高考数学二轮复习第1部分方法篇素养形成文理第3讲平面向量和复数文理学案含解析

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第3讲　平面向量和复数(文理)JIE TI CE LUE MING FANG XIANG解题策略·明方向　⊙︱考情分析︱1．高考中主要考查平面向量基本定理、向量的运算及平面向量共线的坐标表示．2．主要考查复数的基本概念、复数的四则运算，及复数的几何意义．⊙︱真题分布︱(理科)年份卷别题号考查角度分值2020Ⅰ卷1复数的运算法则和复数的模的求解5Ⅱ卷13、15向量垂直的充分必要条件；复数模长的求解、复数及其运算的几何意义10Ⅲ卷2、6复数的除法运算；平面向量数量积的计算以及向量模的计算、平面向量夹角余弦值的计算102019Ⅰ卷2、7复数模的运算、平面向量的数量积与夹角10Ⅱ卷2、3共轭复数的几何意义、数量积定义及性质10Ⅲ卷2、13复数乘除法、向量夹角102018Ⅰ卷1、6复数的运算和模、平面向量线性运算10Ⅱ卷1、4复数四则运算、平面向量数量积10Ⅲ卷2、13复数的四则运算、向量平行与坐标表示10(文科)年份卷别题号考查角度分值2020Ⅰ卷2、14复数的模的计算；向量垂直的坐标表示10Ⅱ卷2、5复数的乘方运算；平面向量数量积的定义和运算性质10Ⅲ卷2、6复数的除法运算，共轭复数的概念；平面向量及其数量积的坐标运算，轨迹方程的求解102019Ⅰ卷1、8复数的乘法运算，复数模的计算；向量的数量积及各个向量的模，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，求出夹角10Ⅱ卷2、3数的运算及共轭复数；平面向量模长的计算10Ⅲ卷2、13复数的商的运算；复数的商的运算，102018Ⅰ卷1、7复数模的计算；平面向量基本定理10Ⅱ卷1、4复数的乘法运算；向量模的性质以及向量乘法10Ⅲ卷2、13复数的四则运算；向量的坐标运算，以及两向量共线10 KAO DIAN FEN LEI XI ZHONG DIAN考点分类·析重点　考点一　平面向量的线性运算1．平面向量的线性运算(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则．(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．2．向量共线的四个结论(1)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0．(2)直线的向量式参数方程：A，P，B三点共线⇔＝(1－t)＋t(O为平面内任一点，t∈R)．(3)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1．(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2＝x2y1，当且仅当x2y2≠0时，a∥b⇔＝.3．平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．考向1　平面向量的线性运算1．(2020·吉林省重点高中第二次月考)如图，若＝a，＝b，＝c，B是线段AC靠近点C的一个四等分点，则下列等式成立的是(　C　)A．c＝b－a　　 B．c＝b＋aC．c＝b－a　　 D．c＝b＋a【解析】　c＝＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝b－a.故选C．2．(2020·吉安一模)如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ等于(　A　)A．－　　 B．　C．1　　 D．－1【解析】　由平面向量基本定理，化简＝＋＝＋＝－＋(＋)＝－，所以λ＝，μ＝－，即λ＋μ＝－.故选A．考向2　平行与垂直求参数3．(2020·兰州二诊)已知向量a＝(1，m)，向量b＝(－1，)，若a∥b，则m＝(　B　)A．　　 B．－　C．　　 D．－【解析】　由题得1×－m×(－1)＝0，∴m＝－.故选B．4．(2020·淮南二模)已知向量a＝(m,1)，b＝(3,3)．若(a－b)⊥b，则实数m＝__5__.【解析】　因为(a－b)⊥b，故(a－b)·b＝0，即3m＋3－18＝0，故m＝5．平面向量线性运算的两个技巧(1)对于平面向量的线性运算问题，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，灵活运用三角形法则、平行四边形法则，紧密结合图形的几何性质进行运算．(2)在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理(当b≠0时，a∥b⇔存在唯一实数λ，使得a＝λb)来判断．考点二　平面向量的数量积1．平面向量数量积的性质及其坐标表示已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.结论几何表示坐标表示模|a|＝|a|＝夹角cos θ＝cos θ＝a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤2．平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．考向1　数量积的运算1．(2020·吉林省重点高中第二次月考)已知在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，若E，F分别为AB，BC的中点，则·(　B　)A．8　　 B．10　C．12　　 D．14【解析】　据题意，得·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＝0＋2×1×cos 0＋2×4×cos 0＋0＝10．故选B．2．(2020·江苏省八校联考)直角△ABC中，点D为斜边BC中点，AB＝6，AC＝6，＝，则·＝__14__.【解析】　以A为坐标原点建立平面直角坐标系即可，建系后可得A(0,0)，B(0,6)，C(6,0)，D(3,3)，E(1，)，所以＝(1，)，＝(－1,5)，则·＝－1＋15＝14．考向2　利用向量求夹角与模3．(2020·安徽省十四校联盟段考)已知向量a与b方向相反，a＝(1，－)，|b|＝2，则|a－b|＝(　B　)A．2　　 B．4　C．8　　 D．16【解析】　∵a＝(1，－)，∴|a|＝2，又向量a与b方向相反，且|b|＝2，∴a＝－b，∴|a－b|＝2|b|.故选B．4．(2020·山东省德州市期末)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，(a－b)·(a＋3b)＝－13，则a与b的夹角为(　C　)A．　　 B．　C．　　 D．　　　　【解析】　∵(a－b)·(a＋3b)＝a2＋2a·b－3b2＝－13，即2a·b－11＝－13，得a·b＝－1，则cos θ＝＝－，0≤θ≤π，∴θ＝.故选C．考向3　利用向量求范围5．(2020·安徽省皖江联盟联考)若平面向量a，b，c满足|a|＝3，|b|＝2，|c|＝1，且(a＋b)·c＝a·b＋1，则|a－b|的最大值为(　D　)A．3－1　　 B．3＋1C．2－1　　 D．2＋1【解析】　由(a＋b)·c＝a·b＋1得：a·b＋1＝(a＋b)·c≤|a＋b||c|＝|a＋b|，∴(a·b＋1)2≤|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝13＋2a·b，∴(a·b)2≤12，∴－2≤a·b≤2，∵|a－b|＝＝，∴当a·b＝－2时，|a－b|取得最大值，∴|a－b|max＝＝＝2＋1，故选D．6．(2020·四川省成都外国语学校月考)向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，且|a－2b|∈(2,2]，则a，b的夹角θ的取值范围是____.【解析】　因为|a－2b|∈(2,2]，所以(a－2b)2∈(4,12]，即a2＋4b2－4a·b＝4＋4－8cos θ∈(4,12]，所以cos θ∈，故θ∈.考向4　平面向量数量积的应用7．(2020·河北石家庄9月段考)设等边三角形ABC的边长为1，平面内一点M满足＝＋，则向量与的夹角的余弦值为(　D　)A．　　 B．　C．　　 D．【解析】　由题意知，等边三角形ABC的边长为1，平面内一点M满足＝＋，设BC的中点为O，连接OA，以点O为原点，分别以BC，OA所在直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．则A，B，C.所以＝，＝.所以＝＋＝＋＝.设向量与的夹角为θ，则cosθ＝＝＝.故向量与的夹角的余弦值为.故选D．8．(2020·四川省成都七中模拟)已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2，若＝λ＋，且⊥则实数λ的值为____.【解析】　∵⊥，∴·＝(λ＋)·(－)＝－λ2＋2＋(λ－1)·＝0，即－λ×9＋4＋(λ－1)×3×2×＝0，解得λ＝.1．解决以平面图形为载体的向量数量积问题的方法(1)选择平面图形中模与夹角确定的向量作为一组基底，用该基底表示构成数量积的两个向量，结合向量数量积运算律求解．(2)若已知图形中有明显的适合建立直角坐标系的条件，可建立直角坐标系将向量数量积运算转化为代数运算来解决．2．求两向量夹角应注意两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不仅要求其数量积小于零，还要求不能反向共线．考点三　复数1．复数的运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则：(1)z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；(2)z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；(3)z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；(4)＝＝＝＋i(c＋di≠0)．2．复数的模|z|即复数对应的向量的模||，|z1－z2|表示复数z1对应的点与复数z2对应的点之间的距离．考向1　复数的概念1．(2020·四川省成都七中模拟)已知a∈R，i为虚数单位，若＋i为实数，则a的值为(　A　)A．1　　 B．2　C．3　　 D．4【解析】　∵＋i＝＋i＝(1－a)i为实数，∴1－a＝0，即a＝1．故选A．2．(2020·西南名校联盟联考)若复数z满足＝i，则|z|＝(　D　)A．　　 B．　C．－　　 D．【解析】　方法一：由＝i，得＝|i|，|z|＝，方法二：由＝i，可得z＝＝1－2i，|z|＝＝，故选D．考向2　复数的四则运算3．(2020·江西省上饶市一模)计算＝(　D　)A．1－2i　　 B．1＋2iC．－1－2i　　 D．－1＋2i【解析】　由复数的运算法则可得：＝＝＝－1＋2i.故选D．4．(2020·江苏省扬州市调研)若(3＋i)z＝2－i(i为虚数单位)，则复数z＝__－i__.【解析】　∵(3＋i)z＝2－i，∴z＝＝＝＝＝－i.考向3　复数的几何意义5．(2020·云南省昆明市月考)在复平面内，复数z＝1＋i的共轭复数对应的向量为(　C　)【解析】　复数z＝1＋i的共轭复数为z＝1－i，对应的点为(1，－1)，复数z＝1＋i的共轭复数对应的向量为为图C，故选C．6．(2020·北京昌平区期末)在复平面内，复数i(i－1)对应的点位于(　C　)A．第一象限　　 B．第二象限C．第三象限　　 D．第四象限【解析】　∵i(i－1)＝i2－i＝－1－i，在复平面内对应的点的坐标为(－1，－1)，位于第三象限，故选C．掌握复数代数形式运算的方法(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类项，不含i的看作另一类项，分别合并同类项即可．(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把i的幂写成最简形式．复数的除法类似初中所学化简分数常用的“分母有理化”，其实质就是“分母实数化”．YI CUO QING LING MIAN SHI WU易错清零·免失误　1．混淆向量共线与向量垂直的坐标表示典例1　(2020·河南南阳中学月考)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)，若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝(　C　)A．2　　 B．1　C．　　 D．－【错解】　因为向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，所以a＋λb＝(1,2)＋(λ，0)＝(1＋λ，2)，因为(a＋λb)∥c，且c＝(3,4)，所以3(1＋λ)＋4×2＝0；解得λ＝－，故选D．【剖析】　以上错误把向量共线的坐标表示利用成向量垂直的坐标表示，导致结果错误．【正解】　因为向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，所以a＋λb＝(1,2)＋(λ，0)＝(1＋λ，2)，因为(a＋λb)∥c，且c＝(3,4)，所以4(1＋λ)＝3×2，解得λ＝，故选C．2．忽视两向量的夹角的范围典例2　(2020·福田区校级模拟)设平面向量a＝(－2,1)，b＝(λ，2)，若a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是(　B　)A．∪(2，＋∞)　　 B．(－∞，－4)∪(－4,1)C．(1，＋∞)　　 D．(－∞，1)【错解】　a与b的夹角为锐角，∴a·b>0，∴－2λ＋2>0，解得λ<1，故选D．【剖析】　上述解法的错误就是忽略了向量夹角的范围是[0，π]，而夹角为0时数量积也是大于0的，应该排除．【正解】　∵a与b的夹角为锐角，∴a·b>0且a，b不共线，∴，解得λ<1且λ≠－4，∴λ的取值范围是(－∞，－4)∪(－4,1)．故选B．3．错用复数运算法则典例3　(2020·湖南雅礼中学第一次月考)若复数z的共轭复数满足：(1－i)＝2i，则复数z等于(　D　)A．1＋i　　 B．－1＋iC．1－i　　 D．－1－i【解析】　方法一：因为(1－i)＝2i，所以＝＝＝＝－1＋i，因此，z＝－1－i，故选D．方法二：由已知可得＝，所以z＝()＝＝＝＝＝＝－1－i.故选D．【剖析】　(1)该题易出现的问题有两个：一是不能正确利用复数的除法法则求出，导致不能根据共轭复数的概念得到正确的选项；二是记错共轭复数的运算法则，导致求错结果．(2)共轭复数的求解，可以利用相应的运算法则直接求解，如＝＋，＝·，＝等，这样就不需要先求出复数，再求其共轭复数了．4．不能正确理解复数的几何意义典例4　(2020·襄阳四中9月月考)在复平面内，复数z＝的共轭复数对应的点位于(　A　)A．第一象限　　 B．第二象限C．第三象限　　 D．第四象限【解析】　z＝＝＝＝1－i，所以＝1＋i，故在复平面内对应的点为(1,1)，在第一象限，故选A．【剖析】　该题易出现的问题如下：一是忽视题中所求，误以为判断复数z在复平面内对应的点所在的象限导致出错；二是不能正确理解复数的几何意义，从而导致选错，复数z及其共轭复数在复平面内对应的两点关于实轴对称，故可直接利用z在复平面内对应的点判断．由已知可求得z＝1－i，在复平面内对应的点为(1，－1)，在第四象限，故其共轭复数对应的点在第一象限．