高考数学二轮复习第2部分专题篇素养提升文理专题一三角函数三角恒等变换与解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形文理学案含解析

第2讲　三角恒等变换与解三角形(文理)

JIE TI CE LUE MING FANG XIANG

解题策略·明方向　

⊙︱考情分析︱

1．三角恒等变换是高考的热点内容，主要考查利用各种三角函数公式进行求值与化简，其中二倍角公式、辅助角公式是考查的重点，切化弦、角的变换是常考的内容．

2．正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：

(1)边、角、面积的计算；

(2)有关边、角的范围问题；

(3)实际应用问题．

⊙︱真题分布︱

(理科)

(文科)

KAO DIAN FEN LEI XI ZHONG DIAN

考点分类·析重点　

考点一　三角恒等变换

三角恒等变换与求值

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.

(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.

(3)tan(α±β)＝.

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)sin 2α＝2sin αcos α.

(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.

(3)tan 2α＝.

3．辅助角公式

asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)(其中tan φ＝)

典例1　(1)(2020·全国Ⅱ卷模拟)cos2 40°＋2sin 35°sin 55°sin 10°＝(　A　)

A．　　 B．

C．＋　　 D．

(2)(2020·宜宾模拟)已知α∈，且3sin2α－5cos2α＋sin 2α＝0，则sin 2α＋cos 2α＝(　A　)

A．1　　 B．－

C．－或1　　 D．－1

(3)已知函数f(x)＝cos xcos＋sin2－.

①求f(x)的单调递增区间；

②若x∈，f(x)＝，求cos 2x的值．

【解析】　(1)原式＝cos240°＋2sin 35°cos 35°sin 10°

＝cos240°＋sin 70°sin 10°＝＋cos 80°＋sin 70°sin 10°

＝＋(cos 70°cos 10°－sin 70°sin 10°＋2sin 70°sin 10°)

＝＋(cos 70°cos 10°＋sin 70°sin 10°)＝＋cos 60°＝.故选A．

(2)由3sin2α－5cos2α＋sin 2α＝0，

得＝0

＝0，

即3tan2α＋2tan α－5＝0，

解得tan α＝1或tan α＝－.

∵α∈，∴tan α＝1，即α＝.

∴sin 2α＋cos 2α＝sin ＋cos ＝1．故选A．

(3)f(x)＝cos xcos＋sin2－

＝sin xcos x＋－

＝sin 2x－cos

＝sin 2x－

＝sin 2x－cos 2x＝sin.

①令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，

得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，

所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.

②由f(x)＝sin＝，

得sin＝，

∵x∈，∴－≤2x－≤，

∴cos＝.

∴cos 2x＝cos

＝cos×－sin×

＝×－×＝－.

三角恒等变换的“四大策略”

(1)常值代换：特别是“1”的代换，

1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等．

(2)项的拆分与角的配凑：

如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等．

(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次．

(4)弦、切互化：一般是切化弦．

1．(1)(2019·江苏)已知＝－，则sin的值是____.

(2)设α为锐角，若cos＝，则sin的值为____.

【解析】　(1)方法一：由＝

＝＝－.

解得tan α＝2或－.

sin＝(sin 2α＋cos 2α)

＝(2sin αcos α＋2cos2α－1)

＝(sin αcos α＋cos2α)－

＝·－

＝·－，

将tan α＝2和－分别代入得sin＝.

方法二：∵＝＝－，

∴sin αcos＝－cos αsin.①

又sin ＝sin

＝sincos α－cossin α＝，②

由①②，解得sin αcos＝－，

cos αsin＝.

∴sin＝sin

＝sin αcos＋cos αsin＝.

(2)因为α为锐角且cos＝>0，

所以α＋∈，所以sin＝.

所以sin＝sin

＝sin 2cos－cos 2sin

＝sincos－

＝××－

＝－＝.

考点二　正弦定理与余弦定理

1．正弦定理

＝＝＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．

变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.

sin A＝，sin B＝，sin C＝.

a︰b︰c＝sin A︰sin B︰sin C.

2．余弦定理

a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，

c2＝a2＋b2－2abcos C.

推论：cos A＝，cos B＝，

cos C＝.

变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B，a2＋b2－c2＝2abcos C.

3．面积公式

S△ABC＝bcsin A＝acsin B＝absin C.

典例2　(2020·百校联盟联考)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c满足acos B＋bcos A＝，且BC边上一点P使得PA＝PC.

(1)求角C的大小；

(2)若PB＝3，sin∠BAP＝，求△ABC的面积．

【解析】　(1)因为acos B＋bcos A＝，

在△ABC，由正弦定理＝＝，

所以得2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C.

所以2cos Csin(A＋B)＝sin C.

即2cos C＝1，所以cos C＝，

因为C∈(0，π)，所以C＝.

(2)由(1)知C＝，而PA＝PC，

△APC为等边三角形．

由于∠APB是△APC的外角，所以∠APB＝.

在△APB中，由正弦定理得＝，

即＝，所以AB＝.

所以由余弦定理得，AB2＝PA2＋PB2－2PA·PBcos ，

即PA2＋3PA－10＝0，

解得：PA＝2，

故BC＝2＋3＝5，AC＝2，

所以S△ABC＝CA·CB·sin C＝×2×5×＝.

解三角形问题一般要利用正、余弦定理和三角形内角和定理．正弦定理可以将角转化成边，也可以将边转化成角，当涉及边的平方关系时，一般利用余弦定理，要根据题目特点和正、余弦定理的结构形式，灵活选用．

2．(2020·江苏省扬州市调研)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝3，sin2A－sin2B＝3sin2C，cos A＝－，则△ABC的面积是____.

【解析】　由正弦定理可将sin2A－sin2B＝3sin2C转化为a2－b2＝3c2，

由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccos A，

将b＝3，cos A＝－，代入上面两个式子，并化简可得：

，解得：c＝1，

∵cos A＝－，∴sin A＝，

∴S△ABC＝bcsin A＝×3×1×＝.

考点三　正、余弦定理的实际应用

1．实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．

2．实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．

典例3　如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝__100__m.

【解析】　由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，

∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.

又AB＝600 m，故由正弦定理得＝，

解得BC＝300 m.

在Rt△BCD中，

CD＝BC·tan 30°＝300×＝100(m)．

解三角形应用题的常考类型

(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．

(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．

3．(2020·湖北省高三冲刺)《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就．其中《方田》一章中记载了计算弧田(弧田就是由圆弧和其所对弦所围成的弓形)的面积所用的经验公式：弧田面积＝(弦×矢＋矢×矢)，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角为，弦长为40 m的弧田．其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为(其中π≈3，≈1.73)(　B　)

A．15 m2　　 B．16 m2　

C．17 m2　　 D．18 m2

【解析】　因为圆心角为，弦长为40 m，

所以圆心到弦的距离为20 m，半径为40 m，

因此根据经验公式计算出弧田的面积为

(40×20＋20×20)＝(400＋200) m2，

实际面积等于扇形面积减去三角形面积为

××402－×20×40＝ m2，

因此两者之差为－400－(400＋200)≈16 m2．故选B．

考点四　与解三角形有关的交汇创新

1．以平面几何为载体的解三角形问题，这种题目主要是：一是考查多个三角形的问题；二是考查四边形问题；三是通过三角形中的不等关系确定角或边的范围问题．

2．以向量的运算为载体考查三角函数、三角变换、解三角形及重要不等式．

典例4　(2020·武侯区校级模拟)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知c＝3，且sin·cos C＝.

(1)求角C的大小；

(2)若向量m＝(1，sin A)与n＝(2，sin B)共线，求a、b的值．

【解析】　(1)sin·cos C＝

·cos C＝

sin Ccos C－cos2C

＝sin 2C－＝sin－＝，

∴sin＝1；

又0＜C＜π，

∴－＜2C－＜，∴2C－＝，

解得C＝.

(2)向量m＝(1，sin A)与n＝(2，sin B)共线，

∴2sin A－sin B＝0，

∴sin B＝2sin A，

即b＝2a　①；

又c＝3，C＝，

∴c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab＝9　②；

由①②联立解得a＝，b＝2

以向量的运算为载体考查三角函数、三角变换、解三角形及重要不等式．这类综合问题的解法思路是：通过向量的运算把向量问题转化为三角函数问题或解三角形问题，再利用三角变换或正(余)弦定理综合解决．

4．(2020·青岛模拟)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝1，AD＝，BC＝.

(1)若CD＝1＋，求四边形ABCD的面积；

(2)若sin ∠BCD＝，∠ADC∈，求sin ∠ADC.

【解析】　(1)连接BD，在Rt△ABD中，由勾股定理可得，BD2＝AB2＋AD2＝4，故BD＝2，

在△BCD中，由余弦定理可得，

cos C＝＝＝，

因为C为三角形的内角，故C＝，

所以S△ABD＝AB·AD＝×1×＝，S△BCD＝BC·CDsin C＝××(1＋)×＝，故求四边形ABCD的面积S＝＋.

(2)在△BCD中，由正弦定理可得＝，

所以sin ∠BDC＝＝＝.

因为∠ADC∈，所以∠BDC∈，cos ∠BDC＝，

Rt△ABD中，tan ∠ADB＝＝，故∠ADB＝，

所以sin ∠ADC＝sin＝×＋×＝.

YI CUO QING LING MIAN SHI WU

易错清零·免失误　

1．处理三角恒等变换时角的变换方向不清

典例1　(2020·湖南长郡中学10月模拟)已知sin(α＋2β)＝，cos β＝，α，β为锐角，则sin(α＋β)的值为(　D　)

A．　　 B．

C．　　 D．

【错解】　因为cos β＝，β为锐角，

所以sin β＝＝，

cos 2β＝2cos2 β－1＝－<0．

又α、β为锐角，

∴0<α＋β<π，

又sin(α＋2β)＝，

所以cos(α＋2β)＝＝.

所以sin(α＋β)＝sin[(α＋2β－β)]

＝sin(α＋2β)cos β－cos(α＋2β)sin β

＝×－×＝，故选B．

【剖析】　上述解法错误是利用同角三角函数关系时，求错α＋2β的范围，而导致求cos(α＋2β)时求错值，故导致后面计算sin(α＋β)时尽管利用对了公式，但是结果也错了．

【正解】　因为cos β＝，β为锐角，所以sin β＝＝，cos 2β＝2cos2 β－1＝－<0，

又β为锐角，所以<2β<π，

因为α为锐角，所以α＋2β∈，

又sin(α＋2β)＝，

所以cos(α＋2β)＝＝－，

所以sin(α＋β)＝sin[(α＋2β)－β]

＝sin(α＋2β)cos β－cos(α＋2β)sin β

＝×－×

＝，故选D．

2．解三角形时忽视对三角形的解的个数的讨论而出错

典例2　(2020·天津摸底调研)在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若b＝3，c＝4，C＝2B，且a≠b.

(1)求cos B及a的值；

(2)求cos(2B＋)的值．

【解析】　(1)在△ABC中，由正弦定理＝＝，得＝.

因为C＝2B，所以＝，即＝，

又sin B≠0，

所cos B＝.

在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，

则a2－a＋7＝0，解得a＝3或a＝.

又a≠b，所以a＝.

(2)由(1)知，cos B＝，所以sin B＝，所以cos 2B＝2cos2B－1＝2×－1＝－，

所以sin 2B＝2sin BcosB＝2××＝，

所以cos＝cos 2Bcos －sin 2Bsin

＝×－×

＝－.

【剖析】　(1)求解此类题时避免出错的关键：一是会选定理，即根据已知的边角关系，恰当地选用正弦定理或余弦定理解三角形，一般地，知两边和其中一边所对的角(既要注意角和边的对应，还要注意讨论钝角与锐角)或一边和两角，常利用正弦定理解三角形，知三边或两边与其夹角，常利用余弦定理解三角形；二是会用公式，即会利用二倍角公式、两角和与差的正弦和余弦公式求三角函数值．

(2)在△ABC中，已知a，b和A，三角形的解的个数的情况如下，

①A为锐角时，当0<a<bsin A时，无解：

当a＝bsin A时，有一解；

当bsin A<a<b时，有两解；

当a≥b时，有一解．

②A为直角或钝角时，当a≤b时，无解：

当a>b时，有一解．

3．不能正确进行边角互化

典例3　(2020·南宁10月模拟)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝a.

(1)求；

(2)若c2＝b2＋a2，求B.

【解析】　(1)由正弦定理，得asin B＝bsin A，

因为asin AsinB＋bcos2A＝a，所以bsin2A＋bcos2A＝a，

所以＝.

(2)由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accos B，

因为c2＝b2＋a2，

所以cos B＝.

由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋)a2．

所以cos2B＝，易知cos B>0，

所以cos B＝，

又0<B<π，所以B＝.

【剖析】　求解此类题时避开易错点的关键是会转化，即已知三角等式中既含有角又含有边的关系时，①若等式两边为关于边的齐次式，可以将边化为对应角的正弦值；②若具有余弦定理的形式，可以运用余弦定理将边化为角；③若等式两边均含有角的正弦值，常将角的正弦值化为边；④若含有角的余弦值，可以运用余弦定理将角化为边；⑤若一边与它的对角同时出现，经常用正弦定理，注意角和边要对应．