x＞0时，kx+b＜0
【分析】根据表格中的数据和一次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由表格可得，
A．y随x的增大而减小，故选项A错误，不符合题意；
B．当x＝0时，y＝2，可知b＝2，y随x的增大而减小，可知k＜0，则该函数图象经过第一、二、四象限，故选项B正确，符合题意；
C．x＝0时，y＝2，故方程kx+b＝2的解是x＝0，故选项C错误，不符合题意；
D．∵点（0，2），（1，﹣1）在该函数图象上，
∴，
解得，
∴y＝﹣3x+2，
当y＝0时，0＝﹣3x+2，得x＝，
∵y随x的增大而减小，
∴当x＞时，kx+b＜0，故选项D错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数与一元一次方程、一次函数的性质，解答本题的关键是利用一次函数的性质解答．
9．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为（　　）

A．4 B．3 C．3或者4 D．3或者6
【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示，连接AC，先利用勾股定理计算出AC＝10，根据折叠的性质得∠AB′E＝∠B＝90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C＝90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB＝EB′，AB＝AB′＝6，可计算出CB′＝4，设BE＝x，则EB′＝x，CE＝8﹣x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x；
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示，此时四边形ABEB′为正方形．
【解答】解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如答图所示，连接AC，

在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝10，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠AB′E＝∠B＝90°，
当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C＝90°，
∴点A、B′、C共线，
即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，
如图，
∴EB＝EB′，AB＝AB′＝6，
∴CB′＝10﹣6＝4，
设BE＝x，则EB′＝x，CE＝8﹣x，
在Rt△CEB′中，
∵EB′2+CB′2＝CE2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴BE＝3；
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示，

此时四边形ABEB′为正方形，
∴BE＝AB＝6，
综上所述，BE的长为3或6，
故选：D．
【点评】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理，注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．
10．（4分）已知动点H以每秒x厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从A﹣B﹣C﹣D﹣E﹣F的路径匀速运动，相应的△HAF的面积S（cm2）关于时间t（s）的关系图象如图2，已知AF＝8cm，则下列说法正确的有几个（　　）

①动点H的速度是2cm/s；
②BC的长度为3cm；
③当点H到达D点时△HAF的面积是8cm2；
④b的值为14；
⑤在运动过程中，当△HAF的面积是30cm2时，点H的运动时间是3.75s和10.25s．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】先根据点H的运动，得出当点H在不同边上时△HAF的面积变化，并对应图2得出相关边的边长，最后经过计算判断各个说法．
【解答】解：当点H在AB上时，如图所示，

AH＝xt （cm），
S△HAF＝×AF×AH＝4xt（cm2），
此时三角形面积随着时间增大而逐渐增大，
当点H在BC上时，如图所示，HP是△HAF的高，且HP＝AB，

∴S△HAF＝×AF×AB，此时三角形面积不变，
当点H在CD上时，如图所示，HP是△HAF的高，C，D，P三点共线，

S△HAF＝×AF×HP，点H从点C点D运动，HP逐渐减小，故三角形面积不断减小，
当点H在DE上时，如图所示，HP是△HAF的高，且HP＝EF，

S△HAF＝×AF×EF，此时三角形面积不变，
当点H在EF时，如图所示，

S△HAF＝×AF×HF，点H从点E向点F运动，HF逐渐减小，故三角形面积不断减小直至零，
对照图2可得0≤t≤5时，点H在AB上，
S△HAF＝4xt＝4•5x＝40（cm2），
∴x＝2，AB＝2×5＝10（cm），
∴动点H的速度是2cm/s，
故①正确，
5≤t≤8时，点H在BC上，此时三角形面积不变，
∴动点H由点B运动到点C共用时8﹣5＝3（s），
∴BC＝2×3＝6（cm），
故②错误，
8≤t≤12时，当点H在CD上，三角形面积逐渐减小，
∴动点H由点C运动到点D共用时12﹣8＝4（s），
∴CD＝2×4＝8（cm），
∴EF＝AB﹣CD＝10﹣8＝2（cm），
在D点时，△HAF的高与EF相等，即HP＝EF，
∴S△HAF＝×AF×EF＝×8×2＝8（cm2），
故③正确，
12≤t≤b，点H在DE上，DE＝AF﹣BC＝8﹣6＝2（cm），
∴动点H由点D运动到点E共用时2÷2＝1（s），
∴b＝12+1＝13，
故④错误．
当△HAF的面积是30cm2时，点H在AB上或CD上，
点H在AB上时，S△HAF＝4xt＝8t＝30（cm2），
解得t＝3.75（s），
点H在CD上时，
S△HAF＝×AF×HP＝×8×HP＝30（cm2），
解得HP＝7.5（cm），
∴CH＝AB﹣HP＝10﹣7.5＝2.5（cm），
∴从点C运动到点H共用时2.5÷2＝1.25（s），
由点A到点C共用时8s，
∴此时共用时8+1.25＝9.25（s），
故⑤错误．
故选：A．
【点评】本题是动点函数的图象问题．考查了三角形的面积公式，函数图象的性质，理解函数图象上的点表示的意义，是解决本题的关键．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分.）
11．（4分）若二次根式有意义，则x的取值范围是 　x≥3　．
【分析】二次根式的被开方数x﹣3≥0．
【解答】解：根据题意，得
x﹣3≥0，
解得，x≥3；
故答案为：x≥3．
【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
12．（4分）已知x＝﹣1，则x2+2x﹣1＝　0　．
【分析】根据完全平方公式把原式变形，把x的值代入计算即可．
【解答】解：x2+2x﹣1
＝x2+2x+1﹣2
＝（x+1）2﹣2，
当x＝﹣1时，原式＝（﹣1+1）2﹣2＝2﹣2＝0，
故答案为：0．
【点评】本题考查的是二次根式的加法、二次根式的乘法，掌握它们的运算法则是解题的关键．
13．（4分）如图，在▱ABCD中，∠DAO＝60°，AB＝8，点A（﹣3，0），则点C的坐标为 　（8，3）　．

【分析】根据题意可求点D坐标（0，3），根据平行四边形的性质可求点C坐标．
【解答】解：∵点A坐标为（﹣3，0），
∴AO＝3，
∵∠DAO＝60°，AO⊥DO，
∴AD＝2AO＝6，
∵DO＝＝＝3，
∴D（0，3），
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝8，AB∥CD．
∴点C坐标（8，3）．
故答案为：（8，3）．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是本题的关键．
14．（4分）一次函数y＝kx+b的图象于x轴、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4），点C，D分别是OA，AB的中点，P是OB上一动点．当△DPC周长最小时，点P的坐标为 　（0，1）　．

【分析】作A点关于y中的对称点A′，连接DA′交y轴于点P，此时PD+PC的值最小，根据中点坐标公式求出D、C点的坐标，再求出直线DA′的解析式，再求出与y轴的交点坐标即可．
【解答】解：如图：作C点关于y中的对称点A′，连接DA′交y轴于点P，此时PD+PC的值最小，
∵DC长为定值，
∴当PD+PC的值最小时，△DPC周长最小，
∵A（2，0），B（0，4），点C，D分别是OA，AB的中点，
∴C（1，0），D（1，2），
∴A′（﹣1，0），
设直线DA′为：y＝kx+b，
把A′（﹣1，0），D（1，2），代入得，
，
解得看k＝1，b＝1，
∴y＝x+1，
令x＝0，
∴y＝1，
∴P（0，1），
故答案为：（0，1）．

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象、最短路线问题，熟练掌握这三个知识点的综合应用，最短路线问题中P点的确定及求出直线DA′的解析式是解题关键．
15．（4分）在正方形网格中，A、B、C、D均为格点，则∠BAC﹣∠DAE＝　45°　．

【分析】把△ADE移到△CFG处，连接AG，根据勾股定理求出AC、AG、CG，根据勾股定理的逆定理和等腰三角形的判定得出△ACG是等腰直角三角形，再求出答案即可．
【解答】解：如图所示，把△ADE移到△CFG处，连接AG，

此时∠DAE＝∠FCG，
∵CF∥BD，
∴∠BAC＝∠FCA，
∴∠BAC﹣∠DAE＝∠FCA﹣∠FCG＝∠ACG，
设小正方形的边长是1，
由勾股定理得：CG2＝12+32＝10，AC2＝AG2＝12+22＝5，
∴AC2+AG2＝CG2，AC＝AG，
∴∠CAG＝90°，
即△ACG是等腰直角三角形，
∴∠ACG＝45°，
∴∠BAC﹣∠DAE＝45°，
故答案为：45°．
【点评】本题考查了平行线的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识点，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
16．（4分）如图，▱ABCD中，CD＝2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF．下列结论正确的是 　①②③　．（把所有正确结论的序号都填在横线上）：
①∠ABC＝2∠ABF；
②EF＝BF；
③S四边形DEBC＝2S△EFB；
④∠CFE＝4∠DEF．

【分析】如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．想办法证明EF＝FG，BE⊥BG，四边形BCFH是菱形即可解决问题．
【解答】解：如图，延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H，连接FH．

∵CD＝2AD，DF＝FC，
∴CF＝CB，
∴∠CFB＝∠CBF，
∵CD∥AB，
∴∠CFB＝∠FBH，
∴∠CBF＝∠FBH，
∴∠ABC＝2∠ABF，故①选项符合题意，
∵DE∥CG，
∴∠D＝∠FCG，
∵DF＝FC，∠DFE＝∠CFG，
∴△DFE≌△CFG（ASA），
∴FE＝FG，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBG＝90°，
∴BF＝EF＝FG，故②选项符合题意，
∵S△DFE＝S△CFG，
∴S四边形DEBC＝S△EBG＝2S△BEF，故③选项符合题意，
∵AH＝HB，DF＝CF，AB＝CD，
∴CF＝BH，
∵CF∥BH，
∴四边形BCFH是平行四边形，
∵CF＝BC，
∴四边形BCFH是菱形，
∴∠BFC＝∠BFH，
∵FE＝FB，FH∥AD，BE⊥AD，
∴FH⊥BE，
∴∠BFH＝∠EFH＝∠DEF，
∴∠EFC＝3∠DEF，故④选项错误不合题意，
故答案为：①②③．
【点评】本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
三、解答题（本题共9个小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（8分）计算：×﹣（3.14﹣π）0﹣|1﹣|．
【分析】根据二次根式的乘法，非零实数的零次幂，实数的混合运算法则进行计算求值即可．
【解答】解：原式＝﹣1﹣+1
＝﹣
＝2﹣
＝．
【点评】本题考查了实数的混合运算，掌握非零实数的零次幂等于1是解题的关键．
18．（8分）如图，在▱ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，求证：AE＝CF．

【分析】由全等三角形的判定定理AAS证得△ABE≌△CDF，则对应边相等：AE＝CF．
【解答】证明：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF．
又BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°．
在△ABE与△CDF中，
，
∴得△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．
19．（8分）已知一次函数图象经过点（3，5），（﹣4，﹣9）．
（1）求这个一次函数解析式，并画出这个函数图象；
（2）判断点P（m+1，2m+1）是否在这函数图象上，请说明理由．

【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）把P（m+1，2m+1）代入一次函数的解析式即可判断．
【解答】解：（1）设一次数解析式为y＝kx+b，
把点（3，5），（﹣4，﹣9）分别代入解析式得，
解得，
∴一次函数解析式为y＝2x﹣1；
；
（2）点P（m+1，2m+1）在这函数图象上，理由如下：
把x＝m+1代入y＝2x﹣1，
可得：y＝2（m+1）﹣1＝2m+1，
∴点P（m+1，2m+1）在这函数图象上．
【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
20．（8分）如图，已知△ABC．
（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）；
①作线段AC的垂直平分线，交AC于点M；
②连接BM，在BM的延长线上取一点D，使MD＝MB，连接AD、CD．
（2）在（1）条件下满足AC＝2BM，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．

【分析】（1）利用线段垂直平分线的作法作图，可确定点M位置；以点M为圆心，BM长为半径作弧，与BM的延长线的交点即为点D．
（2）由已知条件可得AM＝MC＝BM＝DM，即可得四边形ABCD为矩形．
【解答】解：（1）如图，点M，D即为所求．

（2）四边形ABCD为矩形，
理由：∵BM是线段AC的垂直平分线，
∴AM＝MC，
∵AC＝2BM，MD＝MB，
∴AM＝MC＝BM＝DM，
∴四边形ABCD为矩形．
【点评】本题考查尺规作图、矩形的判定，熟练掌握线段垂直平分线的作图方法以及矩形的判定是解题的关键．
21．（8分）2021年2月25日，习总书记在全国脱贫攻坚总结表彰大会上宣布我国脱贫攻坚战取得全面胜利．某县为了积极助力脱贫攻坚工作，推进了农村电子商务发展，将甲、乙两村特产“脐橙”放到某电商平台进行销售（每箱脐橙规格一致），该平台从甲、乙两村各抽取15户进行了抽样调查，并对每户每月销售的脐橙箱数（用x表示）进行了数据收集、整理、分析，部分信息如下：
甲村卖出的脐橙箱数为400≤x＜500的数据有：400，490，460，450，470；
平均数、中位数、众数如表所示
村名
平均数
中位数
众数
甲村
488
m
590
乙村
474
460
560
乙村卖出的脐橙箱数为400≤x＜500的数据有：400，450，480，460．
脐橙箱数
甲村
乙村
x＜300
0
1
300≤x＜400
3
a
400≤x＜500
5
4
500≤x＜600
5
5
x≥600
2
b
根据以上信息，解答下列问题：
（1）表中a＝　4　，b＝　1　，m＝　490　．
（2）你认为甲村、乙村两村中哪个村的脐橙卖得更好？请说明理由．（写出一条理由即可）
（3）在该电商平台进行销售的甲村、乙村两村村民共360户，若该电商平台把每月的脐橙销售量在450≤x＜600范围内的村民列为重点培养对象，估计两村共有多少户村民会被列为重点培养对象？
【分析】（1）根据抽样15户甲村每户销售脐橙的箱数，可求出m的值，再根据乙村的中位数是460，可得出a＝4，进而求出b的值；
（2）从平均数、中位数、众数的比较得出答案；
（3）求出每月的脐橙销售量x在450≤x＜600范围内的村民所占得百分比即可．
【解答】解：（1）甲村卖出的脐橙箱数为400≤x＜500的数据从小到大排列：400，450，460，470，490，
可知中位数m＝490，
由于乙村的中位数是460，而x＜300的频数是1，400≤x＜500的频数为4，共有15个数据，中位数是从小到大排列后的第8个，
因此a＝4，
所以b＝15﹣1﹣4﹣4﹣5＝1，
甲村卖出的脐橙箱数从小到大排列后，处在中间位置的一个数是50箱，因此中位数是50箱，即m＝50，
故答案为：4，1，490；
（2）甲村的脐橙卖得更好，理由为：甲村的平均数、中位数、众数都比乙村的高；
（3）根据表格中的数据可知，甲村卖出的脐橙箱数在450≤x＜600的有9户，乙村卖出的脐橙箱数在450≤x＜600的有8户，
360×＝204（户），
答：估计两村共有204户村民会被列为重点培养对象．
【点评】本题考查频数分布表、中位数、众数、平均数，理解平均数、中位数、众数的意义，掌握平均数、中位数、众数的计算方法是解决问题的关键．
22．（10分）如图，四边形ABCD是菱形，E是AB的中点，AC的垂线EF交AD于点M，交CD的延长线于点F．
（1）求证：AM＝AE；
（2）连接CM，DF＝2．
①求菱形ABCD的周长；
②若∠ADC＝2∠MCF，求ME的长．

【分析】（1）连接BD，由菱形的性质得到AC⊥BD、AB＝AD，结合ME⊥AC得到ME∥BD，然后结合点E是AB的中点得到点M时AD的中点，最后得到AM＝AE；
（2）①先证明△MAE≌△MDF，然后得到AE＝DF＝2，进而得到AB的长，最后求得菱形的周长；
②连接CM，记EF与AC交点为点G，先由AM＝AE，△MAE≌△MDF得到DF＝DM，MF＝ME，从而得到∠DMF＝∠DFM，进而得到∠ADC＝2∠DFM，然后结合∠ADC＝2∠MCD得到∠MCD＝∠DFM，从而得到MF＝MC＝ME，∠EMC＝2∠FDM＝∠MDC，再由ME⊥AC，AM＝ME得到∠MGC＝90°，ME＝2MG，进而得到MC＝2MG，即可得到∠MGC＝60°，故∠ADC＝60°，从而得到△ADC为等边三角形，△DMC为直角三角形，最后求得CM的长即为ME的长．
【解答】（1）证明：如图，连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥DB，AD＝AB，
∵EM⊥AC，
∴ME∥BD，
∵点E是AB的中点，
∴点M是AD的中点，AE＝AB，
∴AM＝AD，
∴AM＝AE．
（2）解：①由（1）得，点M是AD的中点，
∴AM＝MD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠F＝∠AEM，∠EAM＝∠FDM，
∴△MDF≌△MAE（AAS），
∴AE＝DF，
∵AB＝2AE，DF＝2，
∴AB＝4，
∴菱形ABCD的周长为4AB＝4×4＝16．
②如图，连接CM，记EF与AC交点为点G，
∵AM＝AE，△MAE≌△MDF，
∴DF＝DM，MF＝ME，
∴∠DMF＝∠DFM，
∴∠ADC＝2∠DFM，
∵∠ADC＝2∠MCD，
∴∠MCD＝∠DFM，
∴MF＝MC＝ME，∠EMC＝2∠F＝∠MDC，
∵ME⊥AC，AM＝AE，
∴∠MGC＝90°，ME＝2MG，
∴MC＝2MG，
∴∠GMC＝60°，
∴∠ADC＝60°，
∴∠MCD＝30°，
∴∠DMC＝90°，
∴△DMC为直角三角形，
∵DF＝2，
∴DM＝2，CD＝4，
∴CM＝＝2，
∴ME＝2．

【点评】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是熟知菱形的性质．
23．（10分）北京冬奥会期间，某商店为专注冬奥的商机决定购进A、B两款“冰墩墩、雪容融”纪念品，若购进A款纪念品4件，B款纪念品6件，需要960元；若购进A款纪念品2件，B款纪念品5件，需要640元．已知销售每件A种纪念品每件可获利润30元，B种纪念品每件可获利润20元．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定购进两种纪念品共100件，考虑到资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不能超过9920元，那么商店该如何进货使得获利最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）设购进A种纪念品每件需x元，购进B种纪念品每件需y元，可得：，即可解得购进A种纪念品每件需120元，购进B种纪念品每件需80元；
（2）设购进A种纪念品m件，由资金不能超过9920元，可得m≤48，设商店获利w元，则w＝10m+2000，根据一次函数性质可得购进A种纪念品48件，购进B种纪念品52件，商店获利最大，最大利润是2480元．
【解答】解：（1）设购进A种纪念品每件需x元，购进B种纪念品每件需y元，
根据题意得：，
解得，
答：购进A种纪念品每件需120元，购进B种纪念品每件需80元；
（2）设购进A种纪念品m件，则购进B种纪念品（100﹣m）件，
∵资金不能超过9920元，
∴120m+80（100﹣m）≤9920，
解得m≤48，
设商店获利w元，
根据题意得w＝30m+20（100﹣m）＝10m+2000，
∵10＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴m＝48时，w取最大值，最大值为10×48+2000＝2480（元），
此时100﹣m＝100﹣48＝52（件），
答：购进A种纪念品48件，购进B种纪念品52件，商店获利最大，最大利润是2480元．
【点评】本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组及函数关系式．
24．（12分）已知正方形ABCD的对角线AC、BD交于O，M是AO上一点．
（1）如图1，AQ⊥DM于点N，交BO于点Q．
①求证：OM＝OQ；
②若DQ＝DC，求证：QN+NM＝MD．
（2）如图2，M是AO的中点，线段EF（点E在点F的左边）在直线BD上运动，连接AF、ME，若AB＝4，EF＝，直接写出AF+ME的最小值．

【分析】（1）①证明△AOQ≌△DOM（ASA），由全等三角形的性质可得出答案；
②连接ON，作OP⊥ON于O交MD于点P，证明△NOQ≌△POM（ASA），由全等三角形的性质得出ON＝OP，QN＝MP，由直角三角形的性质可得出结论；
（2）取AD的中点P，连接FP，MP，CP，且CP交BD于点H，证明四边形MEFP为平行四边形，得出ME＝PF，由正方形的性质得出AF＝CF，则可得出CF+FP≥CP，由勾股定理求出PC的长，则可得出答案．
【解答】（1）①证明：∵在正方形ABCD中，AC＝BD，AC⊥BD，OA＝，OD＝，
∴OA＝OD，
∵AQ⊥DM，
∴∠DNQ＝∠AOQ＝90°，
∴∠QAO＝∠ODM，
∴△AOQ≌△DOM（ASA），
∴OQ＝OM；
②证明：连接ON，作OP⊥ON于O交MD于点P，

∴∠NOP＝∠QOM＝90°，
∴∠NOP﹣∠NOM＝∠QOM﹣∠NOM，
即∠NOQ＝∠POM，
由（1）得△AOQ≌△DOM，
∴OQ＝OM，∠NQO＝∠PMO，AQ＝MD，
∴△NOQ≌△POM（ASA），
∴ON＝OP，QN＝MP，
∴QN+NM＝MP+NM＝NP，
又NP＝ON，
∴QN+NM＝ON，
∵DQ＝DA，AQ⊥DM，
∴AN＝NQ，
∵∠AOQ＝90°，
∴AQ＝2ON，
∴NQ+NM＝AQ＝MD．
（3）解：∵正方形ABCD中，AB＝4，
∴BD＝4，
∴OD＝2，
取AD的中点P，连接FP，MP，CP，且CP交BD于点H，

∵M为AO的中点，
∴MP∥OD，MP＝OD＝，
∵EF＝，
∴EF＝MP，
∴四边形MEFP为平行四边形，
∴ME＝PF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴A，C关于BD对称，
∴AF＝CF，
∵AF+ME＝CF+FP≥CP，
即F与H重合时，AF+ME最小，最小值为PC的长，
∵PD＝2，CD＝4，
∴PC＝＝＝2，
∴AF+ME的最小值为2．
【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，三角形全等的性质和判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
25．（14分）如图，直线l1：y＝kx﹣2k+1经过定点C，分别交x轴，y轴于A，B两点，直线l2经过O，C两点，点D在l2上．
（1）①直接写出点C的坐标为 　（2，1）　；②求直线l2的解析式；
（2）如图1，若S△BOC＝2S△BCD，求点D的坐标；
（3）如图2，直线l3经过D，E（0，﹣）两点，分别交x轴的正半轴、l1于点P，F，若PE＝PF，∠EDO＝45°，求k的值．

【分析】（1））①由y＝kx﹣2k+1经过定点C，则点C的坐标与k的取值无关，可得C（2，1）；
②设l2的解析式为：y＝ax，把C（2，1）代入即可；
（2）取OB的中点H，连接CH，S△BOC＝2S△BCD，分两种情况：当点D在线段OC上时或当点D在线段OC的延长线时，分别求出点D的坐标；
（3）过点C作CH∥EF，过点O作OH⊥OC，分别过点C，H作CM⊥OB于M，MN⊥OB于N，可知△OCH是等腰直角三角形，可证△COM≌△OHN，则CM＝OH，OM＝NH，由C（2，1）得：H（1，﹣2），利用待定系数法求出yCH＝3x﹣5，由E（0，﹣）得：yEF＝3x﹣，则P（，0），从而得出点F的坐标，代入即可．
【解答】解（1）①∵y＝kx﹣2k+1经过定点C，
∴点C的坐标与k的取值无关，
∴x＝2时，y＝1，
∴C（2，1），
故答案为：（2，1）；
②设l2的解析式为：y＝ax，
把C（2，1）代入y＝ax得：a＝，
∴l2的解析式为y＝，
（2）如图，取OB的中点H，连接CH，

∵C（2，1），
∵S△BOC＝2S△BCD，
当点D在线段OC上时，
则点D为OC的中点，
∴D（1，）；
当点D在线段OC的延长线时，
∴S△BCD＝，
即OB＝，|xD|＝3，
∴D（3，），
综上所述，符合条件的点D坐标为（1，）或（3，）．
（3）过点C作CH∥EF，过点O作OH⊥OC，分别过点C，H作CM⊥OB于M，HHN⊥OB于N，

∵∠EDO＝45°，
∴∠OCH＝45°，
∴OC＝OH，
又∵∠MOC＝∠NHO，∠OMC＝∠ONH，
∴△COM≌△OHN（AAS），
∴CM＝OH，OM＝NH，
由C（2，1）得：H（1，﹣2），
∴yCH＝3x﹣5，
由E（0，﹣）得：yEF＝3x﹣，
∴P（，0），
过点F作FK⊥OA于K，
∵PF＝PE，
∴△OPE≌△FPK（AAS），
∴F（1，），
将F（1，）代入l1：y＝kx﹣2k+1，
∴k﹣2k+1＝，
解得k＝﹣．
【点评】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质等知识，由45°角构造出等腰直角三角形是解题的关键．