高考数学二轮复习第3部分思想篇素养升华第2讲分类讨论思想学案含解析

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第2讲　分类讨论思想SI XIANG FANG FA JIE DU思想方法·解读分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”．用分类讨论的思维策略解数学问题的操作过程：明确讨论的对象和动机→确定分类的标准→逐类进行讨论→归纳综合结论→检验分类是否完备(即分类对象彼此交集为空集，并集为全集)．做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分类不重复、不遗漏”的分析讨论．SI XIANG FANG FA YING YONG思想方法·应用应用一　由概念、性质、运算引起的分类与整合典例1　(1)(2020·江西师范附属模拟)已知函数f(x)＝ 若f(2－a)＝1，则f(a)等于(　A　)A．－2　　 B．－1　C．1　　 D．2(2)(2019·阜阳模拟)等比数列{an}中，a1＋a4＋a7＝2，a3＋a6＋a9＝18，则{an}的前9项和S9＝__14或26__.【解析】　(1)①当2－a≥2，即a≤0时，22－a－2－1＝1，解得a＝－1，则f(a)＝f(－1)＝－log2[3－(－1)]＝－2；②当2－a<2即a>0时，－log2[3－(2－a)]＝1，解得a＝－，舍去．所以f(a)＝－2．故选A．(2)由题意得q2＝＝9，q＝±3，①当q＝3时，a2＋a5＋a8＝3(a1＋a4＋a7)＝6，S9＝2＋6＋18＝26；②当q＝－3时，a2＋a5＋a8＝－3(a1＋a4＋a7)＝－6，S9＝2－6＋18＝14，所以S9＝14或26．数学概念运算公式中常见的分类(1)由二次函数、指数函数、对数函数的定义，直线的倾斜角、向量的夹角的范围等引起分类讨论．(2)由除法运算中除数不为零，不等式两边同乘以(或除以)同一个数(或式)时的不等号等引起分类讨论．(3)由数学公式、定理、性质成立的条件等引起分类讨论．应用二　由图形位置或形状引起的分类与整合典例2　(1)(2020·启东中学月考)已知正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为(　D　)A．　　 B．4C．　　 D．4或(2)(2020·广州质检)抛物线y2＝4px(p＞0)的焦点为F，P为其上的一点，O为坐标原点，若△OPF为等腰三角形，则这样的点P的个数为__4__.【解析】　(1)当6是下底面周长，4是三棱柱的高时，体积V＝2×××4＝4；当4是下底面周长，6是三棱柱的高时，体积V＝×××6＝.(2)当|PO|＝|PF|时，点P在线段OF的中垂线上，此时，点P的位置有两个；当|OP|＝|OF|时，点P的位置也有两个；对|FO|＝|FP|的情形，点P不存在．事实上，F(p,0)，若设P(x，y)，则|FO|＝p，|FP|＝，若＝p，则有x2－2px＋y2＝0，又∵y2＝4px，∴x2＋2px＝0，解得x＝0或x＝－2p，当x＝0时，不构成三角形．当x＝－2p(p＞0)时，与点P在抛物线上矛盾．∴符合要求的点P有4个．图形位置或形状的变化中常见的分类(1)圆锥曲线形状不确定时，常按椭圆、双曲线分类讨论．(2)求圆锥曲线的方程时，常按焦点的位置不同分类讨论．(3)相关计算中，涉及图形问题时，常按图形的位置不同，大小差异分类讨论．应用三　由变量或参数引起的分类与整合典例3　(2020·南昌模拟)设函数f(x)＝2ln x－mx2＋1．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当f(x)有极值时，若存在x0，使得f(x0)＞m－1成立，求实数m的取值范围．【解析】　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－2mx＝，当m≤0时，f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当m＞0时，令f′(x)＞0，则0＜x＜，令f′(x)＜0，则x＞，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减．(2)由(1)知，当f(x)有极值时，m＞0，且f(x)在上单调递增，在上单调递减．所以f(x)max＝f＝2ln－m·＋1＝－ln m，若存在x0，使得f(x0)＞m－1成立，则f(x)max＞m－1．即－ln m＞m－1，ln m＋m－1＜0成立，令g(x)＝x＋ln x－1(x＞0)，因为g′(x)＝1＋＞0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，且g(1)＝0，所以0＜m＜1．所以实数m的取值范围是(0,1)．几种常见的由参数变化引起的分类与整合(1)含有参数的不等式的求解．(2)含有参数的方程的求解．(3)对于解析式系数含参数的函数，求最值或单调性问题．(4)二元二次方程表示曲线类型的判定等．(5)直线与圆锥曲线位置关系的分类．