高考数学二轮复习第2部分专题篇素养提升文理专题四概率与统计理科第1讲概率随机变量及其分布列学案含解析

专题四　概率与统计(理科)

第1讲　概率、随机变量及其分布列

JIE TI CE LUE MING FANG XIANG

解题策略·明方向　

⊙︱考情分析︱

1．古典概型、几何概型的考查多以选择或填空的形式命题，中低档难度．

2．概率模型多考查独立重复试验、相互独立事件、互斥事件及对立事件等；对离散型随机变量的分布列及期望的考查是重点中的“热点”，常考查独立事件的概率、正态分布，超几何分布和二项分布的期望等．

⊙︱真题分布︱

(理科)

KAO DIAN FEN LEI XI ZHONG DIAN

考点分类·析重点　

考点一　古典概型与几何概型

1．古典概型的概率公式

P(A)＝＝

2．几何概型的适用条件及求解关键

当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解．

典例1　(1)(2020·江苏省南京市高三联考)现有三张卡片，分别写有“1”、“2”、“3”这三个数字．将这三张卡片随机排序组成一个三位数，则该三位数是偶数的概率是____.

(2)(2020·南通模拟)已知区域A＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2}和B＝{(x，y)|x＞0，y＞0，x＋y≤2}，若在区域A内随机取一点，则该点恰好落在区域B内的概率为____.

【解析】　(1)将这三张卡片随机排序组成一个三位数如下：123,132,213,231,312,321，共6种，其中偶数有2种，所以该三位数是偶数的概率是＝.

(2)因为A＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2}表示的区域是以4为边长的正方形，面积为16，

由B＝{(x，y)|x＞0，y＞0，x＋y≤2}可知，其区域为如图所示的阴影部分，面积S＝×2×2＝2，

故在区域A内随机取一点，则该点恰好落在区域B内的概率P＝＝.

1．古典概型求解的关键点

(1)正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常常用到排列、组合的有关知识．

(2)对于较复杂的题目计数时要正确分类，分类时应不重不漏．

2．解决几何概型问题的关键

寻找构成试验全部结果的区域和事件发生的区域是关键，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．

1．(1)(2019·莆田质检)中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，蕴涵了极致的数学美和丰富的传统文化信息．现有一幅剪纸的设计图，其中的4个小圆均过正方形的中心，且内切于正方形的两邻边．若在正方形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率为(　A　)

A．　　 B．

C．　　 D．

(2)(2020·四川省绵阳市二诊)甲、乙、丙三位客人在参加中国(绵阳)科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为(　B　)

A．　　 B．　

C．　　 D．

【解析】　(1)由图形对称可知，原题中阴影部分面积与下图中阴影部分面积一致，则阴影部分面积为一个小圆的面积

设OB＝r，则OC＝AB＝r，OA＝r，

∴AC＝(＋1)r⇒AD＝(2＋2)r，

∴正方形面积S＝×(2＋2)r×(2＋2)r

＝(6＋4)r2，

阴影部分面积S′＝π·OB2＝πr2，

∴所求概率P＝＝＝.

故选A．

(2)两景点用1,2表示，三人选择景点的各种情形为：

甲1乙1丙1，甲1乙1丙2，甲1乙2丙1，甲2乙1丙1，甲2乙2丙1，甲2乙1丙2，甲1乙2丙2，甲2乙2丙2共8种，其中三人去同一景点的有甲1乙1丙1和甲2乙2丙2两种，所以概率为P＝＝.故选B．

考点二　互斥事件、相互独立事件和独立重复试验

1．条件概率

在事件A发生的条件下事件B发生的概率：

P(B|A)＝.

2．相互独立事件同时发生的概率

P(AB)＝P(A)P(B)．

3．独立重复试验、二项分布

如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为

Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.

典例2　(1)(2020·辽宁省沈阳市实验中学月考)每场足球比赛的时间长度为90分钟，若比赛过程中体力消耗过大，运动员腿部会发生抽筋现象，无法继续投入到比赛之中了．某足球运动员在比赛前70分钟抽筋的概率为20%，比赛结束前发生抽筋的概率为50%.若某场比赛中该运动员已经顺利完成了前70分钟的比赛，那么他能顺利完成90分钟比赛的概率为(　C　)

A．　　 B．　

C．　　 D．

(2)(2020·开封三模)某地有A，B，C，D四人先后感染了传染性肺炎，其中只有A到过疫区，B确定是受A感染的．对于C因为难以判定是受A还是受B感染的，于是假定他受A和B感染的概率都是.同样也假定D受A，B和C感染的概率都是.在这种假定下，B，C，D中恰有两人直接受A感染的概率是(　C　)

A．　　 B．　

C．　　 D．

(3)(2020·聊城模拟)在2019年女排世界杯比赛中，中国队以十一连胜的骄人成绩夺得了冠军，成功卫冕，收到习近平总书记的贺电，团结协作、顽强拼搏是中国女排精神，为学习女排精神，A、B两校排球队进行排球友谊赛，采取五局三胜制，每局都要分出胜负，根据以往经验，单局比赛中A校排球队胜B校排球队的概率为，设各局比赛相互间没有影响，则在此次比赛中，四局结束比赛的概率为(　D　)

A．　　 B．　

C．　　 D．

【解析】　(1)设事件A＝某足球运动员在比赛前70分钟不抽筋，事件B＝某足球运动员在比赛结束前20分钟不抽筋，则P(A)＝0.8，P(AB)＝0.5．

所以他能顺利完成90分钟比赛的概率为P(B|A)＝＝＝.故选C．

(2)某地有A，B，C，D四人先后感染了传染性肺炎，其中只有A到过疫区，B确定是受A感染的．

对于C因为难以判定是受A还是受B感染的，于是假定他受A和B感染的概率都是.

同样也假定D受A，B和C感染的概率都是.

在这种假定下，B，C，D中恰有两人直接受A感染包含的情况有3种：

①B，C两人直接由A感染，D由B感染；

②B，D两人直接由A感染，C由B感染；

③B，C两人直接由A感染，D由C感染．

∴在这种假定下，B，C，D中恰有两人直接受A感染的概率是：

P＝×＋×＋×＝.

故选C．

(3)为学习女排精神，A、B两校排球队进行排球友谊赛，采取五局三胜制，每局都要分出胜负，

根据以往经验，单局比赛中A校排球队胜B校排球队的概率为，设各局比赛相互间没有影响，

在此次比赛中，四局结束比赛包含两种情况：

①前3局A两胜一负，第四局A胜；②前3局A一胜两负，第四局A负．

则在此次比赛中，四局结束比赛的概率为：

P＝C2＋C2＝.

故选D．

求相互独立事件的概率的两种方法

(1)直接法：正确分析复杂事件的构成，将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的积事件或独立重复试验问题，然后用相应概率公式求解．

(2)间接法：当复杂事件正面情况较多，反面情况较少时，可利用其对立事件进行求解．“至少”“至多”等问题往往也用这种方法求解．

条件概率的求法

(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝，这是通用的求条件概率的方法．

(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝.

2．(1)(2020·沈阳三模)2020年初，新型冠状肺炎在欧洲爆发后，我国第一时间内向相关国家捐助医疗物资，并派出由医疗专家组成的医疗小组奔赴相关国家．现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有4个需要援助的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家，设事件A＝“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B＝“小组甲独自去一个国家”，则P(A|B)＝(　A　)

A．　　 B．　

C．　　 D．

(2)(2020·长春四模)田径比赛跳高项目中，在横杆高度设定后，运动员有三次试跳机会，只要有一次试跳成功即完成本轮比赛．在某学校运动会跳高决赛中，某跳高运动员成功越过现有高度即可成为本次比赛的冠军，结合平时训练数据，每次试跳他能成功越过这个高度的概率为0.8(每次试跳之间互不影响)，则本次比赛他获得冠军的概率是(　D　)

A．0.832　　 B．0.920　

C．0.960　　 D．0.992

【解析】　(1)事件A＝“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B＝“小组甲独自去一个国家”，

则P(AB)＝＝，P(B)＝＝，

P(A|B)＝＝，

故选A．

(2)每次试跳他能成功越过这个高度的概率为0.8，

则本次比赛他获得冠军的概率P＝0.8＋0.2×0.8＋0.22×0.8＝0.8＋0.16＋0.032＝0.992．

故选D．

考点三　随机变量的分布列、均值与方差

1．均值与方差的性质

(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b(a，b为实数)．

(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为实数)．

2．两点分布与二项分布的均值、方差

(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．

(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．

典例3　(1)(2020·浙江模拟)已知a，b，c是不相等的实数，且a＋b＝8，随机变量X的分布列为：

则下列说法正确的是(　C　)

A．E(X)＝1，D(X)＞1　　 B．E(X)＝1,0＜D(X)＜1

C．E(X)＝3，D(X)＞1　　 D．E(X)＝3,0＜D(X)＜1

(2)(2020·江苏模拟)五个自然数1、2、3、4、5按照一定的顺序排成一列．

①求2和4不相邻的概率；

②定义：若两个数的和为6且相邻，称这两个数为一组“友好数”．随机变量X表示上述五个自然数组成的一个排列中“友好数”的组数，求X的概率分布和数学期望E(X)．

【解析】　(1)由X的分布列可知，E(X)＝a·＋b·＋c·＝3，

E(X2)＝a2·＋b2·＋c2·＝a＋b＋c＝8＋c，

∴D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝8＋c－9＝c－1，

∵＋＋＝1，

∴＝1－＝1－＝1－≤1－＝1－＝，当且仅当a＝b时取等号，

∵a≠b，∴c＞2，

∴D(X)＝c－1＞2－1＝1，

故选C．

(2)①记“2和4不相邻”为事件A，则P(A)＝＝，

所以2和4不相邻的概率为.

②X的所有可能取值为0,1,2，

P(X＝2)＝＝，P(X＝1)＝＝，

P(X＝0)＝＝(先确定3的位置)，或(P(X＝0)＝1－P(X＝1)－P(X＝2)＝)．

所以X的分布列为

数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝.

随机变量分布列问题的两个关键点

(1)求离散型随机变量分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类概率公式求概率．

(2)求随机变量均值与方差的关键是正确求出随机变量的分布列，若随机变量服从二项分布，则可直接使用公式法求解．

3．(2020·北京房山区期末)某贫困县在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展养茶业．该县农科所为了对比A，B两种不同品种茶叶的产量，在试验田上分别种植了A，B两种茶叶各20亩，所得亩产数据(单位：千克)如下：

A：41.3,47.3,48.1,49.2,51.2,51.3,52.7,53.3,54.2，55.3，56.4,57.6,58.9,59.3,59.6,59.7,60.6,60.7,61.1,62.2；

B：46.3,48.2,48.3,48.9,49.2,50.1,50.2,50.3,50.7,51.5,52.3,52.5,52.6,52.7,53.4,54.9,55.6,56.7,56.9,58.7．

(1)从A，B两种茶叶亩产数据中各任取1个，求这两个数据都不低于55的概率；

(2)从B品种茶叶的亩产数据中任取2个，记这两个数据中不低于55的个数为X，求X的分布列及数学期望；

(3)根据以上数据，你认为选择该县应种植茶叶A还是茶叶B？说明理由．

【解析】　(1)从A种茶叶亩产数据中任取一个，不低于55的有11个，从B种茶叶亩产数据中任取一个，不低于55的有4个，

设“所取两个数据都不低于55”为事件A，则P(A)＝×＝.

(2)X的所有可能取值为0,1,2

P(X＝0)＝＝，

P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，

∴X的分布列为

∴期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝.

(3)如果选择A可从A的亩产数据的中位数或平均数比B高等方面叙述理由．如果选择B，可从B的亩产数据比A的方差小，产量比较稳定等方面叙述理由．

考点四　正态分布

1．一般地，如果对于任何实数a<b，随机变量X满足

P(a<X≤B)＝φμ，σ(x)dx，

则称X的分布为正态分布(normal distribution)．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)

2．正态曲线的特点

(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；

(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；

(3)曲线在x＝μ处达到峰值；

(4)曲线与x轴之间的面积为1；

(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；

(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．

3．正态分布的三个常用数据

(1)P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 6；

(2)P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 4；

(3)P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 4．

典例4　从某企业生产的某种产品中随机抽取100件，测量其尺寸(单位：cm)，得到如下频数分布表：

(1)求这100件产品尺寸的平均数x和方差s2；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)

(2)若该产品的尺寸服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2，公司规定，尺寸在(72.8,97.2]内的产品为正品，其余的产品均为次品．企业每生产一件该种产品，若是正品，则获利100元，若是次品，则亏损40元．记X(单位：元)为该企业生产1 000件该种产品的利润，利用正态分布，求X的数学期望．

附：37.5≈6.1，若随机变量Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ<Z≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ <Z≤μ＋3σ)≈0.997 3．

【解析】　(1)样本平均数x＝70×0.02＋75×0.09＋80×0.22＋85×0.33＋90×0.24＋95×0.08＋100×0.02＝85．

样本方差s2＝225×0.02＋100×0.09＋25×0.22＋0×0.33＋25×0.24＋100×0.08＋225×0.02＝37.5．

(2)因为该产品的尺寸服从正态分布N(μ，σ2)，μ＝x＝85，σ＝≈6.1，

所以μ－2σ＝85－2×6.1＝72.8，μ＋2σ＝85＋2×6.1＝97.2．

由正态分布可知，每生产一件该种产品，尺寸在(72.8,97.2]内的概率P≈0.954 5，即每生产一件该种产品，该产品是正品的概率是0.954 5．

设该企业每生产一件该种产品的利润为Y，则Y的可能取值为100，－40，

则P(Y＝100)＝0.954 5，P(Y＝－40)＝1－0.954 5＝0.045 5，

则该企业每生产一件该种产品的利润的期望为E(Y)＝100×0.954 5－40×0.045 5＝93.63．

该企业生产1 000件该种产品的利润X＝1 000Y，则X的数学期望E(X)＝1 000E(Y)＝93 630．

正态分布下2类常见的概率计算

(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，曲线与x轴之间的面积为1．

(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个．

4．(2020·武汉模拟)已知随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ<2)＝P(ξ>6)＝0.15，则P(2≤ξ<4)等于(　B　)

A．0.3　　 B．0.35　

C．0.5　　 D．0.7

【解析】　∵P(ξ<2)＝P(ξ>6)＝0.15，∴μ＝＝4．又P(2≤ξ≤6)＝1－P(ξ<2)－P(ξ>6)＝0.7，∴P(2≤ξ<4)＝＝0.35，故选B．

5．某校在一次月考中有900人参加考试，数学考试的成绩服从正态分布X～N(90，a2)(a>0，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次月考中数学考试成绩不低于110分的学生约有__180__人．

【解析】　因为数学成绩服从正态分布X～N(90，a2)，

所以其正态分布曲线关于直线x＝90对称，

又因为成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，由对称性知成绩在110分以上的人数约为总人数的×＝，所以此次数学考试成绩不低于110分的学生约有×900＝180(人)．

YI CUO QING LING MIAN SHI WU

易错清零·免失误　

1．概念理解不清致错

典例1　某人抛掷一枚均匀骰子，构造数列{an}，使an＝，记Sn＝a1＋a2＋…＋an求Si≥0(i＝1,2,3,4)且S8＝2的概率．

【错解】　记事件A：S8＝2，即前8项中，5项取值1，另3项取值－1

∴S8＝2的概率P(A)＝C·8

记事件B：Si≥0(i＝1,2,3,4)，将Si≥0(i＝1,2,3,4)分为两种情形：

(1)若第1、2项取值为1，则3,4项的取值任意

(2)若第1项为1，第2项为－1，则第3项必为1第四项任意

∴P(B)＝2＋3＝，

∴所求事件的概率为P＝P(A)·P(B)＝·C·8．

【剖析】　Si≥0且S8＝2是同一事件的两个关联的条件，而不是两个相互独立事件．Si≥0对S8＝2的概率是有影响的，所以解答应为：

【正解】　∵Si≥0(i＝1,2,3,4)，∴前4项的取值分为两种情形

①若1、3项为1；则余下6项中3项为1，另3项为－1即可．即P1＝C·8；

②若1、2项为1，为避免与第①类重复，则第3项必为－1，

则后5项中只须3项为1，余下2项为－1，即P2＝C·8，

∴所求事件的概率为P＝(C＋C)·8＝

2．混淆“互斥”与“独立”出错

典例2　甲投篮命中概率为0.8，乙投篮命中概率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少？

【错解】　设“甲恰好投中2次”为事件A，“乙恰好投中2次”为事件B，则两人恰好投中2次为A＋B.

所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝C0.82×0.2＋C0.72×0.3＝0.825．

【剖析】　本题解答错误的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑．将两人都恰好投中2次理解为“甲恰好投中2次”与“乙恰好投中2次”的和．

【正解】　设“甲恰好投中2次”为事件A，“乙恰好投中2次”为事件B，则两人恰好都投中2次为AB.

所以P(AB)＝P(A)×P(B)＝C0.82×0.2×C0.72×0.3＝0.169．

3．混淆有放回与不放回致错

典例3　某产品有3只次品，7只正品，每次取1只测试，取后不放回，求：

(1)恰好到第5次3只次品全部被测出的概率；

(2)恰好到第k次3只次品全部被测出的概率f(k)的最大值和最小值．

【错解】　(1)P(A)＝····＝.

(2)P5(3)＝C·2＝0.21．

【剖析】　错解(1)的错误的原因在于忽视了“不放回摸球”问题的每一次摸球是不独立的；而错解(2)的错误的原因则在于忽视了“不放回摸球”问题的每一次摸球袋内球的总数是变的(比前一次少一个)．

【正解】　(1)P＝＝.

(2)P＝＝(k－1)(k－2)，(3≤k≤10，k∈Z)，

当k＝3时，[f(k)]min＝f(3)＝；

当k＝10时，[f(k)]max＝f(10)＝.