高考数学二轮复习第2部分专题篇素养提升文理专题四概率与统计文科第1讲概率学案含解析

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专题四　概率与统计(文科)第1讲　概率JIE TI CE LUE MING FANG XIANG解题策略·明方向　⊙︱考情分析︱1．以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型的基本应用，同时渗透互斥事件、对立事件．2．概率常与统计知识结合在一起命题，主要以解答题形式呈现，中档难度．⊙︱真题分布︱(文科)年份卷别题号考查角度分值2020Ⅰ卷4、17古典概型，概率综合题17Ⅱ卷4概率应用5Ⅲ卷18(1)古典概型42019Ⅰ卷17用频率估计概率12Ⅱ卷5古典概型5Ⅲ卷3古典概型52018Ⅰ卷19(1)用频率估计概率4Ⅱ卷5古典概型5Ⅲ卷5互斥事件的概率5KAO DIAN FEN LEI XI ZHONG DIAN考点分类·析重点　考点一　古典概型古典概型的概率(1)公式P(A)＝＝.(2)古典概型的两个特点：所有可能出现的基本事件只有有限个；每个基本事件出现的可能性相等．典例1　(1)(2020·安庆模拟)古代《冰糖葫芦》算法题：一个小摊上摆满了五彩缤纷的“冰糖葫芦”，“冰糖葫芦”制作有两种，一种是5个山楂；另一种是2个山楂、3个小桔子．若小摊上山楂共640个，小桔子共360个，现从小摊上随机选取一个“冰糖葫芦”，则这个“冰糖葫芦”是5个山楂的概率为(　B　)A．0.3　　 B．0.4　C．0.5　　 D．0.6(2)(2019·长春质监)小明和小勇玩一个四面分别标有数字1,2,3,4的正四面体形玩具，每人抛掷一次，则两次朝下面的数字之和不小于5的概率为(　C　)A．　　 B．C．　　 D．【解析】　(1)设5个山楂的“冰糖葫芦”有x个，2个山楂、3个小桔子的“冰糖葫芦”有y个，则，解得x＝80，y＝120，基本事件总数n＝80＋120＝200，这个“冰糖葫芦”是5个山楂包含的基本事件个数m＝80，则这个“冰糖葫芦”是5个山楂的概率为P＝＝＝0.4．故选B．(2)用(x，y)表示两次朝下面的数字的结果：由题意可得(x，y)可能出现的结果有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个基本事件；满足“两次朝下面的数字之和不小于5”的基本事件有：(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共10个基本事件，所以两次朝下面的数字之和不小于5的概率为＝.故选C．求解古典概型应注意的地方(1)求古典概型的概率的关键是正确列举出基本事件的总数和待求事件包含的基本事件数．(2)两点注意：①对于较复杂的题目，列出事件数时要正确分类，分类时应不重不漏．②当直接求解有困难时，可考虑求其对立事件的概率．1．(2020·四川省成都市期末)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a，b，则关于x，y方程组，有实数解的概率为(　B　)A．　　 B．　C．　　 D．【解析】　因为方程组有解，故直线ax＋by－8＝0与圆x2＋y2＝4有公共点，所以≤2即a2＋b2≥16，当a＝1时，b＝4,5,6，有3种情形；当a＝2时，b＝4,5,6，有3种情形；当a＝3时，b＝3,4,5,6，有4种情形；当a＝4,5,6时，b＝1,2,3,4,5,6，有18种情形；故方程有解有28种情形，而(a，b)共有36种不同的情形，故所求的概率为＝.故选B．2．(2020·江苏省天一中学调研)从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只一个被选取的概率为____.【解析】　从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，共有(甲乙)，(甲丙)，(甲丁)，(乙丙)，(乙丁)，(丙丁)六种，其中甲乙两人中有且只一个被选取，则(甲丙)，(甲丁)，(乙丙)，(乙丁)，共4种，故甲乙两人中有且只一个被选取的概率为＝.考点二　几何概型几何概型的概率(1)几何概型应满足两个条件：①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；②每个基本事件出现的可能性相等．(2)P(A)＝.典例2　(1)(2020·益阳模拟)轴截面是正方形的圆柱叫做等边圆柱，已知某等边圆柱O′O中，以底面圆O为底面圆，OO′的中点O″为顶点作圆锥O″O，现在等边圆柱O′O中随机取一点，则该点取自圆锥O″O内的概率是(　C　)A．　　 B．　C．　　 D．(2)(2019·中卫一模)在区间[－1,1]上随机取一个数x，则cos 的值介于0到之间的概率为____.【解析】　(1)设等边圆柱O′O的高为h，由几何概型的概率计算公式知，该点取自圆锥O″O内的概率是P＝＝＝.故选C．(2)由于函数y＝cos 是一个偶函数，可将问题转化为在区间[0,1]上随机取一个数x，则cos 的值介于0到0.5之间的概率，在区间[0,1]上随机取一个数x，即x∈[0,1]时，要使cos πx的值介于0到0.5之间，需使≤x≤，∴≤x≤1，区间长度为，由几何概型知cos 的值介于0到0.5之间的概率为.求解几何概型应把握的两点(1)几何概型适用条件：当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积时，应考虑使用几何概型求解．(2)求解关键：寻找构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．3．(1)(2019·蚌埠一模)如图是一个边长为3的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷1 089个点，其中落入白色部分的有484个点，据此可估计黑色部分的面积为(　B　)A．4　　 B．5　C．8　　 D．9(2)(2020·南通模拟)已知区域A＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2}和B＝{(x，y)|x＞0，y＞0，x＋y≤2}，若在区域A内随机取一点，则该点恰好落在区域B内的概率为____.【解析】　(1)由题意在正方形区域内随机投掷1 089个点，其中落入白色部分的有484个点，则其中落入黑色部分的有605个点，由随机模拟试验可得：＝，又S正＝9，可得S黑＝×9≈5．故选B．(2)因为A＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2}表示的区域是以4为边长的正方形，面积为16，由B＝{(x，y)|x＞0，y＞0，x＋y≤2}可知，其区域为如图所示的阴影部分，面积S＝×2×2＝2，故在区域A内随机取一点，则该点恰好落在区域B内的概率P＝＝.考点三　概率与统计的综合问题作为大数据分析的一项必备技能，“概率与统计”已成为当今的命题热点，且难度渐呈增大的趋势．本题因阅读量大、理解困难；图表多、观摩分析能力要求较高；运算计算量大，耗时伤神而成为考生考出优异成绩的“拦路虎”．找到了“限制”才能找到“自由”，突破概率与统计大题，先从制约解题的“四大关口”着手．(1)文字关——抓关键语句，破干扰信息(2)图表关——会转换信息，建解题模型(3)运算关——数据巧处理，公式活变形(4)计算关——重计算能力，防不慎失分典例3　(2020·衡阳模拟)为了贯彻落实中央、省、市关于新型冠状病毒肺炎疫情防控工作要求，积极应对新型冠状病毒疫情，切实做好2020年春季开学工作，保障校园安全稳定，普及防控知识，确保师生生命安全和身体健康．某校开学前，组织高三年级800名学生参加了“疫情防控”网络知识竞赛(满分150分)．已知这800名学生的成绩均不低于90分，将这800名学生的成绩分组如下：第一组[90,100)，第二组[100,110)，第三组[110,120)，第四组[120,130)，第五组[130,140)，第六组[140,150]，得到的频率分布直方图如图所示．(1)求a的值并估计这800名学生的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；(2)该校“群防群控”督查组为更好地督促高三学生的“个人防控”，准备从这800名学生中选取2名学生参与督查工作，其选取办法是：先在第二组、第五组、第六组中用分层抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取2名学生．记这2名学生的竞赛成绩分别为x、y.求事件|x－y|≤20的概率．【解析】　(1)由频率分布直方图可知(0.010×2＋0.025＋a＋0.015＋0.005)×10＝1，解得a＝0.035．这800名学生数学成绩的平均数为：95×0.010×10＋105×0.010×10＋115×0.025×10＋125×0.035×10＋135×0.015×10＋145×0.005×10＝120．(2)由题意可知：第二组抽取2名学生，其成绩记为A，B，则100≤A，B＜110，第五组抽取3名学生，其成绩记为C，D，E，则130≤C，D，E＜140，第六组抽取1名学生，其成绩记为F，则140≤F≤150，现从这6名学生中抽取2名学生的成绩的基本事件为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)共15个．其中事件|x－y|≤20包含的基本事件为：(A，B)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)共7个，记“这2名学生的竞赛成绩分别为x、y，其中|x－y|≤20”为事件M，则事件|x－y|≤20的概率为P(M)＝.解答概率与统计的综合问题的解题策略(1)概率与统计的综合题一般是先给出样本数据或样本数据的分布等，在解题中首先要处理好数据，如数据的个数、数据的分布规律等，即把数据分析清楚，然后再根据题目要求进行相关计算．(2)在求解该类问题时要注意两点：①明确频率与概率的关系，频率可近似替代概率．②此类问题中的概率模型多是古典概型，在求解时，要明确基本事件的构成4．(2020·襄城区校级模拟)近年来，在新高考改革中，打破文理分科的“3＋3”模式初露端倪，其中语、数、外三门课为必考科目，剩下三门为选考科目选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分，假定A省规定：选考科目按考生成绩从高到低排列，按照占总体15%、35%、35%、15%分别赋分70分、60分、50分、40分，为了让学生们体验“赋分制”计算成绩的方法，A省某高中高一(1)班(共40人)举行了一次摸底考试(选考科目全考，单科全班排名)，知这次摸底考试中的物理成绩(满分100分)频率分布直方图，化学成绩(满分100分)茎叶图如图所示，小明同学在这次考试中物理82分，化学70多分．(1)采用赋分制后，求小明物理成绩的最后得分；(2)若小明的化学成绩最后得分为60分，求小明的原始成绩的可能值；(3)若小明必选物理，其他两科从化学、生物、历史、地理、政治五科中任选，求小明此次考试选考科目包括化学的概率．【解析】　(1)∵×[1－10×(0.005＋0.015＋0.025＋0.035)]＝0.1，10×0.005＝0.05，∴此次考试物理落在(80,90]，(90,100]内的频率依次为0.1,0.05，概率之和为0.15，小明的物理成绩为82分，大于80分，∴小明的物理成绩的最后得分为70分．(2)∵40名学生中，赋分70分的有40×15%＝6人，这六人成绩分别为89,91,92,93,93,96，赋分60分的有40×35%＝14人，其中包含80多分的共有10人，70多分的有4人，分数分别为76,77,78,79，∵小明的化学成绩最后得分为60分，且小明化学70多分，∴小明的原始成绩的可能值为76,77,78,79．(3)记物理、化学、生物、历史、地理、政治依次为A，a，b，c，d，e，小明的所有可能选法有10种，分别为：(A，a，b)，(A，a，c)，(A，a，d)，(A，a，e)，(A，b，c)，(A，b，d)，(A，b，e)，(A，c，d)，(A，c，e)，(A，d，e)，其中包含化学的有：(A，a，b)，(A，a，c)，(A，a，d)，(A，a，e)，共4种，∴若小明选物理，其他两科在剩下的五科中任选，所选科目包括化学的概率p＝＝.YI CUO QING LING MIAN SHI WU易错清零·免失误　1．概念认识不清致误典例1　先后抛掷三枚均匀硬币，求出现“两个正面、一个反面”的概率．【错解】　抛掷3枚均匀硬币只出现“三个正面”、“三个反面”、“两个正面一个反面”、“一个正面两个反面”共四种结果．记出现“两个正面，一个反面”为事件A，则P(A)＝＝.【剖析】　上述错解的原因在于没有正确理解等可能性事件的概念，实际上，由于概念不清，致使所列出的基本事件不完备，由于前面列举的四个事件发生的概率是不相等的，而直接用等可能事件概率公式P(A)＝求解，必然导致错误．【正解】　我们可以将基本事件一一列举出来，不妨将不同硬币出现的结果用编号作出区别，可出现(正1，正2，正3)，(正1，正2，反3)，(正1，反2，正3)，(反1，正2，正3)，(正1，反2，反3)，(反1，正2，反3)，(反1，反2，正3)，(反1，反2，反3)，这八种等可能的结果，而事件A包含(正1，正2，反3)，(正1，反2，正3)，(反1，正2，正3)这三种结果．故而由等可能性事件的概率公式得P(A)＝.2．几何概型与古典概型混淆典例2　心理学家分析发现视觉和空间能力与训练时间有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，进行了对比试验，经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5～7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6～8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．【错解】　设事件A为“乙比甲先做完此道题”，由题意知，甲完成该题所用的时间可以是5,6,7分钟，共3种情况，乙可以是6,7,8分钟，共3种情况，所以，一共有3×3＝9个基本时间．其中甲用7分钟，乙用6分钟时，事件A发生．则P(A)＝.【剖析】　(1)误认为时间是离散度的，将其看成一个古典概型．(2)时间是一个连续性随机变量，在求解时应建立几何概率模型．【正解】　(1)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x、y分钟，则基本事件满足的区域为(如图所示)，设事件A为“乙比甲先做完此道题”则满足的区域为x>y.∴由几何概型P(A)＝＝，即乙比甲先解答完的概率为.