湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校2021-2022学年八年级下学期期末数学试卷(word版含答案)

这是一份湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校2021-2022学年八年级下学期期末数学试卷(word版含答案)，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校
八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分）
1．（3分）下列各数中，负数是（　　）
A．﹣（﹣5） B． C．（﹣5）2 D．|﹣5|
2．（3分）石墨烯具有优异的光学、电学、力学特性，在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景，被认为是一种未来革命性的材料，石墨烯中每两个相邻碳原子间的键长为0.000000000142米，数字“0.000000000142”用科学记数法表示为（　　）
A．1.42×10﹣9 B．1.42×10﹣10 C．0.142×10﹣9 D．1.42×10﹣11
3．（3分）下列图形既是中心对称图形也是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）下列说法中正确的是（　　）
A．“打开电视机，正在播放《动物世界》”是必然事件
B．某种彩票的中奖概率为，说明每买1000张，一定有一张中奖
C．抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为
D．想了解长沙市所有城镇居民的人均年收入水平，宜采用抽样调查
5．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．（a+4）2＝a2+16 B．a3•a4＝a12
C．（﹣a）4＝﹣a4 D．7x3﹣2x3＝5x3
6．（3分）六边形的外角和为（　　）
A．360° B．540° C．720° D．1080°
7．（3分）当ab＞0时，y＝ax2与y＝ax+b的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，△ABC中，已知AB＝8，BC＝6，CA＝4，DE是中位线，则DE＝（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
9．（3分）“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取9株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是：22，23，24，23，24，25，26，23，25．则这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．24，25 B．23，23 C．23，24 D．24，24
10．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，现有以下四个结论：
①该抛物线的对称轴在y轴左侧；
②关于x的方程ax2+bx+c+2＝0无实数根；
③a﹣b+c≥0；
④的最小值为3．
其中，正确结论的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共6小题，每小题3分）
11．（3分）分解因式：am2﹣9a＝　 　．
12．（3分）已知点M（a，2）与点N（1，b）关于原点成中心对称，则2a+b的值为 　 　．
13．（3分）不等式组的解集是　 　．
14．（3分）如图，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝30°，则∠2的度数为 　 　度．

15．（3分）如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为 　 　．

16．（3分）在一次数学活动课上，某数学老师将1～10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲、乙、丙、丁、戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：15；丁：8；戊：17，则丙同学手里拿的卡片的数字是 　 　．
三、解答题（共9小题，第17～19题每小题6分，第20～21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题10分）
17．（6分）计算：﹣|﹣1|+．
18．（6分）先化简，再求值：，其中x＝2022．
19．（6分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．按要求作图：
（1）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1．
（2）将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△A2B2C2，则B2的坐标为 　 　．
（3）求△A2B2C2面积．

20．（8分）某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了50名同学进行“舌尖上的长沙——我最喜爱的长沙小吃”调查活动．将调查问卷整理后绘制成如图所示的不完整条形统计图．
请根据所给信息解答以下问题：
调查问卷在下面四种长沙小吃中，你最爱喜爱的是 　 　（单选）A．臭豆腐B．口味虾C．嗦螺D．糖油粑粑
（1）请补全条形统计图；
（2）若全校有2000名同学，请估计全校同学中最喜爱“臭豆腐”的同学有多少人？
（3）在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为四种小吃的序号A，B，C，D，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球、请用列表或画树状图的方法，求出恰好两次都摸到“A”的概率．
21．（8分）如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连接CQ．
（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；
（2）若PA：PB：PC＝3：4：5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．

22．（9分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？
23．（9分）如图，四边形OABC是边长为4的正方形，点P为OA边上任意一点（与点O、A不重合），连结CP，过点P作PM⊥CP交AB于点D，且PM＝CP，过点M作MN∥OA，交BO于点N，连结ND、BM，设OP＝t．
（1）求点M的坐标（用含t的代数式表示）；
（2）求直线OB的解析式；
（3）求线段MN的长度．

24．（10分）在平面直角坐标系中，我们将形如（1，﹣1），（﹣2.1，2.1）这样，纵坐标与横坐标互为相反数的点称之为“互补点”．
（1）直线 　 　（填写直线解析式）上的每一个点都是“互补点”；直线y＝2x﹣3上的“互补点”的坐标为 　 　；
（2）直线y＝kx+2（k≠0）上是否有“互补点”，若有，请求出点的坐标，若没有请说明理由；
（3）若函数y＝x2+（n﹣k﹣1）x+m+k﹣2的图象上存在唯一的一个“互补点”，且当﹣1≤n≤2时，m的最小值为k，求k的值．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A在x轴的正半轴上，点A的坐标为（m，0），∠C＝60°，点M在边BC上移动（不与B、C重合），点N在边AB上移动（不与A、B重合），在移动的过程中保持CM+AN＝m．
（1）求点C的坐标（用含m的式子表示）；
（2）求∠MON的大小；
（3）若整数m使得关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x﹣m﹣4＝0的两根均为整数，抛物线经过C、O、A三点，该抛物线与直线OB的另一交点为点D，能否在直线OB下方的抛物线上找一点P，过P点作y轴的平行线与直线OB相交于E点，直线PE将△POD的面积分成2：3两部分，若存在，请求出P点的坐标，若不存在，请说明理由．


2021-2022学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校
八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分）
1．（3分）下列各数中，负数是（　　）
A．﹣（﹣5） B． C．（﹣5）2 D．|﹣5|
【分析】将各选项中的数值算出来，再根据负数的定义判断即可．
【解答】解：A．﹣（﹣5）＝5，不符合题意，
B.是负数，符合题意，
C．（﹣5）2＝25，不符合题意，
D．|﹣5|＝5，不符合题意，
故选：B．
【点评】本题主要考查了负数，熟练掌握负数是在正数前面加上负号是解题的关键．
2．（3分）石墨烯具有优异的光学、电学、力学特性，在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景，被认为是一种未来革命性的材料，石墨烯中每两个相邻碳原子间的键长为0.000000000142米，数字“0.000000000142”用科学记数法表示为（　　）
A．1.42×10﹣9 B．1.42×10﹣10 C．0.142×10﹣9 D．1.42×10﹣11
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000000000142＝1.42×10﹣10．
故选：B．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（3分）下列图形既是中心对称图形也是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
4．（3分）下列说法中正确的是（　　）
A．“打开电视机，正在播放《动物世界》”是必然事件
B．某种彩票的中奖概率为，说明每买1000张，一定有一张中奖
C．抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为
D．想了解长沙市所有城镇居民的人均年收入水平，宜采用抽样调查
【分析】根据随机事件，可判断A；根据概率的意义，可判断B、C；根据调查方式，可判断D．
【解答】解：A、“打开电视机，正在播放《动物世界》”是随机事件，故A错误；
B、某种彩票的中奖概率为，说明每买1000张，有可能中奖，也有可能不中奖，故B错误；
C、抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为，故C错误；
D、想了解长沙市所有城镇居民的人均年收入水平，宜采用抽样调查，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了全面调查与抽样调查，正确区分全面调查与抽样调查是解题关键，注意概率时事件发生可能性的大小，并不一定发生．
5．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．（a+4）2＝a2+16 B．a3•a4＝a12
C．（﹣a）4＝﹣a4 D．7x3﹣2x3＝5x3
【分析】根据积的乘方运算、完全平方公式、合并同类项、整式的乘法运算即可求出答案．
【解答】解：A、原式＝a2+8a+16，故A符合题意．
B、原式＝a7，故B不符合题意．
C、原式＝a4，故C不符合题意．
D、原式＝5x3，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查积的乘方运算、完全平方公式、合并同类项、整式的乘法运算，本题属于基础题型．
6．（3分）六边形的外角和为（　　）
A．360° B．540° C．720° D．1080°
【分析】根据多边形的外角和为360°直接得出答案．
【解答】解：由多边形的外角和为360°可知，六边形的外角和为360°，
故选：A．
【点评】本题考查多边形的外角和，掌握多边形的外角和是360°是正确判断的前提．
7．（3分）当ab＞0时，y＝ax2与y＝ax+b的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意，ab＞0，即a、b同号，分a＞0与a＜0两种情况讨论，分析选项可得答案．
【解答】解：根据题意，ab＞0，即a、b同号，
当a＞0时，b＞0，y＝ax2开口向上，过原点，y＝ax+b过一、二、三象限；
此时，没有选项符合，
当a＜0时，b＜0，y＝ax2开口向下，过原点，y＝ax+b过二、三、四象限；
此时，D选项符合，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数与一次函数的图象的性质，要求学生理解系数与图象的关系．
8．（3分）如图，△ABC中，已知AB＝8，BC＝6，CA＝4，DE是中位线，则DE＝（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】由D，E分别是边AB，AC的中点，首先判定DE是三角形的中位线，然后根据三角形的中位线定理求得DE的值即可．
【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC，
∵BC＝6，
∴DE＝BC＝3．
故选：B．
【点评】考查了三角形的中位线定理，根据定理确定DE等于那一边的一半是解题的关键．
9．（3分）“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取9株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是：22，23，24，23，24，25，26，23，25．则这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．24，25 B．23，23 C．23，24 D．24，24
【分析】将这组数据从小到大重新排列，再根据众数和中位数的定义求解即可．
【解答】解：将这组数据从小到大重新排列为22，23，23，23，24，24，25，25，26，
∴这组数据的众数为23cm，中位数为24cm，
故选：C．
【点评】本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
10．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，现有以下四个结论：
①该抛物线的对称轴在y轴左侧；
②关于x的方程ax2+bx+c+2＝0无实数根；
③a﹣b+c≥0；
④的最小值为3．
其中，正确结论的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】从抛物线与x轴最多一个交点及b＞a＞0，可以推断抛物线最小值最小为0，对称轴在y轴左侧，并得到b2﹣4ac≤0，从而得到①②为正确；由x＝﹣1及x＝﹣2时y都大于或等于零可以得到③④正确．
【解答】解：∵b＞a＞0
∴﹣＜0，
所以①正确；
∵抛物线与x轴最多有一个交点，
∴b2﹣4ac≤0，
∴关于x的方程ax2+bx+c+2＝0中，△＝b2﹣4a（c+2）＝b2﹣4ac﹣8a＜0，
所以②正确；
∵a＞0及抛物线与x轴最多有一个交点，
∴x取任何值时，y≥0
∴当x＝﹣1时，a﹣b+c≥0；
所以③正确；
当x＝﹣2时，4a﹣2b+c≥0
a+b+c≥3b﹣3a
a+b+c≥3（b﹣a）
≥3
所以④正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的解析式与图象的关系，解答此题的关键是要明确a的符号决定了抛物线开口方向；a、b的符号决定对称轴的位置；抛物线与x轴的交点个数，决定了b2﹣4ac的符号．
二、填空题（共6小题，每小题3分）
11．（3分）分解因式：am2﹣9a＝　a（m+3）（m﹣3）　．
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：am2﹣9a
＝a（m2﹣9）
＝a（m+3）（m﹣3）．
故答案为：a（m+3）（m﹣3）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12．（3分）已知点M（a，2）与点N（1，b）关于原点成中心对称，则2a+b的值为 　﹣4　．
【分析】利用关于原点对称的点的坐标特点可得a、b的值，然后计算即可．
【解答】解：∵点M（a，2）与点N（1，b）关于原点成中心对称，
∴a＝﹣1，b＝﹣2，
则2a+b＝﹣2﹣2＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的横坐标、纵坐标符号都相反．
13．（3分）不等式组的解集是　x≥3　．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：解不等式2x﹣1≥5，得x≥3；
解不等式8﹣4x＜0，得x＞2；
∴不等式组的解集为x≥3，
故答案为：x≥3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
14．（3分）如图，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝30°，则∠2的度数为 　60　度．

【分析】先根据平角的定义求出∠3，再根据平行线的性质求出∠2．
【解答】解：如图，∠3＝180°﹣90°﹣∠1＝180°﹣90°﹣30°＝60°，

∵直尺的对边平行，
∴∠2＝∠3＝60°．
故答案为：60．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解题关键是掌握平行线的性质．
15．（3分）如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为 　13　．

【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
则△BCE的周长＝BC+EC+EB＝BC+EC+EA＝BC+AC＝13，
故答案为：13．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
16．（3分）在一次数学活动课上，某数学老师将1～10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲、乙、丙、丁、戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：15；丁：8；戊：17，则丙同学手里拿的卡片的数字是 　5和10　．
【分析】根据两数之和结果确定，对两个加数的不同情况进行分类讨论，列举出所有可能的结果后，再逐一根据条件进行推理判断，最后确定出正确结果即可．
【解答】解：由题意可知，一共十张卡片十个数，五个人每人两张卡片，
∴每人手里的数字不重复．
由甲：11，可知甲手中的数字可能是1和10，2和9，3和8，4和7，5和6；
由乙：4，可知乙手中的数字只有1和3；
由丙：15，可知丙手中的数字可能是5和10，6和9；
由丁：8，可知丁手中的数字可能是1和7，2和6，3和5；
由戊：17，可知戊手中的数字可能是7和10，8和9；
∴丁只能是2和6，甲只能是4和7，丙只能是5和10，戊只能是8和9．
故答案为：5和10．
【点评】本题考查的是有理数加法的应用，关键是把所有可能的结果列举出来，再进行推理．
三、解答题（共9小题，第17～19题每小题6分，第20～21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题10分）
17．（6分）计算：﹣|﹣1|+．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：﹣|﹣1|+
＝﹣1+2﹣3++1
＝﹣1+．
【点评】本题考查了负整数指数幂，绝对值，立方根，实数的运算，二次根式的性质与化简，准确熟练地化简各式是解题的关键．
18．（6分）先化简，再求值：，其中x＝2022．
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：
＝•
＝•
＝x，
当x＝2022时，原式＝2022．
【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
19．（6分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．按要求作图：
（1）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1．
（2）将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△A2B2C2，则B2的坐标为 　（﹣2，0）　．
（3）求△A2B2C2面积．

【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出B，C的对应B2，C2即可；
（3）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；

（2）如图，△A2B2C2即为所求，B2的坐标为为（﹣2，0）．
故答案为：（﹣2，0）；
（3）＝3×3﹣×1×2﹣×1×3﹣×2×3＝．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，中心对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换，旋转变换的性质，属于中考常考题型．
20．（8分）某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了50名同学进行“舌尖上的长沙——我最喜爱的长沙小吃”调查活动．将调查问卷整理后绘制成如图所示的不完整条形统计图．
请根据所给信息解答以下问题：
调查问卷在下面四种长沙小吃中，你最爱喜爱的是 　B．口味虾　（单选）A．臭豆腐B．口味虾C．嗦螺D．糖油粑粑
（1）请补全条形统计图；
（2）若全校有2000名同学，请估计全校同学中最喜爱“臭豆腐”的同学有多少人？
（3）在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为四种小吃的序号A，B，C，D，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球、请用列表或画树状图的方法，求出恰好两次都摸到“A”的概率．
【分析】由条形统计图中的信息即可得出结论；
（1）求出喜欢C．嗦螺的人数，补全条形统计图即可；
（2）由全校共有学生人数乘以全校同学中最喜爱“臭豆腐”的同学所占的比例即可；
（3）画树状图，共有16种等可能的结果，其中恰好两次都摸到“A”的个有1种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：在下面四种长沙小吃中，最爱喜爱的是B．口味虾，
故答案为：B．口味虾；
（1）根据题意得：喜欢C．嗦螺的人数为：50﹣（14+21+5）＝10（人），
补全条形统计图如下：

（2）根据题意得：2000×＝560（人），
则估计全校同学中最喜爱“臭豆腐”的同学有560人；
（3）画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中恰好两次都摸到“A”的个有1种，
∴恰好两次都摸到“A”的概率为．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（8分）如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连接CQ．
（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；
（2）若PA：PB：PC＝3：4：5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．

【分析】根据等边三角形的性质利用SAS判定△ABP≌△CBQ，从而得到AP＝CQ；设PA＝3a，PB＝4a，PC＝5a，由已知可判定△PBQ为正三角形从而可得到PQ＝4a，再根据勾股定理判定△PQC是直角三角形．
【解答】解：（1）猜想：AP＝CQ，
证明：∵∠ABP+∠PBC＝60°，∠QBC+∠PBC＝60°，
∴∠ABP＝∠QBC．
又AB＝BC，BP＝BQ，
∴△ABP≌△CBQ，
∴AP＝CQ；

（2）由PA：PB：PC＝3：4：5，
可设PA＝3a，PB＝4a，PC＝5a，
连接PQ，在△PBQ中
由于PB＝BQ＝4a，且∠PBQ＝60°，
∴△PBQ为正三角形．
∴PQ＝4a．
于是在△PQC中
∵PQ2+QC2＝16a2+9a2＝25a2＝PC2
∴△PQC是直角三角形．

【点评】此题考查学生对等边三角形的性质，直角三角形的判定及全等三角形的判定方法的综合运用．
22．（9分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？
【分析】（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据“今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同”建立方程，解方程即可；
（2）首先求出今年6月份的快递投递任务，再求出21名快递投递业务员能完成的快递投递任务，比较得出该公司不能完成今年6月份的快递投递任务，进而求出至少需要增加业务员的人数．
【解答】解：（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据题意得
10（1+x）2＝12.1，
解得x1＝0.1，x2＝﹣2.1（不合题意舍去）．
答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；

（2）今年6月份的快递投递任务是12.1×（1+10%）＝13.31（万件）．
∵平均每人每月最多可投递0.6万件，
∴21名快递投递业务员能完成的快递投递任务是：0.6×21＝12.6＜13.31，
∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务
∴需要增加业务员（13.31﹣12.6）÷0.6＝1≈2（人）．
答：该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，至少需要增加2名业务员．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
23．（9分）如图，四边形OABC是边长为4的正方形，点P为OA边上任意一点（与点O、A不重合），连结CP，过点P作PM⊥CP交AB于点D，且PM＝CP，过点M作MN∥OA，交BO于点N，连结ND、BM，设OP＝t．
（1）求点M的坐标（用含t的代数式表示）；
（2）求直线OB的解析式；
（3）求线段MN的长度．

【分析】（1）作ME⊥x轴于E，则∠MEP＝90°，先证出∠PME＝∠CPO，再证明△MPE≌△PCO，得出ME＝PO＝t，EP＝OC＝4，求出OE，即可得出点M的坐标；
（2）利用待定系数法可求解析式；
（3）连接AM，先证明四边形AEMF是正方形，得出∠MAE＝45°＝∠BOA，AM∥OB，证出四边形OAMN是平行四边形，即可得出MN＝OA＝4．
【解答】解：（1）作ME⊥x轴于E，如图所示：

则∠MEP＝90°，ME∥AB，
∴∠MPE+∠PME＝90°，
∵四边形OABC是正方形，
∴∠POC＝90°，OA＝OC＝AB＝BC＝4，∠BOA＝45°，
∵PM⊥CP，
∴∠CPM＝90°，
∴∠MPE+∠CPO＝90°，
∴∠PME＝∠CPO，
在△MPE和△PCO中，
，
∴△MPE≌△PCO（AAS），
∴ME＝PO＝t，EP＝OC＝4，
∴OE＝t+4，
∴点M的坐标为：（t+4，t）；
（2）∵AB＝OA＝4，∠OAB＝90°，
∴点B（4，4），
设直线OB解析式为y＝kx，
∴4＝4k，
∴k＝1，
∴直线OB解析式为y＝x；
（3）连接AM，如图所示：

∵MN∥OA，ME∥AB，∠MEA＝90°，
∴四边形AEMF是矩形，
又∵EP＝OC＝OA，
∴AE＝PO＝t＝ME，
∴四边形AEMF是正方形，
∴∠MAE＝45°＝∠BOA，
∴AM∥OB，
∴四边形OAMN是平行四边形，
∴MN＝OA＝4．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，正方形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
24．（10分）在平面直角坐标系中，我们将形如（1，﹣1），（﹣2.1，2.1）这样，纵坐标与横坐标互为相反数的点称之为“互补点”．
（1）直线 　y＝﹣x　（填写直线解析式）上的每一个点都是“互补点”；直线y＝2x﹣3上的“互补点”的坐标为 　（1，﹣1）　；
（2）直线y＝kx+2（k≠0）上是否有“互补点”，若有，请求出点的坐标，若没有请说明理由；
（3）若函数y＝x2+（n﹣k﹣1）x+m+k﹣2的图象上存在唯一的一个“互补点”，且当﹣1≤n≤2时，m的最小值为k，求k的值．
【分析】（1）根据“互补点”的定义即可求解；
（2）假设直线上存在“互补点”，由题意可列出关于x的方程，解这个方程即可；
（3）根据题意列出关于t的一元二次方程有唯一解，利用根的判别式可得m关于n的二次函数，将此函数化为顶点式再由二次函数的增减性进行分类讨论即可求解．
【解答】解：（1）∵纵坐标与横坐标互为相反数的点称之为“互补点”．
∴直线y＝﹣x上的每一个点都是“互补点”；
设直线y＝2x﹣3上的“互补点”的坐标为（x，2x﹣3），
∴﹣x＝2x﹣3，解得x＝1，
∴直线y＝2x﹣3上的“互补点”的坐标为（1，﹣1），
故答案为：y＝﹣x；（1，﹣1）；

（2）假设直线y＝kx+2（k≠0）上存在“互补点”（t，﹣t），
则由题意得：﹣t＝kt+2，
解得：t＝（k≠0，k≠﹣1），
∴直线y＝kx+2（k≠0）上有“互补点”，点的坐标为（，）（k≠0，k≠﹣1）；

（3）设“互补点”的坐标为（t，﹣t），
由题意可知，方程﹣t＝t2+（n﹣k﹣1）t+m+k﹣2有唯一解，
整理得：t2+4（n﹣k）t+4（m+k﹣2）＝0，且Δ＝0．
即16（n﹣k）2﹣4×4（m+k﹣2）＝0，
整理得：m＝n2﹣2kn+k2﹣k+2＝（n﹣k）2﹣k+2．
∴当n＜k时，m随n的增大而减小；当n＞k时，m随n的增大而增大；当n＝k时，m取得最小函数值﹣k+2．
①当﹣1≤k≤2时，此时当n＝k时，m取得最小值，
由题意得﹣k+2＝k，解得k＝1；
②当k＜﹣1时，此时当n＝﹣1时，m取得最小值，
由题意得（﹣1﹣k）2﹣k+2＝k，
整理得：k2+2＝0，显然无解；
③当k＞2时，此时当n＝2时，m取得最小值，
由题意得（2﹣k）2﹣k+2＝k，
整理得：k2﹣6k+6＝0，
解得k1＝3+，k2＝3﹣．
∵k＞2，
∴k＝3+．
综上所述，k的值为1或3+．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了新定义、解方程、一元二次方程根的判别式、一元二次方程的根与系数的关系以及二次函数的增减性，对“互补点”的理解以及分类讨论的运用是解决本题的关键．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A在x轴的正半轴上，点A的坐标为（m，0），∠C＝60°，点M在边BC上移动（不与B、C重合），点N在边AB上移动（不与A、B重合），在移动的过程中保持CM+AN＝m．
（1）求点C的坐标（用含m的式子表示）；
（2）求∠MON的大小；
（3）若整数m使得关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x﹣m﹣4＝0的两根均为整数，抛物线经过C、O、A三点，该抛物线与直线OB的另一交点为点D，能否在直线OB下方的抛物线上找一点P，过P点作y轴的平行线与直线OB相交于E点，直线PE将△POD的面积分成2：3两部分，若存在，请求出P点的坐标，若不存在，请说明理由．

【分析】（1）作CD⊥x轴于D，解Rt△COD，进而求得结果；
（2）连接OB，证明BOM≌△AON，进一步得出结果；
（3）设方程两个根为x1，x2，根据根与系数关系可得x1•x2+x1+x2＝﹣5，进而得出m＝2，将抛物线的解析式和OB的解析式联立，进而得出点P的横坐标，根据直线PE将△POD的面积分成2：3两部分，可得P的横坐标，进而求得结果．
【解答】解：（1）如图1，

作CD⊥x轴于D，
∵四边形AOCB是菱形，
∴OC＝OA＝m，BC∥OA，
∴∠COD＝∠ACB＝60°，
∴OD＝OC•cos60°＝，CD＝OC•sin60°＝m，
∴C（﹣，m）；
（2）如图2，

连接OB，
∵四边形AOCB是菱形，
∴∠BAO＝∠C＝60°，BC∥OA，AB＝BC，BC＝OA＝m，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAO＝120°，
∴∠ABO＝∠OBM＝，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB＝OA，∠AOB＝60°，
∵CM+AN＝m，CM+BM＝m，
∴BM＝AN，
在△BOM和△AON中，
，
∴△BOM≌△AON（SAS），
∴∠BOM＝∠AON，
∴∠BOM+∠BON＝∠AON+∠BON＝∠AOB＝60°；
∴∠MON＝60°；
（3）设方程两个根为x1，x2，
∴，
∴x1•x2+x1+x2＝﹣5，
∴（x1+1）•（x2+1）＝﹣4＝1×（﹣4）＝（﹣1）×4＝2×（﹣2），
∵m＞0，
∴x1+x2＝﹣m﹣4＜0，
∴x1+1≠﹣1，
当时，
，
此时m＝﹣1（舍去），
当时，
，
此时m＝2，
∴C（﹣1，），A（2，0），
∴设抛物线的解析式为：y＝ax•（x﹣2），B（1，），
∴直线OB的解析式为：y＝x，
当x＝﹣1时，y＝，
∴a•（﹣1）×（﹣1﹣2）＝，
∴a＝，
∴y＝，
由得，
x1＝5，x2＝0（舍去），
∴当时，P点横坐标为：2，
∴P（2，0），
当时，P点横坐标为：3，
当x＝3时，y＝＝，
∴P（3，），
综上所述：点P（2，0）或（3，）．
【点评】本题考查了菱形性质，全等三角形的判定和性质，一元二次方程根与系数关系，多项式的分解，求二次函数和一次函数的解析式等知识，解决问题的关键是根据根与系数关系，消去m的值，分解因式求m的值．