浙教版九年级上册第1章 二次函数综合与测试课时练习

这是一份浙教版九年级上册第1章 二次函数综合与测试课时练习，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

浙教版初中数学九年级上册第一单元《二次函数》
考试范围：第一章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1. 定义：用f(x)表示以x为自变量的函数，若fx−1x=x2+1x2，则f(x+1)=(    )
A. (x+1)2+1(x+1)2 B. x−1x2+1x−1x2
C. (x+1)2+2 D. (x+1)2+1
2. 已知函数y=k-1x2-4x+4与x轴只有一个交点，则k的取值范围是
A. k≤2且k≠1 B. k<2且k≠1 C. k=2 D. k=2或1
3. 抛物线y=−6x2可以看作是由抛物线y=−6x2+5按下列何种变换得到(    )
A. 向上平移5个单位 B. 向下平移5个单位
C. 向左平移5个单位 D. 向右平移5个单位
4. 若平面直角坐标系内的点M满足横、纵坐标都为整数，则把点M叫做“整点”.例如：P(1,0)、Q(2,−2)都是“整点”.抛物线y=mx2−6mx+9m+2(m<0)与x轴交于点A，B两点，若该抛物线在A，B之间的部分与线段AB所围成的区域(包括边界)恰有七个整点，则m的取值范围是(    )
A. −2 5. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：

①abc>0；②2a+b=0；③若m为任意实数，则a+b>am2+bm；④a−b+c>0；⑤若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2=2.其中，正确结论的个数为(    )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 如图，边长为2的正方形ABCD，点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿A−D−C的路径向点C运动，同时点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿B−C−D−A的路径向点A运动，当Q到达终点时，P停止移动，设ΔPQC的面积为S，运动时间为t秒，则能大致反映S与t的函数关系的图象是(    )
A. B.
C. D.
7. 如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，直线y=t(t> 0)与抛物线交于A，B两点，A，B两点横坐标分别为m，n.根据函数图象信息有下列结论： ①abc>0; ②m+n=1; ③m<−1; ④若对于t>0的任意值都有m<−1，则a≥1; ⑤当t为定值时，若a变大，则线段AB变长.其中，正确的结论有(    )
A.  ① ② ④ B.  ① ③ ⑤ C.  ① ② ⑤ D.  ① ②
8. 已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点为A(1,0)和B(3,0)，点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)是抛物线上不同于A，B的两个点，记△P1AB的面积为S1，△P2AB的面积为S2，有下列结论：①当x1>x2+2时，S1>S2；②当x1<2−x2时，S1|x2−2|>1时，S1>S2；④当|x1−2|>|x2+2|>1时，S1 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9. 将函数y=−x2+2x+m(0≤x≤4)在x轴下方的图象沿x轴向上翻折，在x轴上方的图象保持不变，得到一个新图象．新图象对应的函数最大值与最小值之差最小，则m的值为(    )
A. 2.5 B. 3 C. 3.5 D. 4
10. 如图是抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，抛物线的顶点坐标为A(−1,−3)，与x轴的一个交点为B(−4,0).点A和点B均在直线y2=kx+n(k≠0)上．下列结论错误的是(    )
A. a+b+c>−k+n
B. 不等式kx+n>ax2+bx+c的解集为−4 C. abc<0
D. 方程ax2+bx+c=−3有两个不相等的实数根

11. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)经过点(2,0)，且对称轴为直线x=12，有下列结论：①abc>0；②a+b>0；③4a+2b+3c<0；④无论a，b，c取何值，抛物线一定经过(c2a,0)；⑤4am2+4bm−b≥0.其中正确结论有(    )

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
12. 如图，二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点A(−1,0)，点B(m,0)，点C(0,−m)，其中20，②2a+c<0，③方程ax2+bx+c=−m有两个不相等的实数根，④不等式ax2+(b−1)x<0的解集为0

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 若关于x的函数y=kx2+3x−1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为__________．
14. 如图，抛物线y=-45x2+1与抛物线y=kx2−2的交点在x轴上，现将抛物线y=-45x2+1向下平移15个单位，y=kx2−2向上平移____个单位，平移后两条抛物线的交点还在x轴上．


15. 如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=4，AE为∠BAD的平分线，F为AE上一动点，点M为DF的中点，连接BM，则BM的最小值是          ．

16. 图1是一个高脚杯截面图，杯体CBD呈抛物线状(杯体厚度不计)，点B是抛物线的顶点，AB=9，EF=23，点A是EF的中点，当高脚杯中装满液体时，液面CD=43，此时最大深度(液面到最低点的距离)为12，将高脚杯绕点F缓缓倾斜倒出部分液体，当∠EFH=30°时停止，此时液面为GD，则液面GD到平面l的距离是______ ；此时杯体内液体的最大深度为______ ．



三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）
17. 设a、b是任意两个实数，用maxa,b表示a、b两数中的较大者，例如：max−1,−1=−1，max1,2=2，max4,3=4，参照上面的材料，解答下列问题：


(1)max5,2=          ，max0,3=          ;
(2)若max3x+1,−x+1=−x+1，求x的取值范围;
(3)求函数y=x2−2x−4与y=−x+2的图象的交点坐标，函数y=x2−2x−4的图象如图所示，请你在图中作出函数y=−x+2的图象，并根据图象直接写出max−x+2,x2−2x−4的最小值．
18. 已知函数y=−(m+2)xm2−2(m为常数)，求当m为何值时：
(1)y是x的反比例函数？
(2)y是x的二次函数？并求出此函数图象上纵坐标为−8的点的坐标．
19. 已知函数y=m2−mx2+mx+m+1，m是常数．
(1)若这个函数是一次函数，求m的值；
(2)若这个函数是二次函数，求m的值．
20. 在直角坐标系中，设函数y=ax2+bx+1(a,b是常数，a≠0)．
(1)若该函数的图象经过(1,0)和(2,1)两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；
(2)已知a=b=1，当x=p，q(p,q是实数，p≠q)时，该函数对应的函数值分别为P，Q.若p+q=2，求证：P+Q>6．
21. 已知：抛物线y=ax2−3(a−1)x+2a−6(a>0)．
(1)求证：抛物线与x轴有两个交点．
(2)设抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2(其中x1>x2).若t是关于a的函数、且t=ax2−x1，求这个函数的表达式；
(3)若a=1，将抛物线向上平移一个单位后与x轴交于点A、B.平移后如图所示，过A作直线AC，分别交y的正半轴于点P和抛物线于点C，且OP=1.M是线段AC上一动点，求2MB+MC的最小值．

22. 如图，已知抛物线y=13x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A(0,1)，点B(−9,10)，AC//x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点P且与y轴平行的直线l与直线AB，AC分别交于点E，F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标．

23. 如图，点P(a,3)在抛物线C：y=4−(6−x)2上，且在C的对称轴右侧．
(1)写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；
(2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为P′，C′.平移该胶片，使C′所在抛物线对应的函数恰为y=−x2+6x−9.求点P′移动的最短路程．

24. 如图，已知点O(0,0)，A(−4,−1)，线段AB与x轴平行，且AB=2，抛物线l：y=−x2+mx+n(m,n为常数)经过点C(0,3)和D(3,0)
(1)求l的解析式及其对称轴和顶点坐标；
(2)判断点B是否在l上，并说明理由；
(3)若线段AB以每秒2个单位长的速度向下平移，设平移的时间为t(秒)．
①若l与线段AB总有公共点，直接写出t的取值范围；
②若l同时以每秒3个单位长的速度向下平移，l在y轴及其右侧的图象与直线AB总有两个公共点，求t的取值范围．

25. 如图，已知A(−2,0)，B(4,0)，抛物线y=ax2+bx−1过A、B两点，并与过A点的直线y=−12x−1交于点C．
(1)求抛物线解析式及对称轴；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使四边形ACPO的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N．
问：是否存在这样的点N，使以点M、N、C为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．



答案和解析

1.【答案】C 
【解析】∵fx−1x=x2+1x2=x2+1x2−2+2=x−1x2+2，
∴f(x)=x2+2，
∴f(x+1)=(x+1)2+2．

2.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的定义，一次函数图象上点的坐标，一次函数与二次函数的.由于不知道是一次函数还是二次函数，需对k进行讨论，当k=1时，函数y=−4x+4是一次函数，它的图象与x轴有一个交点；当k≠1，函数y=(k−1)x2−4x+4是二次函数，当△=0时，二次函数与x轴有一个交点，解△=0，求出k的范围．
【解答】
解：当k−1=0，即k=1时，函数为y=−4x+4，与x轴只有一个交点；
 当k−1≠0，即k≠1时，函数y=(k−1)x2−4x+4是二次函数，当(−4)2−4(k−1)×4=0，解得k=2，即当k=2时，函数的图象与x轴只有一个交点．
综上可得，k的取值范围是k=2或k=1．
故选D．  
3.【答案】B 
【解析】解：∵y=−6x2+5的顶点坐标为(0,5)，
而抛物线y=−6x2的顶点坐标为(0,0)，
∴把抛物线y=−6x2+5向下平移5个单位可得到抛物线y=−6x2．
故选：B．
先得到两个抛物线的顶点坐标，然后根据顶点坐标判断平移的方向和单位长度．
本题考查了抛物线的几何变换：抛物线的平移问题可转化为其顶点的平移问题，抛物线的顶点式：y=a(x−h)2+k(a≠0)，则抛物线的顶点坐标为(h,k)．

4.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点的求法，利用图象解决问题是本题的关键．画出图象，利用图象可得m的取值范围
【解答】
解：∵y=mx2−6mx+9m+2=m(x−3)2+2且m<0，
∴该抛物线开口向上，顶点坐标为(3,2)，对称轴是直线x=3．
由此可知点(3,0)、点(2,−1)、顶点(2,2)符合题意．
①当该抛物线经过点(2,1)和(4,1)时(如答案图1)，这两个点符合题意．
将(2,1)代入 y=mx2−6mx+9m+2得到1=4m−12m+9m+2.解得m=−1．
此时抛物线解析式为y=−x2+6x−7．
由y=0得−x2+6x−7=0.解得x1=3−2≈1.6，x2=3+2≈4.4．
∴x轴上的点(2,0)、(3,0)、(4,0)符合题意．
则当m=−1时，恰好有 (2,0)、(4,0)、(4,0)、(2,1)、(3,1)、(4,1)、(3,2)这7个整点符合题意．
∴m≥−11.【注：m的值越大，抛物线的开口越小，m的值越小，抛物线的开口越大】

答案图1(m=1时)            答案图2( m=12时)
②当该抛物线经过点(1,0)和点(5,0)时(如答案图2)，这两个点符合题意．
此时x轴上的点 (2,0)、(3,0)、(4,0)也符合题意．
将(1,0)代入y=mx2−6mx+9m+2得到0=m−6m+9m+2.解得m=−12．
此时抛物线解析式为y=−12x2+3x−52．
当x=2时，得y=1.5>1.∴点(2,1)符合题意．
当x=4时，得y=1.5>1.∴点(4,1)符合题意．
综上可知：当m=−12时，点(1,0)、(2,0)、(3,0)、(4,0)、(5,0)、(2,1)、(3,1)、(4,1)、(3,2)都符合题意，共有9个整点符合题意，
∴m=−12不符合题．
∴m<−12．
综合①②可得：−1 ≤ m < −12时，该函数的图象与x轴所围城的区域(含边界)内有七个整点，
故选D．


  
5.【答案】B 
【解析】解：①抛物线开口方向向下，则a<0．
抛物线对称轴位于y轴右侧，则a、b异号，即ab<0．
抛物线与y轴交于正半轴，则c>0
所以abc<0．
故①错误．

②∵抛物线对称轴为直线x=−b2a=1，
∴b=−2a，即2a+b=0，
故②正确；

③∵抛物线对称轴为直线x=1，
∴函数的最大值为：a+b+c，
∴当m≠1时，a+b+c>am2+bm+c，即a+b>am2+bm，
故③错误；

④∵抛物线与x轴的一个交点在(3,0)的左侧，而对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在(−1,0)的右侧
∴当x=−1时，y<0，
∴a−b+c<0，
故④错误；

⑤∵ax12+bx1=ax22+bx2，
∴ax12+bx1−ax22−bx2=0，
∴a(x1+x2)(x1−x2)+b(x1−x2)=0，
∴(x1−x2)[a(x1+x2)+b]=0，
而x1≠x2，
∴a(x1+x2)+b=0，即x1+x2=−ba，
∵b=−2a，
∴x1+x2=2，
故⑤正确．
综上所述，正确的有②⑤．
故选：B．
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．

6.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查了动点问题的函数图象，主要考查了正方形的性质，一次函数和二次函数的图象与性质，三角形面积等知识，正确分类熟练掌握一次函数和二次函数的图象与性质是解题关键．
分三种情况求出解析式，即可解答．
【解答】
解：如下图，分三种情况讨论：

如图1，当0≤t≤1时，S=12×2×(2−2t)=2−2t，
∴属于直线的一段，该段图象y随x的增大而减小；
如图2，当1 ∴属于抛物线的一段，该段图象开口向下；
如图3，当2 ∴属于抛物线的一段，该段图象开口向下，
故选：C．  
7.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查二次函数的图象及性质；根据图象确定函数的对称轴，利用a>0时，a增大，函数的开口变小的性质解题是关键．由图象分别求出a>0，c=−2，b=−a<0，则函数解析式为y=ax2−ax−2，则对称轴x=12，由开口向上的函数的图象开口与a的关系可得：当a变大，函数y=ax2−ax−2的开口变小.根据二次函数的性质对各结论进行判断即可．
【解答】
解：由图象可知，a>0，c=−2，抛物线经过点(0,−2)和点(1,−2)，
∴抛物线的对称轴为x=−b2a=12，
∴b=−a<0，
∴abc>0；
∴①正确；
∵A、B两点关于对称轴直线x=12对称，
∴m+n=1，
∴②正确；
∵a>0，当a变大时，函数y=ax2+bx+c的开口变小，
则AB的距离变小，
∴⑤不正确；
∵若对于t>0的任意值都有m<−1，
∴当x=−1时，y=a−b+c=a+ a−2≤0，
∴0 ∴④不正确；
∵抛物线的解析式为y=ax2−ax−2，
当a=1时，抛物线与x轴的左侧交点坐标为(−1,0)，
∴对于t>0的任意值都有m<−1，
当a>1时，函数开口变小，抛物线与x轴的左侧交点在点(−1,0)的右侧，则存在m>−1的情况，
∴③不正确；
综上，正确的结论有①②．
  
8.【答案】A 
【解析】解：不妨假设a>0．
①如图1中，P1，P2满足x1>x2+2，

∵P1P2//AB，
∴S1=S2，故①错误．
②当x1=−2，x2=−1，满足x1<2−x2，
则S1>S2，故②错误，
③∵|x1−2|>|x2−2|>1，
∴P1，P2在x轴的上方，且P1离x轴的距离比P2离x轴的距离大，
∴S1>S2，故③正确，
④如图2中，P1，P2满足|x1−2|>|x2+2|>1，但是S1=S2，故④错误．


不妨假设a>0，利用图象法一一判断即可．
本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数图象上的点的特征等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

9.【答案】C 
【解析】解：如下图，函数y=−x2+2x+m的对称轴为x=1，故顶点P的坐标为(1,m+1)，

令y=0，则x=1±m+1，设抛物线于x轴右侧的交点A(1+m+1,0)，
根据点的对称性，图象翻折后图象关于x轴对称，故翻折后的函数表达式为：−y′=−x2+2x+m，
当x=4时，y′=8−m，
当0≤x≤4时，函数的最小值为0，故函数最大值与最小值之差最小，只需要函数的最大值最小即可；
①当点A在直线x=4的左侧时(直线n所处的位置)，
即1+m+1<4，解得：m<8；
当函数在点P处取得最大值时，即m+1≥8−m，解得：m≥3.5，
当m=3.5时，此时最大值最小为3.5；
当函数在x=4处取得最大值时，即m+1≤8−m，解得：m≤3.5，
m最大为3.5时，此时最大值为m+1=4.5，
故m=3.5；
②当点A在直线x=4的右侧时(直线m所处的位置)，
即1+m+1>4，解得：m>8；
函数的最大为m+1>9>3.5；
综上，m=3.5，
故选：C．
令y=0，则x=1±m+1，设抛物线于x轴右侧的交点A(1+m+1,0)，翻折后的函数表达式为：−y′=−x2+2x+m，当x=4时，y′=8−m，当0≤x≤4时，函数的最小值为0，故函数最大值与最小值之差最小，只需要函数的最大值最小即可，即可求解．
本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．

10.【答案】D 
【解析】解：∵直线y2=kx+n(m≠0)经过抛物线的顶点坐标为B(−1,−3)，
∴a−b+c=−k+n，
∴a+b+c>−k+n，所以A正确；
∵当−4y1，
∴不等式kx+n>ax2+bx+c的解集为−4 ∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a=−1，
∴b=2a
∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∴b=2a>0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c<0，
∴abc<0，所以C正确；
∵抛物线的顶点坐标为(−1,−3)，
∴抛物线与直线y=−3只有一个交点，
∴方程ax2+bx+c=−3有两个相等的实数根，所以D错误；
故选：D．
利用抛物线的对称轴方程得到x=−b2a=−1得b=2a，抛物线开口向上得到a>0，则b>0，由抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c<0，则可对C进行判断；利用二次函数的增减性可对A进行判断；结合函数图象可对B进行判断；利用抛物线与直线y=−3只有一个交点可对D进行判断．
本题考查了二次函数与不等式(组)：对于二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．也考查了抛物线与x轴的交点问题．

11.【答案】D 
【解析】解：①∵抛物线的对称轴为直线x=12，即对称轴在y轴的右侧，
∴ab<0，
∵抛物线与y轴交在负半轴上，
∴c<0，
∴abc>0，
故①正确；
②∵抛物线的对称轴为直线x=12，
∴−b2a=12，
∴−2b=2a，
∴a+b=0，
故②不正确；
③∵抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)经过点(2,0)，
∴4a+2b+c=0，
∵c<0，
∴4a+2b+3c<0，
故③正确；
④由对称得：抛物线与x轴另一交点为(−1,0)，
∵a+b=04a+2b+c=0，
∴c=−2a，
∴c2a=−1，
∴当a≠0，无论b，c取何值，抛物线一定经过(c2a,0)，
故④正确；
⑤∵b=−a，
∴4am2+4bm−b=4am2−4am+a=a(4m2−4m+1)=a(2m−1)2，
∵a>0，
∴a(2m−1)2≥0，即4am2+4bm−b≥0，
故⑤正确；
本题正确的有：①③④⑤，共4个．
故选：D．
由题意得到抛物线的开口向上，对称轴−b2a=12，判断a，b与0的关系，根据抛物线与y轴交点的位置确定c与0的关系，从而得到abc>0，即可判断①；
根据抛物线对称轴方程可得a+b=0，即可判断②；
根据抛物线y=ax2+bx+c经过点(−2,0)以及c<0，得到4a+2b+3c<0，即可判断③；
先根据a+b=0和4a+2b+c=0得c=−2a，再根据对称性可知：抛物线过(−1,0)，即可判断④；
根据b=−a，把b换成−a，提公因式，分解因式，根据平方的非负性即可判断⑤．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于(0,c)．

12.【答案】D 
【解析】解：①∵二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点A(−1,0)，点B(m,0)，
∴二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象的对称轴是直线：x=−1+m2，
∵2 ∴1<−1+m<2，
∴12<−1+m2<1，
∴12<−b2a<1，
∵−b2a<1，a>0，
∴2a+b>0，
故①正确；
②把点A(−1,0)代入y=ax2+bx+c中可得：a−b+c=0，
∴b=a+c，
由①得：−b2a>12，
∵a>0，
∴a+b<0，
∴a+a+c<0，
∴2a+c<0，
故②正确；
③由图可知：
直线y=−m与二次函数y=ax2+bx+c的图象抛物线有两个交点，
∴方程ax2+bx+c=−m有两个不相等的实数根，
故③正确；
④∵二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点A(−1,0)，点B(m,0)，
∴y=a(x+1)(x−m)=ax2−amx+ax−am，
∵二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点C(0,−m)，
∴−am=−m，
∴a=1，
二次函数y=ax2+(b−1)x的对称轴为直线：x=−b−12a，
把x=0代入二次函数y=ax2+(b−1)x中可得：y=0，
∴二次函数y=ax2+(b−1)x的图象与x轴的交点为：(0,0)，
设二次函数y=ax2+(b−1)x的图象与x轴的另一个交点为(n,0)，
∴n+02=−b−12a，
∴n=1−ba=1−b，
∵不等式ax2+(b−1)x<0的解集为0 ∴不等式ax2+(b−1)x<0的解集为0 ∵二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象的对称轴是直线：x=−1+m2，
∴−b2a=−1+m2，
∴m=a−ba=1−b，
∴不等式ax2+(b−1)x<0的解集为0 故④正确，
所以：正确结论的个数有4个，
故选：D．
①利用点A(−1,0)，点B(m,0)求出对称轴，然后利用2 ②把点A(−1,0)代入y=ax2+bx+c中可得a−b+c=0，再结合①中的结论即可解答；
③利用直线y=−m与二次函数y=ax2+bx+c的图象的交点个数判断即可；
④先求出函数y=ax2+(b−1)x的对称轴，再求出与x轴的两个交点坐标即可解答．
本题考查了二次函数与不等式组，根的判别式，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，准确熟练地进行计算是解题的关键．

13.【答案】0或−94 
【解析】
【分析】
本题主要考查的是一次函数的定义，二次函数的定义，抛物线与x轴的交点的有关知识，运用了分类讨论思想.分为两种情况：当函数为二次函数时，当函数为一次函数时，分别求出即可．
【解答】
解：分为两种情况：当函数为二次函数时，
∵关于x的函数y=kx2+3x−1与x轴仅有一个公共点，
∴△=32−4k⋅(−1)=0，
解得：k=−94，
当函数为一次函数时，k=0；
故答案为0或−94．  
14.【答案】25 
【解析】
【分析】
本题考查二次函数图象与几何变换，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握抛物线平移的规律．将y=0代入y=−45x2+1求出抛物线与x轴交点坐标，从而可得抛物线y=kx2−2的解析式，然后求出将抛物线y=−45x2+1向下平移15个单位后与x轴交点坐标为(1,0)，(−1,0)，设y=85x2−2向上平移n个单位，得到抛物线y=85x2−2+n，根据题意可知，抛物线y=85x2−2+n经过点(1,0)，把x=1，y=0代入y=85x2−2+n中，0=85×12−2+n，解得n=25，得出把抛物线y=85x2−2向上移动25个单位后抛物线经过(1,0)，即可求解．
【解答】
解：解：把y=0代入y=−45x2+1得0=−45x2+1，
解得x1=52，x2=−52，
∴抛物线交点坐标为(52,0)，(−52,0)，
把(52,0)代入y=kx2−2得0=54k−2，
解得k=85，
∴y=85x2−2，
抛物线y=−45x2+1向下平移15个单位后解析式为y=−45x2+45，
把y=0代入y=−45x2+45得0=−45x2+45，
解得x=±1，
∴抛物线y=−45x2+45与x轴交点为(1,0)，(−1,0)，
设y=85x2−2向上平移n个单位，得到抛物线y=85x2−2+n，
根据题意可知，抛物线y=85x2−2+n经过点(1,0)，
把x=1，y=0代入y=85x2−2+n中，得0=85×12−2+n，
解得n=25，
∴把抛物线y=85x2−2向上移动25个单位后抛物线经过(1,0)，
故答案为25．  
15.【答案】22 
【解析】
【分析】
本题考查了矩形的性质，二次函数的性质，两点距离公式等知识，建立平面直角坐标系是本题的关键．建立平面直角坐标系，求出AE的解析式，设点F(a,−a+2)，可求点M坐标，由两点距离公式和二次函数性质可求BM的最小值．
【解答】
解：以点B为原点，BC为x轴，AB为y轴，建立平面直角坐标系，

∵AB=2，BC=4，
∴点A(0,2)，点C(4,0)，点D(4,2)，
∵AE为∠BAD的角平分线，
∴∠BAE=∠DAE=45°，
∴∠BAE=∠AEB=45°，
∴AB=BE=2，
∴点E(2,0)，
设直线AE的解析式为y=kx+b，
将点A(0,2)，E(2,0)代入上式，得：
b=22k+b=0,
解得：k=−1b=2,
∴直线AE解析式为y=−x+2，
∴设点F(a,−a+2)，
∵M为DF的中点，
∴点M(4+a2,−a+42)，
∴BM2=(4+a2)2+(−a+42)2=a2+16+8a4+a2+16−8a4=12a2+8，
∵0≤a≤2，
∴当a=0时，BM的最小值为22，
故答案为22．  
16.【答案】103 121243 
【解析】解：以A为原点，直线EF为x轴，直线AB为y轴，建立平面直角坐标系，如图：

由题意得：
A(0,0)，B(0,9)，C(−23,21)，D(23,21)，
设抛物线的解析式为：y=ax2+9，
将D(23,21)代入得：
21=a×(23)2+9，
解得：a=1，
∴y=x2+9．
将高脚杯绕点F倾斜后，仍以A为原点，直线EF为x轴，直线AB为y轴，建立平面直角坐标系，如图：

由题意得：
A(0,0)，F(3,0)，E(−3,0)，B(0,9)，C(−23,21)，D(23,21)，
由题可知，直线l与x轴的夹角为30°，GD//l，
∵l经过点F(3,0)，且∠EFH=30°，
∴设直线l的解析式为：y=33x+b，
将F(3,0)代入，解得b=−1，
∴y=33x−1，
又∵GD//l，
∴kGD=kl=33，
∴设直线GD的解析式为y=33x+p，
将D(23,21)代入，解得p=19，
∴y=33x+19，
∴M(0,19)，N(0,−1)，
过点M作MP⊥l于点P，
∵∠EFH=30°，∠FAN=90°，
∴∠ANF=60°，
在RtΔMNP中，MN=20，∠NMP=30°
∴NP=10
∴MP=MN2−NP2=103
过抛物线最低点Q作QL//l，L为QL于MP的交点，
设直线QL的解析式为y=33x+q，
由y=x2+9y=33x+q得：
x2−33x+9−q=0，
∵只有一个交点Q，
∴△=0，
∴13−4(9−q)=0，
∴q=10712，
在RtΔMBL中，MB=12112，∠MBL=60°
∴∠BML=30°，∴BL=12124
由勾股定理可得，ML=MB2−BL2=121243．
故答案为：103，121243．
以A为原点，直线EF为x轴，直线AB为y轴，建立平面直角坐标系，由待定系数法求得抛物线的解析式；将高脚杯绕点F倾斜后，仍以A为原点，直线EF为x轴，直线AB为y轴，建立平面直角坐标系，分别用待定系数法求得直线l的解析式和直线GD的解析式，过点M作MP⊥l于点P，用勾股定理求得液面GD到平面l的距离；过抛物线最低点Q作QL//l，再将QL的解析式与抛物线的解析式联立，得出关于x的一元二次方程，由判别式求得q，最后用勾股定理求得答案．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法、二次函数及勾股定理等知识点是解题的关键．

17.【答案】解： (1)5 ; 3．
 (2)∵max3x+1,−x+1=−x+1，
∴3x+1≤−x+1，解得x≤0.
(3)联立y=x2−2x−4,y=−x+2,解得x1=−2,y1=4,x2=3,y2=−1,
∴交点坐标为(−2,4)和(3,−1)．
画出直线y=−x+2，如图所示，

观察函数图象可知，当x=3时，max−x+2,x2−2x−4的最小
值为−1．
 
【解析】
【分析】
此题是一个二次函数综合题，主要考查二次函数的最值，二次函数与一次函数的图像，一次函数与二次函数的性质．
(1)根据a、b是任意两个实数，用maxa,b表示a、b两数中的较大者，可求得答案；
(2)根据max3x+1,−x+1=−x+1得到一元一次不等式，解得可得结论；
(3)联立两函数解析式组成方程组，解得可以求得交点坐标，画出直线y=−x+2的图像，观察图形，得到max−x+2,x2−2x−4的最小值．
【解答】
解(1)max5,2=5，max0,3=3
故答案为：5，3
(2)见答案
(3)见答案  
18.【答案】解：(1)由y=−(m+2)xm2−2(m为常数)y是x的反函数，
得m2−2=−1，
解得m=±1，此时−(m+2)≠0，
∴m=±1时，y是x的反比例函数．
(2)由y=−(m+2)xm2−2(m为常数)是x的二次函数，
得m2−2=2m+2≠0，
解得m=2，m=−2(不符合题意的要舍去)
当m=2时，y是x的二次函数，
当y=−8时，−8=−4x2，解得x=±2，
故纵坐标为−8的点的坐标是(±2,−8) 
【解析】本题考查了反比例函数的定义和二次函数的性质．
(1)本题考查了反比例函数的定义，利用反比例函数解析式的形式解决此题，
(2)本题考查了二次函数的定义和二次函数的性质，利用二次函数的定义和二次函数的性质解决此题．

19.【答案】解：(1)根据一次函数的定义，得：m2−m=0 
解得m=0或m=1 
又∵是一次函数，
∴m≠0，
∴当m=1时，这个函数是一次函数； 
(2)根据二次函数的定义，得：m2−m≠0
 解得m1≠0，m2≠1
 ∴当m1≠0，m2≠1时，这个函数是二次函数． 
【解析】本题考查了一次函数的定义和二次函数的定义，二次函数的二次项的系数和一次函数的一次项系数不等于零是解题关键．
(1)根据二次项的系数等于零，一次项的系数不等于零，可得答案；
(2)根据二次项的系数不等于零，可得方程，即可求解．

20.【答案】解：(1)由题意，得a+b+1=04a+2b+1=1
解得a=1b=−2
所以，该函数表达式为y=x2−2x+1．
并且该函数图象的顶点坐标为(1,0)．
(2)由题意，得P=p2+p+1，Q=q2+q+1，
所以 P+Q=p2+p+1+q2+q+1
=p2+q2+4
=(2−q)2+q2+4
=2(q−1)2+6≥6，
由条件p≠q，知q≠1.所以 P+Q>6，得证． 
【解析】(1)考查使用待定系数法求二次函数解析式，属于基础题，将两点坐标代入，解二元一次方程组即可；
(2)已知a=b=1，则y=x2+x+1.容易得到P+Q=p2+p+1+q2+q+1，利用p+q=2，即p=2−q代入对代数式P+Q进行化简，并配方得出P+Q=2(q−1)2+6≥6.最后注意利用p≠q条件判断q≠1，得证．
本题主要考查了待定系数法求解二次函数表达式，以及二次函数图象的顶点坐标，代数式的化简，并利用配方法判断代数式的取值范围．
第(2)小问的关键是利用p+q=2，首先对代数式P+Q化简，然后配方说明P+Q的范围，另外注意q≠1．

21.【答案】(1)证明：△=b2−4ab=[−3(a−1)]2−4a(2a−6)=a2+6a+9=(a+3)2，
∵a>0，
∴(a+3)2>0，
∴抛物线与x轴有两个交点；

(2)解：令y=0，则ax2−3(a−1)x+2a−6=0，
∴x=3(a−1)±(a+3)2a=2或1−3a，
∵a>0，
∴1−3a<1且x1>x2，
∴x1=2，x2=1−3a，
∴t=ax2−x1=a(1−3a)−2，
∴t=a−5；

(3)解：当a=1时，则y=x2−4，
向上平移一个单位得y=x2−3，
令y=0，则x2−3=0，
得x=±3，
∴A(−3,0)，B(3,0)，
∵OP=1，
∴直线AC：y=33x+1，
联立：y=33x+1y=x2−3，
解得，x1=−3y1=0，x2=433y2=73，
即A(−3,0)，C(433,73)，
∴AO=3，
在Rt△AOP中，
AP=AO2+OP2=2，
过C作CN⊥y轴，过M作MG⊥CN于G，过C作CH⊥x轴于H，
∵CN//x轴，
∴∠GCM=∠PAO，
又∵∠AOP=∠CGM=90°，
∴△AOP∽△CGM，
∴OPAP=GMCM=12，
∴2MB+MC=2(MB+12MC)=2(MB+GM)，
∵B到CN最小距离为CH，
∴MB+GM的最小值为CH的长度73，
∴2MB+MC的最小值为143． 
【解析】(1)可求出根的判别式的值，由根的判别式的值直接判断；
(2)令y=0，求出含a的两个交点的横坐标，代入t=ax2−x1即可；
(3)求出平移后抛物线的解析式及A，B的坐标，求出直线AC的解析式及点C的坐标，过C作CN⊥y轴，过M作MG⊥CN于G，过C作CH⊥x轴于H，证△AOP∽△CGM，推出GMCM=12，2MB+MC=2(MB+GM)，而MB+GM的最小值即B到CN最小距离CH，即可写出2MB+MC的最小值．
本题考查了抛物线与坐标轴交点的求法，最短路径问题等，解题关键是能够通过作合适的辅助线，将相关线段的和的最小值转化为垂线段最短的问题等．

22.【答案】解：(1)∵点A(0,1).B(−9,10)在抛物线上，
∴c=127−9b+c=10，
解得b=2c=1，
∴抛物线的解析式为y=13x2+2x+1，

(2)∵AC//x轴，A(0,1)
∴13x2+2x+1=1，
∴x1=−6，x2=0，
∴点C的坐标(−6,1)，
∵点A(0,1).B(−9,10)，
∴直线AB的解析式为y=−x+1，
设点P(m,13m2+2m+1)
∴E(m,−m+1)
∴PE=−m+1−(13m2+2m+1)=−13m2−3m，
∵AC⊥EP，AC=6，
∴S四边形AECP
=S△AEC+S△APC
=12AC×EF+12AC×PF
=12AC×(EF+PF)
=12AC×PE
=12×6×(−13m2−3m)
=−m2−9m
=−(m+92)2+814，
∵−6 ∴当m=−92时，四边形AECP的面积的最大值是814，
此时点P(−92,−54). 
【解析】(1)用待定系数法求出抛物线解析式即可；
(2)设点P(m,13m2+2m+1)，表示出PE=−13m2−3m，再用S四边形AECP=S△AEC+S△APC=12AC×PE，建立函数关系式，求出极值即可．
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，二次函数的性质，几何图形面积的求法(用割补法)，解本题的关键是求函数解析式．

23.【答案】解：(1)∵抛物线C：y=4−(6−x)2=−(x−6)2+4，
∴抛物线的顶点为Q(6,4)，
∴抛物线的对称轴为直线x=6，y的最大值为4，
当y=3时，3=−(x−6)2+4，
∴x=5或7，
∵点P在对称轴的右侧，
∴P(7,3)，
∴a=7；

(2)∵平移后的抛物线的解析式为y=−(x−3)2，
∴平移后的顶点Q′(3,0)，
∵平移前抛物线的顶点Q(6,4)，
∴点P′移动的最短路程=QQ′=32+42=5． 
【解析】(1)根据抛物线的顶点式，判断出顶点坐标，令y=3，转化为方程求出a即可；
(2)求出平移前后的抛物线的顶点的坐标，可得结论．
本题考查二次函数的性质，解题的关键是理解题意，求出平移前后的抛物线的顶点坐标，属于中考常考题型．

24.【答案】解：(1)把点C(0,3)和D(3,0)的坐标代入y=−x2+mx+n中，
得n=3−32+3m+n=0，
解得n=3m=2，
∴抛物线l解析式为y=−x2+2x+3，
对称轴为x=1，顶点坐标为(1,4).   

(2)不在；  
∵A(−4,−1)，线段AB与x轴平行，AB=2，
∴B(−2,−1)，
把x=−2代入y=−x2+2x+3，得y=−5≠−1，
∴点B不在抛物线l上．

(3)①2≤t≤10. 
设点B的坐标为(−2,−1−2t)，点A的坐标为(−4,−1−2t)，
当抛物线l经过点B时，有y=−(−2)2+2×(−2)+3=−5，
当抛物线l经过点A时，有y=−(−4)2+2×(−4)+3=−21，
当抛物线l与线段AB总有公共点时，有−21≤−1−2t≤−5，
解得：2≤t≤10．

②平移过程中，设点C的坐标为(0,3−3t)，抛物线l的顶点坐标为(1,4−3t)，
如果直线AB与抛物线l在y轴及其右侧的图象总有两个公共点，
则有 −1−2t≥3−3t−1−2t<4−3t，
解得：4≤t<5． 
【解析】(1)直接利用待定系数法求出二次函数即可；
(2)首先得出B点坐标，再代入二次函数解析式进而得出答案；
(3)①分别得出当抛物线l经过点B时，当抛物线l经过点A时，求出y的值，进而得出t的取值范围；
②根据题意得出关于t的不等式进而组成方程组求出答案．
此题主要考查了二次函数综合以及不等式组的解法等知识，正确利用数形结合分析得出关于t的不等式是解题关键．

25.【答案】解：(1)把A(−2,0)，B(4,0)代入抛物线y=ax2+bx−1，得
0=4a−2b−10=16a+4b−1
解得
a=18b=−14
∴抛物线解析式为：y=18x2−14x−1
∴抛物线对称轴为直线x=−b2a=−−142×18=1
(2)存在
使四边形ACPO的周长最小，只需PC+PO最小
∴取点C(0,−1)关于直线x=1的对称点C′(2,−1)，连C′O与直线x=1的交点即为P点．
设过点C′、O直线解析式为：y=kx
∴k=−12
∴y=−12x
则P点坐标为(1,−12)
(3)当△AOC∽△MNC时，
如图，延长MN交y轴于点D，过点N作NE⊥y轴于点E

∵∠ACO=∠NCD，∠AOC=∠CND=90°
∴∠CDN=∠CAO
由相似，∠CAO=∠CMN
∴∠CDN=∠CMN
∵MN⊥AC
∴M、D关于AN对称，则N为DM中点
设点N坐标为(a,−12a−1)
由△EDN∽△OAC
∴ED=2a
∴点D坐标为(0,−52a−1)
∵N为DM中点
∴点M坐标为(2a,32a−1)
把M代入y=18x2−14x−1，解得
a=0(舍去)或a=4
∴a=4
则N点坐标为(4,−3)
当△AOC∽△CNM时，∠CAO=∠NCM
∴CM//AB则点C关于直线x=1的对称点C′即为点M
由(2)M为(2,−1)
∴由相似CN=455，MN=255
由面积法求N到MC距离为45
则N点坐标为(85,−95)
∴N点坐标为(4,−3)或(85,−95) 
【解析】(1)由待定系数法求解即可；
(2)将四边形周长最小转化为PC+PO最小即可；
(3)利用相似三角形对应点进行分类讨论，构造图形．设出点N坐标，表示点M坐标代入抛物线解析式即可．
本题为代数几何综合题，考查了待定系数、两点之间线段最短的数学模型构造、三角形相似．解答时，应用了数形结合和分类讨论的数学思想．